初中数学【截长补短构造全等】专题练习.docx

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【一】如图，中，AB=2AC，AD平分∠BAC，且AD=BD，求证：

CD⊥AC

解：

（截长法）在AB上取中点F，连FD

△ADB是等腰三角形，F是底AB中点，由三线合一知

DF⊥AB，故∠AFD＝90°

△ADF≌△ADC（SAS）

∠ACD＝∠AFD＝90°

即：

CD⊥AC

【二】如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC

解：

（截长法）在AB上取点F，使AF＝AD，连FE

△ADE≌△AFE（SAS）

∠ADE＝∠AFE，

∠ADE+∠BCE＝180°

∠AFE+∠BFE＝180°

故∠ECB＝∠EFB

△FBE≌△CBE（AAS）

故有BF＝BC

从而;AB＝AD+BC

【三】如图，已知在△ABC内，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的角平分线。

求证：

BQ+AQ=AB+BP

解：

（补短法,计算数值法）延长AB至D，使BD＝BP，

连DP，则∠D=∠5．

∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，

∠BAC=60°，∠ACB=40°，

∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，

∠3=∠4=40°=∠C，

∴QB=QC，

又∠D+∠5=∠3+∠4=80°，

∴∠D=40°．

在△APD与△APC中，

∠D=∠D=C，∠1=∠2，AP=AP，

∴△APD≌△APC（AAS），

∴AD=AC．

∴AB+BD=AQ+QC，

∴AB+BP=BQ+AQ．

【四】已知：

AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：

AE=AD+BE

证明：

在AE上截取AM=AD，连接CM

∵AC平分∠BAD

∴∠1=∠2

在△AMC和△ADC中，AC=AC，∠1=∠2，AD=AM

∴△AMC≌△ADC（SAS）

∴∠3=∠D

∵∠B+∠D=180°，∠3+∠4=180°，

∴∠4=∠B

∴CM=CB

∵CE⊥AB

∴ME=EB

（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合）

∵AE=AM+ME∴AE=AD+BE

【五】如图已知∠ABC=3∠C，∠1=∠2，BE⊥AE，求证：

AC-AB=2BE

证明：

延长BE交AC于M

∵BE⊥AE，∴∠AEB=∠AEM=90°

在△ABE中，∵∠1+∠3+∠AEB=180°，

∴∠3=90°-∠1

同理，∠4=90°-∠2

∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴AB=AM

∵BE⊥AE，∴BM=2BE，

∴AC-AB=AC-AM=CM，

∵∠4是△BCM的外角

∴∠4=∠5+∠C

∵∠ABC=3∠C，

∴∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5

∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C

∴∠5=∠C

∴CM=BM

∴AC-AB=BM=2BE