全等三角形难题含答案.docx
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全等三角形难题含答案
全等三角形难题(含答案)
1.已知:
AB=4,AC=2,D是BC中点,AD是整数,求AD
解:
延长AD至UE,使AD=DE
∙∙∙D是BC中点
∙∙∙BD=DC
在厶ACD和厶BDE中
AD=DE
∠BDE=∠ADC
BD=DC
•••△ACD◎△BDE
•AC=BE=2
•••在厶ABE中
AB-BEVAEVAB+BE
∙∙∙AB=4
即4—2V2ADV4+2
1VADV3
•AD=2
2.已知:
D是AB中点,∠ACB=90°,求证:
CD=IAB
2
A
延长CD与P,使D为CP中点。
连接AP,BP
TDP=DCQA=Db
•ACBP为平行四边形
又∠ACB=90
•平行四边形ACBP为矩形
.∙。
AB=CP=1∕2AB
3.已知:
BC=DE,∠B=∠E,∠C=∠D,F是CD中点,求证:
证明:
连接BF和EF
∙∙∙BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF
。
三角形BCF全等于三角形EDF(边角边)
。
BF=EF,∠CBF=∠DEF
连接BE
在三角形BEF中,BF=EF
.∠EBF=∠BEF.
∙∙∙∠ABC=∠AED。
.∠ABE=∠AEB。
AB=AE。
在三角形ABF和三角形AEF中
AB=AE,BF=EF,
∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF
.三角形ABF和三角形AEF全等。
。
∠BAF=∠EAF(∠1=∠2).
4.已知:
∠1=∠2,CD=DE,EF//AB,求证:
EF=AC
过C作CG//EF交AD的延长线于点G
CG//EF,可得,∠EFD=CGD
DE=DC
∠FDE=∠GDC(对顶角)
EF=CG
∠CGD=∠EFD
又,EF//AB
∙∙∙,∠EFD=∠1
∠1=∠2
∙∠CGD=∠2
•△AGC为等腰三角形,
AC=CG
又EF=CG
•EF=AC
5.已知:
AD平分∠BAC,AC=AB+BD,求证:
∠B=2∠C
证明:
延长AB取点E,使AE=AC,连接DE
∙∙∙AD平分∠BAC
∙∠EAD=∠CAD
∙∙∙AE=AC,AD=AD
•△AED◎△ACD(SAS)
∙∠E=∠C
∙∙∙AC=AB+BD
•AE=AB+BD
∙∙∙AE=AB+BE
•BD=BE
∙∠BDE=∠E
τ∠ABC=∠E+∠BDE
∙∠ABC=2∠E
∙∠ABC=2∠C
6.已知:
AC平分∠BAD,CE⊥AB,∠B+∠D=180°,求证:
AE=AD+BE
C
证明:
在AE上取F,使EF=EB,连接CF
∙/CE丄AB
∙∙∙∠CEB=∠CEF=90°
∙∙∙EB=EF,CE=CE,
•••△CEB◎△CEF
∙∠B=∠CFE
τ∠B+∠D=180°,∠CFE+∠CFA=180°
∙∠D=∠CFA
∙∙∙AC平分∠BAD
∙∠DAC=∠FAC
∙∙∙AC=AC
•△ADC◎△AFC(SAS)
•AD=AF
•AE=AF+FE=AD+BE
12.如图,四边形ABCD中,AB//DC,BE、CE分别平分∠ABC、/BCD,且点E在AD上。
求证:
BC=AB+DC。
在BC上截取BF=AB,连接EF
∙∙∙BE平分∠ABC
∙∙∙∠ABE=∠FBE
又∙∙∙BE=BE
∙∙∙∕ABE6FBE(SAS)
∙∠A=∠BFE
∙∙∙AB//CD
∙∠A+∠D=180o
∙∙∙∠BFE+∠CFE=180o
∙∠D=∠CFE
又τ∠DCE=∠FCE
CE平分∠BCD
CE=CE
∙∙∙∕DCE6FCE(AAS)
∙CD=CF
∙BC=BF+CF=AB+CD
13•已知:
AB//ED,∠EAB=∠BDE,AF=CD,EF=BC,求证:
∠F=∠C
ABIlED,得:
∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度,τ∠EAB=∠BDE,
∙∠AED=∠ABD,
∙四边形ABDE是平行四边形。
∙得:
AE=BD,
∙∙∙AF=CD,EF=BC,
∙三角形AEF全等于三角形DBC,
∙∠F=∠CO
14.已知:
AB=CD,∠A=∠D,求证:
∠B=∠C
证明:
设线段AB,CD所在的直线交于E,(当AD△AED是等腰三角形.
∙AE=DE
而AB=CD
∙∙∙BE=CE(等量加等量,或等量减等量)
•••△BEC是等腰三角形
∙∠B=∠C.
15.
PC-PBP是∠BAC平分线AD上一点,AC>AB,求证:
16.
在AC上取点E,
使AE=AB。
∙∙∙AE=AB
AP=AP
∠EAP=∠BAE,
•△EAP◎△BAP
•PE=PB。
PCVEC+PE
•PCV(AC—AE)+PB
•PC—PBVAC—AB。
证明:
在AC上取一点D,使得角DBC=角C
τ∠ABC=3∠C
∙∠ABD=∠ABC-∠DBC=3∠C-∠C=2∠C;
τ∠ADB=∠C+∠DBC=2∠C;
•AB=AD
•AC-AB=AC-AD=CD=BD
在等腰三角形ABD中,AE是角BAD的角平分线,
∙∙∙AE垂直BD
∙∙∙BE丄AE
∙点E一定在直线BD上,
在等腰三角形ABD中,AB=AD,AE垂直BD
∙点E也是BD的中点
∙BD=2BE
∙∙∙BD=CD=AC-AB
∙AC-AB=2BE
•••作AG//BD交DE延长线于G
∙AGE全等BDE
∙AG=BD=5
∙AGFSCDF
AF=AG=5
∙DC=CF=2
18.
AD丄BC.
如图,在△ABC中,BD=DC,∠1=∠2,求证:
A
D至BC于点E,
∙∠DBC+∠1=∠DCB+∠2
即∠ABC=∠ACB
•△ABC是等腰三角形
•AB=AC
在厶ABD和厶ACD中
{AB=AC
∠1=∠2
BD=DC
•△ABD和厶ACD是全等三角形(边角边)
∙∙∙∠BAD=∠CAD
∙∙∙AE是厶ABC的中垂线
∙AE丄BC
∙AD丄BC
19.如图,OM平分∠POQ,MA丄0P,MB丄0Q,A、B为垂足,AB交OM于点N。
求证:
∠OAB=∠OBA
0
证明:
VOM平分∠POQ
∙∠POM=∠QOM
VMA丄OP,MB丄OQ
∙∠MAO=∠MBO=90
VoM=OM
•••△AOM◎△BOM(AAS)
∙∙∙OA=OB
VON=ON
•△AON◎△BON(SAS)
∙∠OAB=∠OBA,∠ONA=∠ONB
v∠ONA+∠ONB=180
∙∠ONA=∠ONB=90
•OM丄AB
20.(5分)如图,已知AD//BC,∠PAB的平分线与∠CBA的平分线相交于E,CE的连线
21.
的角平分线
交AP于D。
求证:
AD+BC=AB。
∙∠PAB+∠CBA=180。
,又V,AE,BE均为∠PAB和∠CBA
∙∠EAB+∠EBA=90°∙∠AEB=90°,EAB为直角三角形在三角形ABF中,AE丄BF,且AE为∠FAB的角平分线
•三角形FAB为等腰三角形,AB=AF,BE=EF
在三角形DEF与三角形BEC中,∠EBC=∠DFE,且BE=EF,∠DEF=∠CEB,
•三角形DEF与三角形BEC为全等三角形,∙DF=BC
•AB=AF=AD+DF=AD+BC
22.如图,△ABC中,AD是∠CAB的平分线,且AB=AC+CD,求证:
∠C=2∠B
延长AC到E使AE=AC连接ED
AB=AC+CD∙∙∙CD=CE可得∠B=∠E
△CDE为等腰
∠ACB=2∠B
23.(6分)如图①,E、F分别为线段AC上的两个动点,且DE丄AC于E,BF丄AC于F,若AB=CD,AF=CE,BD交AC于点M。
(1)求证:
MB=MD,ME=MF
(2)
当E、F两点移动到如图②的位置时,其余条件不变,上述结论能否成立?
若成立请给予证明;若不成立请说明理由。
(1)连接BE,DF。
∙/DE丄AC于E,BF丄AC于F,∙∠DEC=∠BFA=90°DE//BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∙/AF=CE,AB=CD,
∙Rt△DEC也Rt△BFA(HL),
∙DE=BF。
∙四边形BEDF是平行四边形。
∙MB=MD,ME=MF;
(2)连接BE,DF.
∙/DE丄AC于E,BF丄AC于F,∙∠DEC=∠BFA=90°DE//BF,在Rt△DEC和Rt△BFA中,
∙∙∙AF=CE,AB=CD,
∙∙∙Rt△DEC也Rt△BFA(HL),
∙∙∙DE=BF。
∙四边形BEDF是平行四边形。
∙MB=MD,ME=MF。
24.已知:
如图,DC//AB,且DC=AE,E为AB的中点,
(1)求证:
△AED◎△EBC.
(2)观看图前,在不添辅助线的情况下,除△EBC夕卜,请再写出两个与△AED的面积相等的三角形.(直接写出结果,不要求证明):
证明:
TDC//AB
∙∠CDE=∠AED
TDE=DE,DC=AE
•••△AED◎△EDC
TE为AB中点
•AE=BE
•BE=DC
TDC//AB
∙∠DCE=∠BEC
TCE=CE
•△EBC◎△EDC
•△AED◎△EBC
24。
(7分)
线垂直于过求证:
如图,△ABC中,∠BAC=90度,AB=AC,BD是∠ABC的平分线,BD的延长C点的直线于E,直线CE交BA的延长线于F。
BD=2CE.
F
A
证明:
∙∙∙∠CEB=∠CAB=90∙∙∙ABCE四点共元
∙∙∙∠ABE=∠CBE
∙AE=CE
∙∠ECA=/EAC
取线段BD的中点G