全等三角形难题含答案.docx
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全等三角形难题含答案
全等三角形难题（含答案）
1.已知:
AB=4，AC=2，D是BC中点，AD是整数，求AD
解:
延长AD至UE，使AD=DE
∙∙∙D是BC中点
∙∙∙BD=DC
在厶ACD和厶BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
•••△ACD◎△BDE
•AC=BE=2
•••在厶ABE中
AB-BEVAEVAB+BE
∙∙∙AB=4
即4—2V2ADV4+2
1VADV3
•AD=2
2.已知：
D是AB中点,∠ACB=90°,求证：
CD=IAB
2
A
延长CD与P，使D为CP中点。
连接AP，BP
TDP=DCQA=Db
•ACBP为平行四边形
又∠ACB=90
•平行四边形ACBP为矩形
.∙。
AB=CP=1∕2AB
3.已知:
BC=DE,∠B=∠E，∠C=∠D,F是CD中点,求证：
证明：
连接BF和EF
∙∙∙BC=ED，CF=DF，∠BCF=∠EDF
。
三角形BCF全等于三角形EDF（边角边）
。
BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在三角形BEF中，BF=EF
.∠EBF=∠BEF.
∙∙∙∠ABC=∠AED。
.∠ABE=∠AEB。
AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE，BF=EF，
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
.三角形ABF和三角形AEF全等。
。
∠BAF=∠EAF（∠1=∠2）.
4.已知:
∠1=∠2，CD=DE，EF//AB，求证:
EF=AC
过C作CG//EF交AD的延长线于点G
CG//EF，可得，∠EFD=CGD
DE=DC
∠FDE=∠GDC（对顶角）
EF=CG
∠CGD=∠EFD
又，EF//AB
∙∙∙,∠EFD=∠1
∠1=∠2
∙∠CGD=∠2
•△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
•EF=AC
5.已知：
AD平分∠BAC，AC=AB+BD，求证：
∠B=2∠C
证明：
延长AB取点E，使AE=AC，连接DE
∙∙∙AD平分∠BAC
∙∠EAD=∠CAD
∙∙∙AE=AC，AD=AD
•△AED◎△ACD（SAS）
∙∠E=∠C
∙∙∙AC=AB+BD
•AE=AB+BD
∙∙∙AE=AB+BE
•BD=BE
∙∠BDE=∠E
τ∠ABC=∠E+∠BDE
∙∠ABC=2∠E
∙∠ABC=2∠C
6.已知：
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
C
证明：
在AE上取F，使EF=EB,连接CF
∙/CE丄AB
∙∙∙∠CEB=∠CEF=90°
∙∙∙EB=EF,CE=CE,
•••△CEB◎△CEF
∙∠B=∠CFE
τ∠B+∠D=180°，∠CFE+∠CFA=180°
∙∠D=∠CFA
∙∙∙AC平分∠BAD
∙∠DAC=∠FAC
∙∙∙AC=AC
•△ADC◎△AFC（SAS）
•AD=AF
•AE=AF+FE=AD+BE
12.如图，四边形ABCD中,AB//DC,BE、CE分别平分∠ABC、/BCD,且点E在AD上。
求证：
BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB，连接EF
∙∙∙BE平分∠ABC
∙∙∙∠ABE=∠FBE
又∙∙∙BE=BE
∙∙∙∕ABE6FBE（SAS）
∙∠A=∠BFE
∙∙∙AB//CD
∙∠A+∠D=180o
∙∙∙∠BFE+∠CFE=180o
∙∠D=∠CFE
又τ∠DCE=∠FCE
CE平分∠BCD
CE=CE
∙∙∙∕DCE6FCE（AAS）
∙CD=CF
∙BC=BF+CF=AB+CD
13•已知:
AB//ED，∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证：
∠F=∠C
ABIlED,得:
∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度,τ∠EAB=∠BDE，
∙∠AED=∠ABD，
∙四边形ABDE是平行四边形。
∙得：
AE=BD,
∙∙∙AF=CD,EF=BC，
∙三角形AEF全等于三角形DBC,
∙∠F=∠CO
14.已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证：
∠B=∠C
证明：
设线段AB，CD所在的直线交于E,（当AD△AED是等腰三角形.
∙AE=DE
而AB=CD
∙∙∙BE=CE（等量加等量，或等量减等量）
•••△BEC是等腰三角形
∙∠B=∠C.
15.
PC-PBP是∠BAC平分线AD上一点，AC>AB，求证:
16.
在AC上取点E,
使AE=AB。
∙∙∙AE=AB
AP=AP
∠EAP=∠BAE,
•△EAP◎△BAP
•PE=PB。
PCVEC+PE
•PCV（AC—AE）+PB
•PC—PBVAC—AB。
证明：
在AC上取一点D,使得角DBC=角C
τ∠ABC=3∠C
∙∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C;
τ∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;
•AB=AD
•AC-AB=AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中，AE是角BAD的角平分线,
∙∙∙AE垂直BD
∙∙∙BE丄AE
∙点E一定在直线BD上，
在等腰三角形ABD中，AB=AD,AE垂直BD
∙点E也是BD的中点
∙BD=2BE
∙∙∙BD=CD=AC-AB
∙AC-AB=2BE
•••作AG//BD交DE延长线于G
∙AGE全等BDE
∙AG=BD=5
∙AGFSCDF
AF=AG=5
∙DC=CF=2
18.
AD丄BC.
如图,在△ABC中，BD=DC，∠1=∠2，求证：
A
D至BC于点E,
∙∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
•△ABC是等腰三角形
•AB=AC
在厶ABD和厶ACD中
｛AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
•△ABD和厶ACD是全等三角形（边角边）
∙∙∙∠BAD=∠CAD
∙∙∙AE是厶ABC的中垂线
∙AE丄BC
∙AD丄BC
19.如图，OM平分∠POQ,MA丄0P,MB丄0Q，A、B为垂足，AB交OM于点N。
求证：
∠OAB=∠OBA
0
证明：
VOM平分∠POQ
∙∠POM=∠QOM
VMA丄OP，MB丄OQ
∙∠MAO=∠MBO=90
VoM=OM
•••△AOM◎△BOM（AAS）
∙∙∙OA=OB
VON=ON
•△AON◎△BON（SAS）
∙∠OAB=∠OBA，∠ONA=∠ONB
v∠ONA+∠ONB=180
∙∠ONA=∠ONB=90
•OM丄AB
20.（5分）如图，已知AD//BC，∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E，CE的连线
21.
的角平分线
交AP于D。
求证：
AD+BC=AB。
∙∠PAB+∠CBA=180。
，又V，AE，BE均为∠PAB和∠CBA
∙∠EAB+∠EBA=90°∙∠AEB=90°,EAB为直角三角形在三角形ABF中，AE丄BF，且AE为∠FAB的角平分线
•三角形FAB为等腰三角形，AB=AF，BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中，∠EBC=∠DFE，且BE=EF,∠DEF=∠CEB，
•三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∙DF=BC
•AB=AF=AD+DF=AD+BC
22.如图，△ABC中，AD是∠CAB的平分线，且AB=AC+CD,求证：
∠C=2∠B
延长AC到E使AE=AC连接ED
AB=AC+CD∙∙∙CD=CE可得∠B=∠E
△CDE为等腰
∠ACB=2∠B
23.（6分）如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE丄AC于E，BF丄AC于F,若AB=CD，AF=CE,BD交AC于点M。
（1）求证：
MB=MD,ME=MF
（2）
当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立？
若成立请给予证明；若不成立请说明理由。
（1）连接BE，DF。
∙/DE丄AC于E，BF丄AC于F，∙∠DEC=∠BFA=90°DE//BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∙/AF=CE,AB=CD,
∙Rt△DEC也Rt△BFA（HL），
∙DE=BF。
∙四边形BEDF是平行四边形。
∙MB=MD，ME=MF；
（2）连接BE,DF.
∙/DE丄AC于E，BF丄AC于F，∙∠DEC=∠BFA=90°DE//BF，在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∙∙∙AF=CE,AB=CD，
∙∙∙Rt△DEC也Rt△BFA（HL）,
∙∙∙DE=BF。
∙四边形BEDF是平行四边形。
∙MB=MD,ME=MF。
24.已知：
如图，DC//AB，且DC=AE，E为AB的中点,
（1）求证：
△AED◎△EBC.
（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC夕卜，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.（直接写出结果，不要求证明）:
证明：
TDC//AB
∙∠CDE=∠AED
TDE=DE，DC=AE
•••△AED◎△EDC
TE为AB中点
•AE=BE
•BE=DC
TDC//AB
∙∠DCE=∠BEC
TCE=CE
•△EBC◎△EDC
•△AED◎△EBC
24。
（7分）
线垂直于过求证：
如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线,BD的延长C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F。
BD=2CE.
F
A
证明：
∙∙∙∠CEB=∠CAB=90∙∙∙ABCE四点共元
∙∙∙∠ABE=∠CBE
∙AE=CE
∙∠ECA=/EAC
取线段BD的中点G
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