全国高中数学竞赛专题三角函数.docx
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全国高中数学竞赛专题三角函数
三角恒等式与三角不等式
一、基础知识
定义1角：
一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。
角的大小是任意的。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角,若不旋转则为零角。
定义2角度制：
把一周角360等分，每一等分为一度。
弧度制：
把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。
360度=2冗弧度。
若圆心角白勺弧长为L,则其弧度数的绝对值|a|=上，其中r是圆的半径r
定义3三角函数：
在直角坐标平面内，把角a的顶点放在原点，始边与X轴的正半轴重
合，在角的终边上任意取一个不同于原点的点P,设它的坐标为（x,y）,到原点
的距离为r,则正弦函数sina=-,余弦函数cosa=x,正切函数tana=—,余切
rrx
函数cota=—,正割函数seca=—,余割函数CSCa=—.yxy
定理1同角三角函数的基本关系式，倒数关系：
tana=——,Sina=——,cosa=-1—；cotcscsec
商数关系：
tana=sn—,cot-cos-;
cossin
乘积关系：
tanaxcosa=sina,cotaxsina=cos
平方关系:
sin2a+cos2a=1,tan2a+1=sec2a,cot2
a+1=csc2a.
定理2诱导公式（I）sin（a+九）=-sina,cos（兀+a）=-cosa,tan（九+a）=tana,cot（九+a）=cota；
（H）sin（-a）=-sina,cos（-a）=cosa,tan（-a）=-tana,cot（
a）=cota；
（m）sin（兀-a）=sina,cos（兀-a）=-cosa,tan=（兀-a）=-tana,cot（九-a）=-cota；
（IV）sin—=cosa,cos—=sina,tan—=cota（奇
变偶不变，符号看象限）。
定理3正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（xCR）的性质如下。
3
单调区何：
在区间2k—,2k—上为增函数，在区间2k—,2k-上
2222
为减函数，
最小正周期：
2.奇偶性：
奇函数
有界性：
当且仅当x=2kx+^时，y取最大值1,当且仅当x=3k-3时，y取最小值-1,值域为［-1,1］。
对称性：
直线x=k+3均为其对称轴，点（k,0）均为其对称中心。
这里kCZ.
定理4余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx（x€R）的性质。
单调区间：
在区间［2k-2卜冗+兀］上单调递减，在区间［2ktt-tt,2kQ上单调递增。
最小正周期：
2冗。
奇偶性：
偶函数。
有界性：
当且仅当x=2k九时，y取最大值1;当且仅当x=2k冗-冗时，y取最小值-1。
值域为［-1,1］。
对称性：
直线x=ktt均为其对称轴，点k—,0均为其对称中心。
这里kCZ.
2
定理5正切函数的性质：
由图象知奇函数y=tanx（xk冗+万）在开区间（k冗-万，k九+万）
上为增函数,
最小正周期为冗，值域为
-OO
+00），点（k兀，0）,（k九十万,
0）
均为其
对称中心。
两角和与差的基本关系式:
cos（a
B）=cosacosBsin
asin0,
=2sin
=-2sin
sin（a
tan（a
B）=sina
cosBcosasin0；
（tantan）
B）=
（1tan
tan）
两角和与差的变式：
sin2
三角和的正切公式：
tan（
和差化积与积化和差公式：
sina
.2sin
22
coscos
sin（）sin（
tantan
tantantantan
tantantantantantan
+sinB=2sin——
2
cos——2
cos
sina-sinB
cosa+cosB=2cos——cos--
cosa-cosB
sin
22
sina
cosB=1[sin（a+B）+sin（a2
B）],
.。
.z
cosasinB=—[sin（a+
B）-sin（a-0）],
cosacosB=1[cos（a+0）+cos（a-0）],2
ina
.。
1・，
sinB=——[cos（a+
2
B）-cos（a-B）].
定理8二倍角公式：
sin2a=2sinacosa,
cos2a
=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a,
2tan
tan2a=2——
（1tan）
三倍角公式及变式：
sin33sin
4sin3
cos34cos3
3cos
cos（60、,
定理
定理
10
定理
11
sin（60，
）sin
sin（60
1.c
-sin3
4
-I
）coscos（60;
1cos3
4
半角公式：
sin—=2
（1cos）
2
cos—=2
（1cos）
2
tan—=
2
（1cos）
\（1cos）
sin
（1
cos）
（1cos）
sin
万能公式:
sin
辅助角公式：
如果
（a,b）的一个角为B,
b
，a2
=、；（a2b2）sin（a+0）.
2tan一
2
1tan22
a,b是实数且
=,cosB=b2
cos
a2+b2
a.
.a2b2
定理12正弦定理：
在任意△AB/有-a-sinA
1tan2—
2.
tan
1tan2一2
2tan一2
1tan22
0,则取始边在x轴正半轴，终边经过点
对任意的角
b
sinB
c
sinC
a.asina+bcosa
2R,
其中a,b,c分别是角A,B,C的对边，R为AABC#接圆半径。
定理13余弦定理：
在任意△ABC^有a=b2+c2-2bcosA,其中a,b,c分别是角A,B,C的对边。
定理14射影定理：
在任意△ABO^有abcosCccosB,bacosCccosA,
cacosBbcosA
定理15欧拉定理：
在任意△ABO^,OI2R22Rr,其中O,I分别为△ABC勺外心和内
心。
定理16面积公式：
在任意△ABC中，外接圆半径为R,内切圆半径为r,半周长pabc
2
abc-2.〃.一.c〜.一
rp2RsinAsinBsinCrR（sinAsinB4R
定理17与4ABC三个内角有关的公式:
（1）sinAsinBsinC
4cos2cosBcosC;222
14sin-sinBsinC;
222
（3）tanAtanBtanC
tanAtanBtanC;
（4）tan—tan—
22
tanBtanCtanCtanA1;
2222
（5）cotAcotBcotBcotCcotCcotA1;
（6）sin2Asin2Bsin2C4sinAsinBsinC.
定理18图象之间的关系：
y=sinx的图象经上下平移得y=sinx+k的图象；经左右平移得
1
y=sin（x+）的图象（相包变换）；纵坐标不变，横坐标变为原来的一，得到
y=sinx（0）的图象（周期变换）；横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，
得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin（x+）（>0）的图象（周期变换）；
横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；
y=Asin（x+）（,>0）（|A|叫作振幅）的图象向右平移一个单位得到
y=Asinx的图象。
定义4函数y=sinxx万，万的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx（xC[-1,1]）,
函数y=cosx（xC[0,冗]）的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx（xC[-1,1]）.
函数y=tanxx—,—的反函数叫反正切函数。
记作y=arctanx（x€[-oo,+
°°]）.
函数y=cotx（x€[0,冗]）的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx（x€[-oo,+°°]）.
定理19三角方程的解集，如果aC（-1,1），方程sinx=a的解集是{x|x=n九+（-1）narcsina,n€Z}0
方程cosx=a的解集是{x|x=2kxarccosa,k€Z}.
如果aCR,方程tanx=a的解集是{x|x=k兀+arctana,k€Z}0
恒等式：
arcsina+arccosa=—；arctana+arccota=—.
定理20若干有用的不等式：
（1）若x0,—,贝Usinx2
（2）函数y绘在（0,）上为减函数；函数y空在（0,—）上为增函数。
xx2
（3）嵌入不等式：
设A+B+C则，则对任意的x,y,zCR,
W
222
xyz2yzcosA2xzcosB2xycosC
等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.
二、方法与例题
1.结合图象解题。
例1求方程sinx=lg|x|的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg|x|的图象，由图象可知两者有6个交点,
故方程有6个解。
2.三角函数性质的应用。
例2设xC（0,兀），试比较cos（sinx）与sin（cosx）的大小。
【解】若x—,,则-122
所以sin（cosx）00,又00,所以cos（sinx）>sin（cosx）.
若x0,—,贝^因为sinx+cosx=T2sin（x+—）w72<一,所以
242
0所以cos（sinx）>cos（j-cosx）=sin（cosx）.
综上，当x€（0,兀）时，总有cos（sinx）3.最小正周期的确定。
例3求函数y=sin（2cos|x|）的最小正周期。
【解】因为cos（-x）=cosx,所以cos|x|=cosx,所以T=2几是函数的周期；
4.三角最值问题。
例4已知函数y=sinx+%Xcos2x,求函数的最大值与最小值。
2—3
【解法一】令sinx=%2cos,V1cosxv2s
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