版高考数学理全国通用版一轮复习课时分层作业 八 25对 数 函 数.docx
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版高考数学理全国通用版一轮复习课时分层作业八25对数函数
课时分层作业八
对数函数
一、选择题（每小题5分,共35分）
1.函数y=
的定义域是（ ）
A.[1,2]B.[1,2）
C.
D.
【解析】选D.由lo
（2x-1）≥0⇒0<2x-1≤1⇒
2.（2018·北京模拟）已知函数f（x）=
则f（2+log23）的值
为（ ）
A.24B.16C.12D.8
【解析】选A.因为3<2+log23<4,所以f（2+log23）=f（3+log23）=
=8×3=24.
【变式备选】已知函数f（x）=
则f（f
（1））+f
的值
是（ ）
A.5 B.3C.-1D.
【解析】选A.因为f
（1）=log21=0,所以
f（f
（1））=f（0）=2.
因为log3
<0,所以f
=
+1
=
+1=2+1=3.
所以f（f
（1））+f
=2+3=5.
3.设a=log36,b=log510,c=log714,则（ ）
A.c>b>a B.b>c>a
C.a>c>b D.a>b>c
【解析】选D.因为a=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,所以只需要比较log32,log52,log72的大小即可,在同一坐标系中作出函数y=log3x,y=log5x,y=log7x的图象,由三个图象的相对位置关系得log32>log52>log72,可知a>b>c.
【方法技巧】底数的变化对对数函数图象变化的影响
在直线x=1的右侧,当a>1时,底数越大,图象越靠近x轴;当04.若函数y=a|x|（a>0,且a≠1）的值域为{y|y≥1},则函数y=loga|x|的图象大致
是（ ）
【解析】选B.函数y=a|x|（a>0,且a≠1）的值域为{y|y≥1},则a>1,故函数y=loga|x|的大致图象如图所示.
【变式备选】（2018·石家庄模拟）已知a=log23+log2
b=log29-log2
c=log32,则a,b,c的大小关系是（ ）
A.a=bc
C.ab>c
【解析】选B.因为a=log23+log2
=log23
=
log23>1,b=log29-log2
=log23
=a,c=log32c.
5.设函数f（x）=
则满足f（x）≤2的x的取值范围是（ ）
A.[-1,2] B.[0,2]
C.[1,+∞） D.[0,+∞）
【解析】选D.当x≤1时,21-x≤2,解得x≥0,
所以0≤x≤1;当x>1时,1-log2x≤2,
解得x≥
所以x>1.综上可知x≥0.
6.若f（x）=lg（x2-2ax+1+a）在区间（-∞,1]上递减,则a的取值范围为（ ）
A.[1,2） B.[1,2]C.[1,+∞） D.[2,+∞）
【解析】选A.令函数g（x）=x2-2ax+1+a=（x-a）2+1+a-a2,对称轴为x=a,要使函数在（-∞,1]上递减,则有
即
解得1≤a<2,即a∈[1,2）.
7.若函数f（x）=loga
（a>0,a≠1）在区间
内恒有f（x）>0,则f（x）的单调递增区间为（ ）
A.（0,+∞）B.（2,+∞）
C.（1,+∞）D.
【解析】选A.令M=x2+
x,当x∈
时,M∈（1,+∞）,f（x）>0,所以a>1,所以函数y=logaM为增函数,又M=
-
因此M的单调递增区间为
.又x2+
x>0,所以x>0或x<-
.所以函数f（x）的单调递增区间为（0,+∞）.
二、填空题（每小题5分,共15分）
8.计算:
=________.
【解析】原式=
=
=-
.
答案:
-
【变式备选】计算:
+log3
+log3
=________.
【解析】
+log3
+log3
=
+log3
=
.
答案:
9.若log147=a,14b=5,则用a,b表示log3528=________.
【解析】因为14b=5,所以log145=b,又log147=a,
所以log3528=
=
=
.
答案:
10.（2018·兰州模拟）已知函数y=logax（2≤x≤4）的最大值比最小值大1,则a的值为________.
【解析】当a>1时,y=logax（2≤x≤4）为增函数,ymax=loga4,ymin=loga2.
所以loga4-loga2=1,即loga2=1所以a=2.
当0ymax=loga2,ymin=loga4.
所以loga2-loga4=1,即-loga2=1,所以a=
.
答案:
2或
【误区警示】对数函数的底数含有参数a,易忽视讨论a与1的大小关系而直接按a>1解题,只得一解2.
【变式备选】（2018·南京模拟）若log2a
<0,则a的取值范围是________.
【解析】当2a>1时,
因为log2a
<0=log2a1,所以
<1.
因为1+a>0,所以1+a2<1+a,
所以a2-a<0,所以0当0<2a<1时,因为log2a
<0=log2a1,所以
>1.
因为1+a>0,所以1+a2>1+a.
所以a2-a>0,所以a<0或a>1,此时无解.
综上所述,a∈
.
答案:
1.（5分）设a,b,c均为正数,且2a=lo
a,
=lo
b,
=log2c,则（ ）
A.aC.c【解析】选A.首先确定a是函数y=2x与y=lo
x图象的交点的横坐标,b是函数y=
与y=lo
x图象的交点的横坐标,c是函数y=
与y=log2x图象的交点的横坐标.分别画出函数y=2x,y=
y=lo
x,y=log2x的图象（图象略）,易知a【一题多解】本题还可以采用以下方法:
【解析】选A.因为a,b,c均为正数,所以2a>1,
即lo
a>1,解得0.0<
<1,
即lo
b<1,解得
0<
<1,即0综上,a2.（5分）（2018·北京模拟）如图,点A,B在函数y=log2x+2的图象上,点C在函数y=log2x的图象上,若△ABC为等边三角形,且直线BC∥y轴,设点A的坐标为（m,n）,则m=（ ）
A.2B.3 C.
D.
【解析】选D.由题意知等边△ABC的边长为2,则由点A的坐标（m,n）可得点B的坐标为（m+
n+1）.又A,B两点均在函数y=log2x+2的图象上,故有
解得m=
.
3.（5分）已知a=
b=
c=
则a,b,c的大小关系是________.（从大到小排列）
【解析】a-b=
-
=
=
<0.
同理b-c=
-
=
>0,
a-c=
-
=
>0,
所以b>a>c.
答案:
b>a>c
【一题多解】本题还可以采用以下方法:
方法一:
（数形结合法）变形a=
=
则a表示函数y=lnx图象上的点（2,ln2）与点（0,0）连线的斜率.同理,b=
=
c=
=
分别表示点（3,ln3）,点（5,ln5）与点（0,0）的连线斜率.作出函数y=lnx的图象,标出相应点的位置,观察可知b>a>c.
答案:
b>a>c
方法二:
（构造函数法）令y=
y′=
令y′=
=0,得x=e,所以函数在x∈（0,e）上单调递增,在x∈（e,+∞）上单调递减,函数在x=e处取得极大值,再作差比较a与c的大小,易知b>a>c.
答案:
b>a>c
4.（12分）已知函数f（x-3）=loga
（a>0,a≠1）.
（1）判断f（x）的奇偶性,并说明理由.
（2）当0【解析】令x-3=u,则x=u+3,于是f（u）
=loga
（a>0,a≠1,-3所以f（x）=loga
（a>0,a≠1,-3（1）因为f（-x）+f（x）=loga
+loga
=loga1=0,
所以f（-x）=-f（x）,又定义域（-3,3）关于原点对称.
所以f（x）是奇函数.
（2）令t=
=-1-
则t在（-3,3）上是增函数,
当0所以f（x）=loga
（0即函数f（x）的单调递减区间是（-3,3）.
5.（13分）已知函数f（x）=
+ln
.
（1）求证:
存在定点M,使得函数f（x）图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f（x）的图象上,并求出点M的坐标.
（2）定义Sn=
f
=f
+f
+…+f
其中n∈N*且n≥2,求S2018.
【解析】
（1）显然函数f（x）的定义域为（0,1）,设M的坐标为（a,b）,则f（x）+f（2a-x）=
+ln
+
+ln
=1+ln
=2b,
对任意x∈（0,1）恒成立,于是
解得a=b=
所以存在定点M
使得函数f（x）在图象上任意一点P关于M点对称的点Q也在函数f（x）的图象上.
（2）由
（1）得f（x）+f（1-x）=1,
因为Sn=f
+f
+…+f
+f
①
所以Sn=f
+f
+…+f
+f
.②
①+②得:
2Sn=n-1,
所以Sn=
（n≥2,n∈N*）,
所以S2018=
=
.
【方法技巧】解决与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤
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