全等三角形难题含答案.docx

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全等三角形难题含答案

全等三角形难题(含答案)

1.已知:

AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD

解:

延长AD至UE,使AD=DE

∙∙∙D是BC中点

∙∙∙BD=DC

在厶ACD和厶BDE中

AD=DE

∠BDE=∠ADC

BD=DC

•••△ACD◎△BDE

•AC=BE=2

•••在厶ABE中

AB-BEVAEVAB+BE

∙∙∙AB=4

即4—2V2ADV4+2

1VADV3

•AD=2

2.已知:

D是AB中点,∠ACB=90°,求证:

CD=IAB

2

A

延长CD与P,使D为CP中点。

连接AP,BP

TDP=DCQA=Db

•ACBP为平行四边形

又∠ACB=90

•平行四边形ACBP为矩形

.∙。

AB=CP=1∕2AB

3.已知:

BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:

证明:

连接BF和EF

∙∙∙BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF

三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)

BF=EF,∠CBF=∠DEF

连接BE

在三角形BEF中,BF=EF

.∠EBF=∠BEF.

∙∙∙∠ABC=∠AED。

.∠ABE=∠AEB。

AB=AE。

在三角形ABF和三角形AEF中

AB=AE,BF=EF,

∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF

.三角形ABF和三角形AEF全等。

∠BAF=∠EAF(∠1=∠2).

4.已知:

∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:

EF=AC

过C作CG//EF交AD的延长线于点G

CG//EF,可得,∠EFD=CGD

DE=DC

∠FDE=∠GDC(对顶角)

EF=CG

∠CGD=∠EFD

又,EF//AB

∙∙∙,∠EFD=∠1

∠1=∠2

∙∠CGD=∠2

•△AGC为等腰三角形,

AC=CG

又EF=CG

•EF=AC

5.已知:

AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:

∠B=2∠C

 

 

证明:

延长AB取点E,使AE=AC,连接DE

∙∙∙AD平分∠BAC

∙∠EAD=∠CAD

∙∙∙AE=AC,AD=AD

•△AED◎△ACD(SAS)

∙∠E=∠C

∙∙∙AC=AB+BD

•AE=AB+BD

∙∙∙AE=AB+BE

•BD=BE

∙∠BDE=∠E

τ∠ABC=∠E+∠BDE

∙∠ABC=2∠E

∙∠ABC=2∠C

6.已知:

AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:

AE=AD+BE

C

证明:

在AE上取F,使EF=EB,连接CF

∙/CE丄AB

∙∙∙∠CEB=∠CEF=90°

∙∙∙EB=EF,CE=CE,

•••△CEB◎△CEF

∙∠B=∠CFE

τ∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°

∙∠D=∠CFA

∙∙∙AC平分∠BAD

∙∠DAC=∠FAC

∙∙∙AC=AC

•△ADC◎△AFC(SAS)

•AD=AF

•AE=AF+FE=AD+BE

12.如图,四边形ABCD中,AB//DC,BE、CE分别平分∠ABC、/BCD,且点E在AD上。

求证:

BC=AB+DC。

在BC上截取BF=AB,连接EF

∙∙∙BE平分∠ABC

∙∙∙∠ABE=∠FBE

又∙∙∙BE=BE

∙∙∙∕ABE6FBE(SAS)

∙∠A=∠BFE

∙∙∙AB//CD

∙∠A+∠D=180o

∙∙∙∠BFE+∠CFE=180o

∙∠D=∠CFE

又τ∠DCE=∠FCE

CE平分∠BCD

CE=CE

∙∙∙∕DCE6FCE(AAS)

∙CD=CF

∙BC=BF+CF=AB+CD

13•已知:

AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:

∠F=∠C

ABIlED,得:

∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度,τ∠EAB=∠BDE,

∙∠AED=∠ABD,

∙四边形ABDE是平行四边形。

∙得:

AE=BD,

∙∙∙AF=CD,EF=BC,

∙三角形AEF全等于三角形DBC,

∙∠F=∠CO

14.已知:

AB=CD,∠A=∠D,求证:

∠B=∠C

证明:

设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD

△AED是等腰三角形.

∙AE=DE

而AB=CD

∙∙∙BE=CE(等量加等量,或等量减等量)

•••△BEC是等腰三角形

∙∠B=∠C.

15.

PC-PB

P是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:

16.

在AC上取点E,

使AE=AB。

∙∙∙AE=AB

AP=AP

∠EAP=∠BAE,

•△EAP◎△BAP

•PE=PB。

PCVEC+PE

•PCV(AC—AE)+PB

•PC—PBVAC—AB。

证明:

在AC上取一点D,使得角DBC=角C

τ∠ABC=3∠C

∙∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C;

τ∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;

•AB=AD

•AC-AB=AC-AD=CD=BD

在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线,

∙∙∙AE垂直BD

∙∙∙BE丄AE

∙点E一定在直线BD上,

在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD

∙点E也是BD的中点

∙BD=2BE

∙∙∙BD=CD=AC-AB

∙AC-AB=2BE

•••作AG//BD交DE延长线于G

∙AGE全等BDE

∙AG=BD=5

∙AGFSCDF

AF=AG=5

∙DC=CF=2

18.

AD丄BC.

如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:

A

D至BC于点E,

∙∠DBC+∠1=∠DCB+∠2

即∠ABC=∠ACB

•△ABC是等腰三角形

•AB=AC

在厶ABD和厶ACD中

{AB=AC

∠1=∠2

BD=DC

•△ABD和厶ACD是全等三角形(边角边)

∙∙∙∠BAD=∠CAD

∙∙∙AE是厶ABC的中垂线

∙AE丄BC

∙AD丄BC

19.如图,OM平分∠POQ,MA丄0P,MB丄0Q,A、B为垂足,AB交OM于点N。

求证:

∠OAB=∠OBA

0

证明:

VOM平分∠POQ

∙∠POM=∠QOM

VMA丄OP,MB丄OQ

∙∠MAO=∠MBO=90

VoM=OM

•••△AOM◎△BOM(AAS)

∙∙∙OA=OB

VON=ON

•△AON◎△BON(SAS)

∙∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB

v∠ONA+∠ONB=180

∙∠ONA=∠ONB=90

•OM丄AB

20.(5分)如图,已知AD//BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线

21.

的角平分线

交AP于D。

求证:

AD+BC=AB。

∙∠PAB+∠CBA=180。

,又V,AE,BE均为∠PAB和∠CBA

∙∠EAB+∠EBA=90°∙∠AEB=90°,EAB为直角三角形在三角形ABF中,AE丄BF,且AE为∠FAB的角平分线

•三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF

在三角形DEF与三角形BEC中,∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,

•三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∙DF=BC

•AB=AF=AD+DF=AD+BC

22.如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:

∠C=2∠B

延长AC到E使AE=AC连接ED

AB=AC+CD∙∙∙CD=CE可得∠B=∠E

△CDE为等腰

∠ACB=2∠B

23.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE丄AC于E,BF丄AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M。

(1)求证:

MB=MD,ME=MF

(2)

当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?

若成立请给予证明;若不成立请说明理由。

(1)连接BE,DF。

∙/DE丄AC于E,BF丄AC于F,∙∠DEC=∠BFA=90°DE//BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中,

∙/AF=CE,AB=CD,

∙Rt△DEC也Rt△BFA(HL),

∙DE=BF。

∙四边形BEDF是平行四边形。

∙MB=MD,ME=MF;

(2)连接BE,DF.

∙/DE丄AC于E,BF丄AC于F,∙∠DEC=∠BFA=90°DE//BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中,

∙∙∙AF=CE,AB=CD,

∙∙∙Rt△DEC也Rt△BFA(HL),

∙∙∙DE=BF。

∙四边形BEDF是平行四边形。

∙MB=MD,ME=MF。

24.已知:

如图,DC//AB,且DC=AE,E为AB的中点,

(1)求证:

△AED◎△EBC.

(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC夕卜,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):

证明:

TDC//AB

∙∠CDE=∠AED

TDE=DE,DC=AE

•••△AED◎△EDC

TE为AB中点

•AE=BE

•BE=DC

TDC//AB

∙∠DCE=∠BEC

TCE=CE

•△EBC◎△EDC

•△AED◎△EBC

24。

(7分)

线垂直于过求证:

如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F。

BD=2CE.

F

A

证明:

∙∙∙∠CEB=∠CAB=90∙∙∙ABCE四点共元

∙∙∙∠ABE=∠CBE

∙AE=CE

∙∠ECA=/EAC

取线段BD的中点G

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