第一章 111.docx

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第一章111

§1.1　算法与程序框图

1.1.1　算法的概念

学习目标

　1.了解算法的含义和特征.2.会用自然语言描述简单的具体问题的算法.

知识点一　算法的概念

思考　解决一个问题的算法是唯一的吗？

答案　不唯一.如解二元一次方程组的算法有加减消元法和代入消元法两种，但不同的算法有优劣之分.

梳理　算法的概念

12世纪的算法

是指用阿拉伯数字进行算术运算的过程

数学中的算法

通常是指按照一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤

现代算法

通常可以编成计算机程序，让计算机执行并解决问题

知识点二　算法的特征

算法的五个特征

（1）有限性：

一个算法的步骤是有限的，它应在有限步操作之后停止.

（2）确定性：

算法中的每一步应该是确定的，并且能有效地执行且得到确定的结果，而不是模棱两可的.

（3）逻辑性：

算法从初始步骤开始，分为若干个明确的步骤，前一步是后一步的前提，只有完成前一步，才能进行下一步，而且每一步都是正确无误的，从而组成具有很强逻辑性的步骤序列.

（4）普遍性：

一个确定的算法，应该能够解决一类问题.

（5）不唯一性：

求解某一个问题的算法不一定只有唯一的一个，也可以有不同的算法.

特别提醒：

判断一个问题是不是算法，关键是明确算法的含义及算法的特征.

知识点三　算法的设计

思考　自然语言是唯一描述算法的语言吗？

答案　不是.描述算法可以有不同的方式，常用的有自然语言、框图（流程图）、程序设计语言等.

梳理　

（1）设计算法的目的

设计算法的目的实际上是寻求一类问题的解决方法，它可以通过计算机来完成.设计算法的关键是把过程分解成若干个明确的步骤，然后用计算机能够接受的“语言”准确地描述出来，从而达到让计算机执行的目的.

（2）设计算法的要求

①写出的算法必须能解决一类问题.

②要使算法尽量简单、步骤尽量少.

③要保证算法步骤有效，且计算机能够执行.

1.算法是解决一个问题的方法.（　×　）

2.一个算法可以产生不确定的结果.（　×　）

3.算法的步骤必须是明确的、有限的.（　√　）

类型一　算法概念的理解

例1　下列关于算法的说法，正确的个数有（　　）

①求解某一类问题的算法是唯一的；

②算法必须在有限步操作之后停止；

③算法的每一步操作必须是明确的，不能有歧义或模糊；

④算法执行后一定产生确定的结果.

A.1B.2

C.3D.4

考点　算法的概念

题点　算法概念的辨析

答案　C

解析　由于算法具有有限性、确定性等特点，因而②③④正确，而解决某类问题的算法不一定唯一，从而①错.

反思与感悟　算法实际上是解决问题的一种程序性方法，它通常用来解决某一个或某一类问题，在用算法解决问题时，体现了特殊与一般的数学思想.

跟踪训练1　下列说法中是算法的有________.（填序号）

①从上海到拉萨旅游，先坐飞机，再坐客车；

②解一元一次不等式的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项，系数化为1；

③求以A（1,1），B（－1，－2）两点为端点的线段AB的中垂线方程，可先求出AB的中点坐标，再求kAB及中垂线的斜率，最后用点斜式方程求得线段AB的中垂线方程；

④求1×2×3×4的值，先计算1×2＝2，再计算2×3＝6,6×4＝24，得最终结果为24；

⑤

x＞2x＋4.

考点　算法的概念

题点　算法的步骤问题

答案　①②③④

解析　①说明了从上海到拉萨的行程安排；

②给出了解一元一次不等式这类问题的解法；

③给出了求线段的中垂线的方法及步骤；

④给出了求1×2×3×4的值的过程并得出结果.

故①②③④都是算法.

类型二　算法的阅读理解

例2　下面算法要解决的问题是__________________________________________________.

第一步，输入三个数，并分别用a，b，c表示.

第二步，比较a与b的大小，如果a

第三步，比较a与c的大小，如果a

第四步，比较b与c的大小，如果b

第五步，输出a，b，c.

考点　算法的特点

题点　算法特点的辨析

答案　输入三个数a，b，c，并按从大到小的顺序输出

解析　第一步是给a，b，c赋值.

第二步运行后a>b.

第三步运行后a>c.

第四步运行后b>c，所以a>b>c.

第五步运行后，显示a，b，c的值，且从大到小排列.

反思与感悟　一个算法的作用往往并不显而易见，这需要我们结合具体数值去执行一下才

知道.

跟踪训练2　下面给出了一个问题的算法：

第一步，输入a.

第二步，若a≥3，则执行第三步，否则执行第四步.

第三步，输出a＋5.

第四步，输出3a＋4.

这个算法解决的问题是_________________________________________________________.

考点　算法的特点

题点　具体问题的算法设计

答案　求函数f（x）＝

当x＝a时的函数值f（a）.

类型三　算法的设计与应用

例3　有一个底面半径为3，母线为5的圆锥，写出求该圆锥体积的算法.

考点　算法的设计与应用

题点　数值型的算法设计

解　如图，先给r，l赋值，计算h，再根据圆锥体积公式V＝

πr2h计算V，然后输出结果.

第一步，令r＝3，l＝5.

第二步，计算h＝

.

第三步，计算V＝

πr2h.

第四步，输出运算结果.

反思与感悟　利用公式解决问题时，必须先求出公式中的各个量，在设计算法时，应优先考虑未知量的求法.

跟踪训练3　已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积.设计一个算法解决这个问题.

考点　算法的设计与应用

题点　其它数值型的算法设计

解　第一步，输入a的值.

第二步，计算l＝

的值.

第三步，计算S＝

×l2的值.

第四步，输出S的值.

例4　所谓正整数p为素数是指：

p的所有约数只有1和p.例如，35不是素数，因为35的约数除了1,35外，还有5与7；29是素数，因为29的约数就只有1和29.试设计一个能够判断一个任意正整数n（n＞1）是否为素数的算法.

考点　算法的设计与应用

题点　循环型算法设计

解　算法如下：

第一步，给出任意一个正整数n（n＞1）.

第二步，若n＝2，则输出“2是素数”，判断结束.

第三步，令m＝1.

第四步，将m的值增加1，仍用m表示.

第五步，如果m≥n，则输出“n是素数”，判断结束.

第六步，判断m能否整除n，

①如果能整除，则输出“n不是素数”，判断结束；

②如果不能整除，则转第四步.

反思与感悟　设计一个具体问题的算法，通常按以下步骤

（1）认真分析问题，找出解决该问题的一般数学方法.

（2）借助有关变量或参数对算法加以表述.

（3）将解决问题的过程划分为若干步骤.

（4）用简练的语言将这个步骤表示出来.

跟踪训练4　判断一个大于2的整数是否为质数的算法步骤如何设计？

考点　算法的设计与应用

题点　循环型算法设计

解　第一步，给定大于2的整数n.

第二步，令i＝2.

第三步，用i除n，得到余数r.

第四步，判断“r＝0”是否成立.若是，则n不是质数，结束算法；否则，将i的值增加1，仍用i表示.

第五步，判断“i>（n－1）”是否成立.若是，则n是质数，结束算法；否则，返回第三步.

1.下列关于算法的说法正确的是（　　）

A.一个算法的步骤是可逆的

B.描述算法可以有不同的方式

C.算法可以看成是按照要求设计好的、有限的、确切的计算序列，并且这样的步骤或序列只能解决当前问题

D.算法只能用一种方式显示

考点　算法的概念

题点　算法概念的辨析

答案　B

解析　由算法的定义知A，C，D错.

2.计算下列各式中S的值，能设计算法求解的是（　　）

①S＝

＋

＋

＋…＋

；

②S＝

＋

＋

＋…＋

＋…；

③S＝

＋

＋

＋…＋

（n≥1，n∈N*）.

A.①②B.①③C.②③D.①②③

考点　算法的特点

题点　判断问题是否可以设计算法求解

答案　B

解析　由算法的有限性知②不能设计算法求解，①③都能通过有限步输出确定结果.

3.已知直角三角形两直角边长为a，b，求斜边长c的一个算法分下列三步：

（1）计算c＝

；

（2）输入直角三角形两直角边长a，b的值；

（3）输出斜边长c的值.

其中正确的顺序是________.

考点　算法的特点

题点　具体问题的算法设计

答案　

（2）

（1）（3）

解析　算法的步骤是有先后顺序的，第一步是输入，最后一步是输出，中间的步骤是赋值、计算.

4.下面是解决一个问题的算法：

第一步：

输入x.

第二步：

若x≥4，转到第三步；否则转到第四步.

第三步：

输出2x－1.

第四步：

输出x2－2x＋3.

当输入x的值为________时，输出的数值最小值为________.

考点　算法的特点

题点　数值型的算法设计

答案　1　2

解析　所给算法解决的问题是求分段函数f（x）＝

的函数值问题，当x≥4时，f（x）＝2x－1≥2×4－1＝7；当x＜4时，f（x）＝x2－2x＋3＝（x－1）2＋2≥2，所以f（x）min＝2，此时x＝1.即输入x的值为1时，输出的数值最小，最小值为2.

5.写出解二元一次方程组

的算法.

考点　算法的设计与应用

题点　解方程组的算法设计

解　第一步，①＋2×②得7x＝1.③

第二步，解③得x＝

.

第三步，②×3－①×2得7y＝5.④

第四步，解④得y＝

.

第五步，得到方程组的解为

1.算法的特点：

有限性、确定性、逻辑性、普遍性、不唯一性.

2.算法设计的要求：

（1）写出的算法必须能够解决一类问题（如判断一个整数是否为质数，求任意一个方程的近似解等），并且能够重复使用.

（2）要使算法尽量简单，步骤尽量少.

（3）要保证算法正确，且算法步骤能够一步一步执行，每步执行的操作必须确切，不能含混不清，而且在有限步后能得到结果.

一、选择题

1.下列可以看成算法的是（　　）

A.学习数学时，课前预习，课上认真听讲并记好笔记，课下先复习再做作业，之后做适当的练习题

B.今天餐厅的饭真好吃

C.这道数学题难做

D.方程2x2－x＋1＝0无实数根

考点　算法的概念

题点　算法概念的辨析

答案　A

解析　A是学习数学的一个步骤，所以是算法.

2.在用二分法求方程零点的算法中，下列说法正确的是（　　）

A.这个算法可以求所有的零点

B.这个算法可以求任何方程的零点

C.这个算法能求所有零点的近似解

D.这个算法可以求变号零点的近似解

考点　算法的特点

题点　判断问题是否可以设计算法求解

答案　D

解析　二分法的理论依据是函数的零点存在性定理.它解决的是求变号零点的问题，并不能求所有零点的近似值.

3.有蓝、黑两个墨水瓶，但现在却错把蓝墨水装在了黑墨水瓶中，黑墨水错装在了蓝墨水瓶中，要求将其互换，现有空墨水瓶若干，解决这一问题最少需要的步骤数为（　　）

A.2B.3C.4D.5

考点　算法的设计与应用

题点　应用问题的算法设计

答案　B

解析　第一步，将蓝墨水装到一个空墨水瓶中；第二步，将黑墨水装到黑墨水瓶中；第三步，将蓝墨水装到蓝墨水瓶中，这样就解决了这个问题，故选B.

4.早上从起床到出门需要洗脸刷牙（5min）、刷水壶（2min）、烧水（8min）、泡面（3min）、吃饭（10min）、听广播（8min）几个过程.下列选项中最好的一种算法是（　　）

A.第一步，洗脸刷牙.第二步，刷水壶.第三步，烧水.第四步，泡面.第五步，