数学丨河南省郑州市2023届高中毕业年级第二次质量预测数学试卷及答案.pdf

数学丨河南省郑州市2023届高中毕业年级第二次质量预测数学试卷及答案.pdf

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郑州市2023年高中毕业年级第二次质量预测理科数学试题卷注意亊项1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2.回答选择題时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应璉目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答祁选抒题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第1卷（选择题，共60分）一、选择題本大题共12小題,每小題5分，共60分.在每小理给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.巳知复数=0+况（1,611，i为虚数单位），且（l+ai）i=l+W，则复数z在复平面内对应点Z所在的象限为A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限2.已知集合A=卜l：

y=:

+il，B=xeN|y2，则（Ct/A）nB=B.0,1D.2,3=2,且a与&的夹角为_，则（2n+6）（!

=A.x|0x2C.x|2x43.已知向量满足|6|=2|u|A.124.世界数学三大猜想:

“费马猜想”、“四色猜想”、“哥德巴赫猜想”，其中“四色猜想”和“费马猜想”已经分别在1976年和1994年荣升为“四色定理”和“费马大定理”.281年过去了，哥德巴赫猜想仍未解决，目前最好的成果“1+2”由我国数学家陈彔润在1966年取得.哥德巴赫猜想描述为:

任何不小于4的偶数，都可以写成两个质数之和.在不超过17奇数的概率为D.1C.3B.4的质数中，随机选取两个不同的数，其和为2A-T2D-5CTB-y高三理科数学试题卷第1页（共6页）5.已知曲线A16如图，y=xhu：

+ar*在点B2处的切线方程为C.32工7+6=0,则6D.0网格纸上绘制的是个几何体的三格小正方形的边长为1，则该视图，几何体的体积为八吾B去C.fD.47-巳知在非RtAABCAB=75,ABC的面积为AC=2，且sin2A2cos2A=2,则A.1B.V5e是数学上两个神奇的无理数产生于圆周，在数学中无处不在，时至今日，科学家借助于超级计算机依然进行会出现，无论是人口、经济还是其它的自然数量，它们的增长总是不可避免地涉2TT5C.2D.38扣和T的计算.而当涉及到增长时就及到巳知a=e3fb=ln（te7r一2e）tc=?

r一2,则aybtCtd的大小关系是A.cbdCaC.dicia图象上的点A（7n,n）向右平移|个周期得到点，若Y位于函数7=0032工的图象上，则m的值可以是B-cdbaD.bca60）的上顶点为斜率为|的直线Z交椭圆ABMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,则椭圆的离心率为73_CTB*1D*1第11卷（非选择题胃共分）二、填空:

本理共4小短，每小题5分，共20分，13圮S,为等差数列的前u项和已知通项公式为14*某数学兴趣小组的5名学生负责讲述“宋元数学四大家”李冶、杨辉和朱世杰的故事，每名学生只讲一个数学家的故亊，每个数学家的故事都有学生讲述，则不同的分配方案有15.已知三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的表面上，=平面PBC丄平面ABC，若点满足記=4補，过点作球O的截面，则所得截面面积的取值范围为16.关于函数/（x）=Csinx-cosx），孟6（4,4），有如下4个结论i/U）在（0,吾）上单调递增I/U）有三个零点I/（x有两个极值点；Ju=10,Ss=20,则数列的5（n）为了研究:

y与X的相关关系，有四名同学通过计算得到与Z的相关系数分别为0.97,0.62,-0.32,0.96,请你从中选出最有可能正确的结果，并以此求出:

V关于x的线性回归方程.参考数据*无=67.5，y=6.43,2（-）2=72O0，g（w5Ol=25.92.i（x5），回归方程=5+心：

中参考公式：

相关系数r=）22（y-夕）22（xijf）2i，a=夕bt斜率和截距的最小二乘估计公式分别为20.（本小题满分12分）巳知抛物线C:

y=2p：

c（/C0）,O为坐标原点，焦点在直线2x+4：

yl=0i.（I）求抛物线的标准方程（II）过点（4,0作动直线/与抛物线C交于MfN两点，直线OM,ON分别与圆（:

r一i）*+y=i交于点P,Q两点（异于点0）,设直线OM,ON斜率分别为H求证山为定值；求证:

直线PQ恒过定点.yMx0高三理科数学试題卷第5页（共6页）本小翅满分12分）E知缽糾肛-赞（al）.（I）当产A求/（W的单调区间（）若/化）在（0，+句有三个零点，求实数2L（I的取值范围.a

（二）逸考题|共10分请考生在第22、23題中任选題作答.在饗題卷上将所选埋号徐黑，如果多做，则按所做的第一越计分.22,（W分）在平面直角坐标系zO：

y中|曲线Ct的参数方程为=1,=1+siny数），以坐标原点O为极点#轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Q的极坐标方程为p=2V3co30,CI求曲线G的极坐标方程与曲线G的直角坐标方程,（肛）直线60=|Cpe与曲线CC2分别交于M、N两点（异于极点O），P为C3上的动点，求APMIV面积的最大值，Cip为参23*10分）巳知函数/2的解集务（I）若对任意1，2，都有/0，求a的取值范围,W三理科数学试题卷第6页（共&页）一、选择题ABDBCBCADBDA二、填空题13.3n-514.24015.9,2016.三、解答题17.解：

（1）在ABC中，由A+B+C=，得sin（A+C）=sinB，由正弦定理，得bsinA=asinB结合已知条件得sinA-3=sinA，A为ABC中的一个内角，A-3+A=解得A=23.5分

（2）由3a=2c+3b，平方得9a2=4c2+9b2+12bc由余弦定理a2=c2+b2-2bccosA，得a2=c2+b2+bc联立解得5c=3b，bc=53.由bc=53，3a=2c+3b，结合正弦定理，可得3sinA=2sinC+3sinB，sinBsinC=53。

联立解得sinB=5314.12分18.

（1）解：

取BC中点O，连接AO，PO，因为ABC为等边三角形，O为BC的中点，则AOBC，又BCPA，AOAP=A，BC平面APO，BCAP.所以BP=CP=23，即PBC为等边三角形，所以OP=3，又平面PBC平面ABC，AOBC，所以AO平面PBC，所以AOPO，又AO=3，所以AP=32.5分

（2）解：

因为PO平面ABC，AOBC，以点O为坐标原点，OA、OB、OP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则A3,0,0、B0,3,0、P0,0,3，M0,-33,2AB=-3,3,0，AP=-3,0,3，设平面PAB的法向量为m=x1,y1,z1，则mAB=-3x1+3y1=0mAP=-3x1+3z1=0，取x1=1，则m=1,3,1，BM=0,-433,2，设平面ABM的法向量为n=x2,y2,z2，则nAB=-3x2+3y2=0nBM=-433y2+2z2=0，取x2=1，则n=1,3,2，由已知可得cos=mnmn=658=31010.综上，二面角P-AB-M的余弦值为3101012分19.

（1）解：

设“至少抽到一个商品流通费用率不高于6%的营业点”为事件A，P（A）=1-C36C310=1-16=56.4分

（2）最有可能的结果是-0.96.5分b=10i=1xi-xyi-y10i=1xi-x2=10i=1xi-xyi-y10i=1xi-x210i=1yi-y210i=1yi-y210i=1xi-x2=r10i=1yi-y210i=1xi-x2=-0.9625.927200=-0.960.0036=-0.960.06=-0.0576.a=y-bx=6.43+0.057667.5=10.318.所以y关于x的线性回归方程为y=-0.0576x+10.318.12分20.

（1）解：

易知直线2x+4y-1=0与x轴交于12,0，所以p2=12,p=1，抛物线方程为y2=2x.4分

（2）设直线MN方程为x=my+4，M（x1,y1）,N（x2,y2），联立方程组x=my+4,y2=2x得y2-2my-8=0，所以y1y2=-8，k1k2=y1y2x1x2=4y1y2=-48=-12.7分设直线PQ方程为x=ty+n，P（x3,y3）,Q（x4,y4）联立方程组x=ty+n,（x-1）2+y2=1得（t2+1）y2+2t（n-1）y+n2-2n=0，所以y3+y4=-2t（n-1）t2+1,y3y4=n2-2nt2+1，k1k2=y3y4x3x4=y3y4（ty3+n）（ty4+n）=y3y4t2y3y4+nt（y3+y4）+n2=-12.整理得n-2n=-12,n=43，所以直线PQ过定点43,0.12分21.

（1）解：

当a=e2时，f（x）=lnx-4xx+e2，f（x）=1x-4e2（x+e2）2=（x+e2）2-4e2xx（x+e2）2=（x-e2）2x（x+e2）20，函数f（x）在（0,+）上单调递增.函数f（x）的单调递增区间为（0,+），无递减区间.4分

（2）f（x）=1x-2alna（x+a）2=x2+（2a-2alna）x+a2x（x+e2）2，令（x）=x2+（2a-2alna）x+a2，对应方程的=4a2（1-lna）2-4a2=4a2（ln2a-2lna）,当1e2时，0，（x）=x2+（2a-2alna）x+a2有两个零点x1,x2（x10,x1x2=a20,所以x2ax10，当x（0,x1）,（x）0，f（x）单调递增，当x（x1,x2）,（x）0，f（x）单调递增.又f（a）=lna-2alna2a=0，所以f（x1）f（a）=0,f（x2）2.当x2时，原不等式可化为3x-2-x-22，整理得x1，所以x2.当23x2，整理得x32，所以此时不等式的解32x2，整理得x-1，所以x2的解集为-,-132,+.5分

（2）若对任意x1,2，都有fx0，即ax-22-x.式可转化为ax-22-x或ax-2x-2，当ax-22-x，a4x-1,a4x-1max，x1,2，所以a3；当ax-2x-2，（a-1）x0，所以a1.综上，a的取值范围为a1或a3.10分郑州市2023年高中毕业年级第二次质量预测文科数学试题卷注意事项，1.答卷前，考生务必将自己的姓茗、淮考诬号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第1卷（选择题，共60分）一、选择题:

本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要隶的.1.已知集合U|1,则B.i，+）C,C012.已知复数zl+2iCi为虚数单位），则f的虚部为C.一iA_l，+oo）a（oa）a23命题：

V：

6R,x+lnx0的否定是A.Vx珐工+lnar0C.彐R，工+lnx04.攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式，依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，多见于亭阁式建筑.如故宫中和殿的屋顶为四角攒尖顶，它的主要部分的轮廊可近似看作一个正四棱锥，设正四棱锥的侧面等腰三角形的顶角为S0%则该正四棱锥的侧面积与底面积的比为A.-1D,2iD*彐R，工+InrO73B-1c.fa#高三文科数学试题卷第i页（共6页）=1（n6N*），则（22023=5.已知数列满足，a+ianD.3A.-1B.2C26.尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震释放出的能量E（单位：

焦耳）与地震里氏籐级M之间的关系式为：

lg：

=4.8+1.5M.北京时间2023年2月6日9时17分，土耳其发生7.8级地震，它所释放出来的能量为&,2023年2月28日12时21分，塔吉克斯坦发生4.6级地震，它所释放出来的能量为2.则大约是E2的B.101.8倍D.104.8倍C.103.8倍A.102.8倍2的部分图象如右7若函数/（x）=4ax2+6o:

+c3图所示，则/（5）=A.+22oKJ2:

34x-2cL68.人脸识别技术应用在各行各业，改变着人类的生活，而所谓人脸识别，就是利用计算机分析人脸视频或者图像，并从中提取出有效的识别信息，最终判别人脸对象的身份.在人脸识别中为了检测样本之间的相似度主要应用距离的测试,常用的测量距离的方式有曼哈顿距离和余弦距离.假设二维空间中有两个点A（x!

yBix2，:

y2），0为坐标原点，佘弦相似度similarity为向量成，夹角的余弦值，记作cos（A,B）,余弦距离为1cos（A,B）.已知P（sina,cosa）,CKsincospACsina，一coset）,若F,Q的余弦距离为I,的余弦距离为|，则tanatanp=D.r-r12一3B了C.4aTA.79.已知3fl=5A=15,则下列结论正确的是A.a510.已知抛物线C:

y=4x和直线Z:

Vc+：

y+3#=0,点PUJ）为抛物线C上任意一点，设点P到直线Z的距离为则a+d的最小值为高三文科数学试题卷第2页（共6页）B.（a1）2+（61）22D.a2+b28B.2j31C.2/32D.1A.2311.已知正方形AJ5CD的边长为2,现将AACD沿对角线AC翻折，得到三棱锥D-ABC.iAC,BC,AD的中点分别为0,M,iV,则下列结论错误的是A.AC丄面BODB.三棱锥D-ABC体积的最大DDCA22值为iBAMC.三棱锥D-ABC的外接球的B表35积为定值D.MN与面BOD所成角的范围是（0，f）xlnx，x0,若关于i的方程/Cr）2（m+l）/U）+m=012.函数/0r）=I1jXOy恰有5个不同的实数根，则实数m的取值范围是B.Cm0A.CmC0eC.7n0,60）的离心率为e=#，过双曲线的右焦a2b2点作垂直于x轴的直线交双曲线C与A，B两点.设A，J3两点到双曲线的同一条渐近线的距离之和为8,则双曲线的焦距为.15.在AABC中，角A，B，C所对的边分别是a，6，c，其中sinC=3sinA,B=60，6=，.若3的角平分线交AC于点D，则BD=16.已知定义在R上的偶函数/U）满足/（x）=/（工+4）,/（2024）=+,e若/（x）/（：

r）0,则不等式fCxr2）ex的解集为.髙三文科数学试题卷第3页（共6页）三、解答题:

共70分.解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤.第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题,考生根据要求作答（）必考题:

60分17.（本小题满分12分）在科学、文化、艺术、经济等领域，出现过大量举世瞩目的“左撇子”天才,如：

相对论提出者爱因斯坦，万有引力定律的发现者牛顿，镭的发现者居里夫人，诺贝尔奖获得者杨振宁，著有变形记的小说家弗兰兹卡夫卡，乒乓球女将王楠等。

正因为如此多的“左撇子”在不同领域取得了卓越的成就，所以越来越多的人认为“左撇子”会M聪明，这是真的吗？

某学校数学社成员为了了解真相，决定展开调査。

他们从学生中随机选取100位同学，统计他们惯用左手还是惯用右手，并通过测验获取了他们的智力商数，将智力商数不低于120视为髙智商人群，统计情况如下表.总计智力商数低于120智力商数不低于120惯用左手1064惯用右手167490总计2010080（I）能否有90%的把握认为智力商数与是否惯用左手有关？

（n）从智力商数不低于120分的这20名学生中，按惯用左手和惯用右手采用分层抽样，随机抽取了5人,再从这5人中随机抽取2人代表学校参加区里的素养大赛，求这2人中至少有一人是惯用左手的概率.nCadbe）2参考公式:

K2=其中nabcd.（a+6）（c+cO（a+c）（6+d）P（K20）0.0250.100.050,0100.001是o2.7063.8415.0246.63510.828高三文科数学试题卷第4页（共6页）18.（本小题满分12分）已知数列的前72项之积为：

（I）求数列Un的通项公式；（II）记为U在区间（0,m（mlr）中的项的个数，求数列匕的前50项和Sse.19.（本小题满分12分）九章算术卷第五商功中有记载：

“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也.甍，屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍字面意思为茅草屋顶.”现有“刍甍”如图所示，四边形EBCF为矩形，J3C=2BE=2AE=2AG=4,且AG/EF.（I）若O是四边形EJBCF对角线的交点，求证:

AO#平面GCF;（II）若AE丄EF，且ZA：

B=，求三棱锥ABEF的体积.AG一，一一f:

CB20.（本小题满分12分）已知楠圆C:

_+#=1U60）的焦距为2H，F2分别为左、右焦点，过R的直线Z与椭圆C交于M，N两M，AF2MN的周长为8.（I）求椭圆C的标准方程；（n）求三角形RMAT内切圆半径的最大值.高三文科数学试题卷第5页（共6页）21.（本小题满分12分）已知函数/（工）=sinrmx3ygCx）=（xl）ex,（mGR）*（I）当m=l时，求/（x）在点（0,/（0）处的切线方程；（n）设时，函数F（X）有两个极值点，求实数m的取值范围.

（二）选考題:

共10分.请考生在第22.23题中任选一题作答.在答题卷上将所选题号涂黑，如果多做，则按所做的第一题计分.22.（10分）X=COS（pyy=l+sin9在平面直角坐标系xOy中，曲线G的参数方程为（9为参数），以坐标原点O为极点，:

r轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p=2VJcos0.（I）求曲线G的极坐标方程与曲线G的直角坐标方程；（n）直线/:

0=f（PeR）与曲线C19C2分别交于M、N两点（异于极点O）,P为C2上的动点，求PAW面积的最大值.23.（10分）已知函数/（x）=|（I）当a=3时，求不等式/（x）2的解集；（n）若对任意xe1,2,都有/（a:

）0,求a的取值范围.2|-|x-2|（a6R）-高三文科数学试题卷第6页（共6页）2023年高中毕业年级第二次质量预测文科数学参考答案-、选择题3245689101112CCBDDDAABBDA二、填空题3/314.4/616.（-oo,-2）13.415.4三、解答题17.

（1）根据列联表代入计算可得:

100X（74X4-16X6）225K2=4分2.7782.706,10X90X20X809有90%的把掘认力智力商数与惯用左T有关.2）,=2Tn依题怠打心=4分Tn1又：

aa=1,符合上式，5分所以an=2n-1.6分

（2）由题意，2nxBx2y1）,4分-V3x=mv得：

（nr+4）少2-2VJ/wV1=0.联、:

H2-y2=42yf2m则有:

6分2=+4+4m/;/4/3Vw2+14/3叫tN=-|/riF2|h-少2|=-V223+4yjnr4-14-myjm=土当且仪当10分m设三角形AGAV内切圆半径为则5，、=x4axr=4r.2r=0时，F（;c）=（Xl）eAmx3有两个极值点，即FO）=x（ex-3mx）有两个零点，令/i（X）=P-3mx，则FO）有两个苓点等价于/50）有两个岑点，对函数求导得：

（x）=-（Dime（-,0时，A（x）0在（0,+）上恒成立，于是40）在（0,+：

）上单调递增所以/i（x）/i（0）=1,因此（JC）在（0,+）上没有零点即O）在（0,+叫上没有零点，不符合题意.当me（O,+=0时，令（x）=0得无=ln（3m）,在（0,ln3m）上（x）o所以Z（x）在（0,ln3m）上中调递减，在（In3m,+叫h申调递增所以/5（x）的最小值为（ln3m）=3m-3mln（3m）由于/i（x）在（0，+oo）上有两个零点，所以（In3m）=3m3mIn3me,即m營,闪为/i（0）=10,且x+co时，4（x）+oo,所以由零点存在性定理得mf时，/400在（0,+）上有两个零点，综上，|可得m的取值范_是+一3mx2fcosx4分3m，6分8分10分12分X=COS9,少=1+sincp22.

（1）解：

C,的参数方程为（炉为参数），消去炉呵得,JC2+（V-1）2=1,所以曲线c的直角坐标方程为;C2+/2火=0，将x=/?

cos久），=psina代入得，曲线C,的极坐:

标方程为p=2sin9.=即p2=2*VJ/）cos9,所以曲线C2的直角坐标方程为A*-+V，-_2*3x=0，2综上所述：

曲线C,的极坐标方程为P=2sin/3

（2）当汐=时，=3，=2sin=1，PNcosPM6661=1PM一PN1=2.显然当点尸到直线7WV的距离最大时，的面积最大.2V3酋:

线ywv的力程为v=.V,圆心o到苠线/WV的距离为33yf3r+w=3/333所以点尸到直线7WV的最火距离以=一xMN.d=x2x23.

（1）当a=3时，原不等式可化为|3x-2|x-2|2.所以S10分PMN22当JC22时，原不等式nj化为（3X-2）-（A-2）2,整理得所以当2;C2，整理得，所以此时+等式的解3x2,整理得:

c1，所以JC2的解集为（一oo，l）35分，+尤.2J

（2）若对任意xel，2，都有/（x）20，即|ax-2|22-x.式可转化为or-22x或or22A、A*eCl1fClX:

jax:

2JC2，（a1）Y0，所以“1综上，a的取值范_为“或10分高三文科数学答案第4页（共4页）