数字信号处理(姚天任江太辉第三版)课后习题答案-清晰版.pdf

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第二章2.1判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最小周期。

2.1判断下列序列是否是周期序列。

若是，请确定它的最小周期。

（1）x（n）=Acos（685n）

（2）x（n）=）8（nej（3）x（n）=Asin（343n）解

（1）对照正弦型序列的一般公式x（n）=Acos（n），得出85。

因此5162是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=）5（16516取kk。

（2）对照复指数序列的一般公式x（n）=expjn,得出81。

因此162是无理数，所以不是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x（n）=Acos（n），又x（n）=Asin（343n）Acos（2343n）Acos（6143n），得出43。

因此382是有理数，所以是周期序列。

最小周期等于N=）3（838取kk2.2在图2.2中，x（n）和h（n）分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的x（n）和h（n）的线性卷积以得到系统的输出y（n），并画出y（n）的图形。

2.2在图2.2中，x（n）和h（n）分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。

计算并列的x（n）和h（n）的线性卷积以得到系统的输出y（n），并画出y（n）的图形。

（a）1111（b）（c）11111000000-1-1-1-1-1-1-1-122222233333444nnnnnnx（n）x（n）x（n）h（n）h（n）h（n）21u（n）u（n）u（n）an=22解解利用线性卷积公式y（n）=kknhkx）（）（按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y（n）的每一个取样值。

（a）y（0）=x（O）h（0）=1y（l）=x（O）h

（1）+x

（1）h（O）=3y（n）=x（O）h（n）+x

（1）h（n-1）+x

（2）h（n-2）=4,n2（b）x（n）=2（n）-（n-1）h（n）=-（n）+2（n-1）+（n-2）y（n）=-2（n）+5（n-1）=（n-3）（c）y（n）=kknknukua）（）（=kkna=aan111u（n）2.3计算线性线性卷积2.3计算线性线性卷积

（1）y（n）=u（n）*u（n）

（2）y（n）=nu（n）*u（n）解：

（1）y（n）=kknuku）（）（=0）（）（kknuku=（n+1）,n0即y（n）=（n+1）u（n）

（2）y（n）=kkknuku）（）（=0）（）（kkknuku=111n,n0即y（n）=111nu（n）2.4图P2.4所示的是单位取样响应分别为h2.4图P2.4所示的是单位取样响应分别为h1（n）和h（n）和h2（n）的两个线性非移变系统的级联，已知x（n）=u（n）,h（n）的两个线性非移变系统的级联，已知x（n）=u（n）,h1（n）=（n）=（n）-（n）-（n-4）,h（n-4）,h2（n）=a（n）=anu（n）,|a|1,求系统的输出y（n）.u（n）,|a|1,求系统的输出y（n）.解（n）=x（n）*h1（n）=kku）（n-k）-（n-k-4）=u（n）-u（n-4）y（n）=（n）*h2（n）=kkkua）（u（n-k）-u（n-k-4）=3nkka,n32.5已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h（n）=a2.5已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h（n）=anu（-n）,0a1用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。

2.6试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

u（-n）,0a1用直接计算线性卷积的方法，求系统的单位阶跃响应。

2.6试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

证明

（1）交换律X（n）*y（n）=kknykx）（）（令k=n-t,所以t=n-k,又-k,所以-t,因此线性卷积公式变成x（n）*y（n）=ttnnytnx）（）（=ttytnx）（）（=y（n）*x（n）交换律得证.

（2）结合律x（n）*y（n）*z（n）=kknykx）（）（*z（n）=tkktykx）（）（z（n-t）=kx（k）ty（t-k）z（n-t）=kx（k）my（m）z（n-k-m）=kx（k）y（n-k）*z（n-k）=x（n）*y（n）*z（n）结合律得证.（3）加法分配律x（n）*y（n）+z（n）=kx（k）y（n-k）+z（n-k）=kx（k）y（n-k）+kx（k）z（n-k）=x（n）*y（n）+x（n）*z（n）加法分配律得证.2.7判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。

并加以证明2.7判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。

并加以证明

（1）y（n）=2x（n）+3

（2）y（n）=x（n）sin32n+6（3）y（n）=kkx）（4）y（n）=nnkkx0）（5）y（n）=x（n）g（n）解

（1）设y1（n）=2x1（n）+3,y2（n）=2x2（n）+3,由于y（n）=2x1（n）+x2（n）+3y1（n）+y2（n）=2x1（n）+x2（n）+6故系统不是线性系统。

由于y（n-k）=2x（n-k）+3,Tx（n-k）=2x（n-k）+3,因而y（n-k）=Tx（n-k）故该系统是非移变系统。

设|x（n）|M，则有|y（n）|=|2x（n）+3|2M+3|故该系统是稳定系统。

因y（n）只取决于现在和过去的输入x（n），不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

（2）设y1（n）=ax1（n）sin32n+6y2（n）=bx2（n）sin32n+6由于y（n）=Tax1（n）+bx2（n）=ax1（n）+bx2（n）sin32n+6=ax1（n）sin32n+6+bx2（n）sin32n+6=ay1（n）+by2（n）故该系统是线性系统。

由于y（n-k）=x（n-k）sin32（n-k）+6Tx（n-k）=x（n-k）sin32n+6因而有Tx（n-k）y（n-k）帮该系统是移变系统。

设|x（n）|M，则有|y（n）|=|x（n）sin32（n-k）+6|=|x（n）|sin32（n-k）+6|M|sin32（n-k）+6|M故系统是稳定系统。

因y（n）只取决于现在和过去的输入x（n）,不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

（3）设y1（n）=nkkx）（1，y2（n）=nkkx）（2，由于y（n）=Tax1（n）+bx2（n）=nkkk）（bx）（ax21=ankkx）（1+bnkkx）（2=ay1（n）+by2（n）故该系统是线性系统。

因y（n-k）=tnkkx）（=nmtmx）（=Tx（n-t）所以该系统是非移变系统。

设x（n）=My（n）=nkM=，所以该系统是不稳定系统。

因y（n）只取决于现在和过去的输入x（n），不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。

（4）设y1（n）=nnkkx01）（，y2（n）=nnkkx02）（，由于y（n）=Tax1（n）+bx2（n）=nnkkk021）（bx）（ax=annkkx01）（+bnnkkx02）（=ay1（n）+by2（n）故该系统是线性系统。

因y（n-k）=tnnkkx0）（=ntnmtmx0）（Tx（n-t）=nnktmx0）（所以该系统是移变系统。

设x（n）=M,则limny（n）=limn（n-n0）M=,所以该系统不是稳定系统。

显而易见，若nn0。

则该系统是因果系统；若nn0。

则该因果系统是非因果系统。

（5）设y1（n）=x1（n）g（n）,y2（n）=x2（n）g（n）,由于y（n）=Tax1（n）+bx2（n）=（ax1（n）+bx2（n）g（n）=ax1（n）g（n）+b2（n）=ay1（n）+by2（n）故系统是线性系统。

因y（n-k）=x（n-k）,而Tx（n-k）=x（n-k）g（n）y（n-k）所以系统是移变系统。

设|x（n）|M,则有|y（n）|=|x（n）g（n）|=M|g（n）|所以当g（n）有限时该系统是稳定系统。

因y（n）只取决于现在和过去的输入x（n），不取决于本来的输入，故该系统是因果系统。

2.8讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性2.8讨论下列各线性非移变系统的因果性和稳定性

（1）h（n）=2nu（-n）（4）h（n）=（12）nu（n）

（2）h（n）=-anu（-n-1）（5）h（n）=1nu（n）（3）h（n）=（n+n0）,n00（6）h（n）=2nRnu（n）解

（1）因为在n0时，h（n）=2n0,故该系统不是因果系统。

因为S=n|h（n）|=0n|2n|=1，故该系统是稳定系统。

（2）因为在n1时才是稳定系统。

（3）因为在nO时，h（n）0，故该系统不是因果系统。

因为S=n|h（n）|=n|（n+n0）|=1，故该系统是稳定系统。

（4）因为在nO时，h（n）=0，故该系统是因果系统。

因为S=n|h（n）|=0n|（12）n|，故该系统是稳定系统。

（5）因为在nO时，h（n）=1nu（n）=0，故该系统是因果系统。

因为S=n|h（n）|=n|1nu（n）|=0n1n=，故该系统不是稳定系统。

（6）因为在nO时，h（n）=0，故该系统是因果系统。

因为S=n|h（n）|=10Nn|2n|=2N-1，故该系统是稳定系统。

2.9已知y（n）-2cos2.9已知y（n）-2cosy（n-1）+y（n-2）=0,且y（0）=0,y

（1）=1,求证y（n）=y（n-1）+y（n-2）=0,且y（0）=0,y

（1）=1,求证y（n）=sin（）sinn证明题给齐次差分方程的特征方程为2-2cos+1=0由特征方程求得特征根1=cos+jsin=ej,2=cos-jsin=ej齐次差分方程的通解为y（n）=c11n+c22n=c1ejn+c2ejn代入初始条件得y（0）=c1+c2=0y

（1）=c1ejn+c2ejn=1由上两式得到c1=1jnjnee=12sin，c2=-c1=-12sin将c1和c2代入通解公式，最后得到y（n）=c1ejn+c2ejn=12sin（ejn+ejn）=sin（）sinn2.10已知y（n）+22.10已知y（n）+2y（n-1）+y（n-1）+（n-2）=0,且y（0）=0,y

（1）=3,y

（2）=6,y（3）=36,求y（n）（n-2）=0,且y（0）=0,y

（1）=3,y

（2）=6,y（3）=36,求y（n）解首先由初始条件求出方程中得系数a和b由

（2）2

（1）（0）660（3）2

（2）

（1）361230yaybyayaybyab可求出a=-1,b=-8于是原方程为y（n）-2y（n-1）-iy（n-2）=0由特征方程2280求得特征根14，2-2齐次差分方程得通解为y（n）=c11n+c22n=c14n+c2（-2n）代入初始条件得y（n）=c11+c22=41+22=3由上二式得到c112，c212将c1和c2代入通解公式，最后得到y（n）=c11n+c22n124n-（-2）n2.11用特征根法和递推法求解下列差分方程：

y（n）-y（n-1）-y（n-2）=0,且y（0）=1,y

（1）=12.11用特征根法和递推法求解下列差分方程：

y（n）-y（n-1）-y（n-2）=0,且y（0）=1,y

（1）=1解由特征方程210求得特征根1152，2152通解为y（n）=c11n+c22nc1（152）nc2（152）n代入初始条件得121211515（）（）122cccc求出c1=1525，c2=1525最后得到通解y（n）=c1（1525）n+c2（1525）n=15（1525）1n-（1525）1n2.12一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h（n）和单位阶跃响应2.12一系统的框图如图P2.12所示，试求该系统的单位取样响应h（n）和单位阶跃响应解由图可知y（n）=x（n）+y（n-1）为求单位取样响应，令x（n）=（n）,于是有h（n）=（n）+h（n-1）由此得到h（n）=（）1nD=nu（n）阶跃响应为y（n）=h（n）*u（n）=0nkky（k）u（n-k）=111nu（n）2.13设序列x（n）的傅立叶变换为X（e2.13设序列x（n）的傅立叶变换为X（ejw）,求下列各序列的傅立叶变换）,求下列各序列的傅立叶变换解

（1）Fax1（n）+bx2（n）=aX1（ejw）+bX2（ejw）

（2）Fx（n-k）=ejwkX（ejw）（3）Fe0jwnx（n）=Xe0（）jww（4）Fx（-n）=X（ejw）（5）Fx*（n）=X*（ejw）（6）Fx*（-n）=X*（ejw）（7）（8）jImx（n）=12X（ejw）-X*（ejw）（9）12X（ej）*X（ejw）（10）j（）jwdxedw2.14设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述y（n）-2.14设一个因果的线性非移变系统由下列差分方程描述y（n）-12y（n-1）=x（n）+y（n-1）=x（n）+12x（n-1）

（1）x（n-1）

（1）求该系统的单位取样响应h（n）

（2）求该系统的单位取样响应h（n）

（2）用

（1）得到的结果求输入为x（n）e用

（1）得到的结果求输入为x（n）ejwn时系统的响应（3）时系统的响应（3）求系统的频率响应（4）求系统的频率响应（4）求系统对输入x（n）=cos（求系统对输入x（n）=cos（2n+n+4）的响应）的响应解

（1）令X（n）=（n）,得到h（n）-h（n-1）/2=（n）+（n-1）/2由于是因果的线性非移变系统，故由上式得出h（n）=h（n-1）/2+（n）+（n-1）/2,n0递推计算出h（-1）=0h（0）=h（-1）/2+（0）=1h

（1）=h（0）/2+1/2=1h

（2）=h

（1）/2=1/2h（3）=21h

（2）=（21）2h（4）=21h

（2）=（21）3h（n）=（n）+（21）n-1u（n-1）或h（n）=（21）nu（n）-u（n-1）也可将差分方程用单位延迟算子表示成（1-D）h（n）=（1+D）（n）由此得到h（n）=（1+21D）/（1-21D）（n）=1+D+21D2+（21）2D3+（21）k-1D3+（n）=（n）+（n-1）+21（n-2）+21（n-3）+.+（21）k-1（n-1）+=（n）+（21）nu（n-1）2）将jwnenX）（代入）（*）（）（nhnxny得到jwjwjwnjwnjwjwnnnjwnjwneeeeeeDDDDeDDnDDeny2112112112121211211211）（211211*）（11322（3）由

（2）得出jwjwjweeeH211211（4）由（3）可知121121121212wjwjwjeeeH21arctan2211arctan211arctanarg222jjwjeeeH故：

21arctan242cosarg42cosneHneHnyjwjw2.15某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述y（n）-ay（n-1）=x（n）-bx（n-1）试确定能使系统成为全通系统的b值（ba），所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率2.15某一因果线性非移变系统由下列差分方程描述y（n）-ay（n-1）=x（n）-bx（n-1）试确定能使系统成为全通系统的b值（ba），所谓全通系统是指其频率响应的模为与频率无关的常数的系统。

无关的常数的系统。

解：

令解：

令x（n）=（n）,则则h（n）=ah（n-1）=（n）-b8（n-1）或或h（n）=ah（n-1）+（n）-（n-1）,n0由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出：

h（-1）=0h（0）=1h

（1）=ah（0）-b0由于是线性的非移变系统，故对上式递推计算得出：

h（-1）=0h（0）=1h

（1）=ah（0）-b（0）=a-bh

（2）=ah

（1）=-abh（3）=ah

（2）=-bh（n）=ah（n-1）=-b,n0h（n）=u（n）-bu（n-1）或系统的频率特性为或系统的频率特性为H（）=振幅的特性平方振幅的特性平方=若选取a*1b或b*1a，则有|H（ejw）|2=|b|2,即幅度响应等于与频率响应无关的常数，故该系统为全通系统。

2.16

（1）一个线性非移变系统的单位冲激响应为h（n）=a2.16

（1）一个线性非移变系统的单位冲激响应为h（n）=anu（n）,其中a为实数，且0a1。

设输入为x（n）=u（n）,其中a为实数，且0a1。

设输入为x（n）=nu（n）,u（n）,为实数，且0为实数，且01.试利用线性卷积计算系统的输出y（n）,并将结果写成下列形式y（n）=（k0时，x（n）是因果序列，收敛域为0z，无零点，极点为0（m阶）;当m0时，x（n）是逆因果序列，收敛域为0z，零点为0（m阶），无极点;当m=0,X（z）1，收敛域为0z，既无零点，也无极点

（2）X（z）-nn21u（n）z-n=0nnz121=12111zX（n）是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx的圆的外部区域，这里Rxlimn）（）1（nxnx21（n）还是因果序列，可以有z，故收敛域为21z。

零点为0，极点为21。

X（n）还是因果序列，可以有z，故收敛域为21z。

零点为0，极点为21。

（4）X（z）-nn2110）-u（n-u（n）z-n=90nn21z-n=110）2

（1）2（1zzX（n）是有限长序列，且它的Z变换只有负幂项，故收敛域为0z.零点为0和21（10阶），极点为21。

2.20求下列序列的Z变换和收敛域和零极点分布图

（1）x（n）=a求下列序列的Z变换和收敛域和零极点分布图

（1）x（n）=a|n,0a1

（2）x（n）=e,0a1

（2）x（n）=e0（）ajwnu（n）（3）x（n）=Aru（n）（3）x（n）=Arncos（cos（0）u（n）,0r1（4）x（n）=）u（n）,0r1（4）x（n）=1!

nu（n）（5）x（n）=sin（u（n）（5）x（n）=sin（0）u（n）u（n）

（1）X（z）=

（1）X（z）=nnnaz=10nnnnnnazaz=110111nnnnnnaxazazaxax=2

（1）

（1）（）zaazzaX（n）是双边序列，可看成是由一个因果序列（收敛域az）和一个因果序列（收敛域10za）相加组成，故X（z）的收敛域是这两个收敛域的重叠部分，即圆环区域1aza。

零点为0和，极点为a和1a。

（2）0（）（）（）（）jjnnnnXzeunzez=111jezX（n）是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为xR的圆的外部区域，这里

（1）lim（）xxxnRexnX（n）还是右边序列，可以有z，故收敛域为ez。

零点为0,极点为0je。

（3）（）（）0110011（）（）11（）cos（）（）（）（）22112121（）21（oooooooooonnonjnjnnnnjjjjnnnnjjjjjjjjjjXzArnunzeeArznAeAerezrezAeAerezrezererezeArzee221122）coscos（）12cosoorzrzArzrzX（n）是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为3R的圆的外部区域，这里100cos

（1）

（1）limlim（）cos（）nnrXnnrAnxnRzxnA（）xn还是因果序列，可以有z，故收敛域为rz。

零点为0和0cos（）cosr，极点为0jre和0jre（4）1（）（）!

0nZnXzunZnnnn1231111.2!

nZZZZn1xeX（n）是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx的圆的外部区域，这里

（1）1limlim0（）1XnnxnRxnnX（n）还是因果序列，可以有Z，故收敛域为0Z，无零点，极点为0。

（5）X（z）=0sin（）（）nnwnunz100sin（）nwnz00（）（）02jwnjwnnneezj?

110（）（）22jjjnjnneeezezjj?

0000（）（）112（）（）121（）jwjwjjjwjweeeezjeezz1010sinsin12cosiwzwzzxn是右边序列,它的Z变换收敛域是半径为是右边序列,它的Z变换收敛域是半径为0R的圆的外部象区域,这里的圆的外部象区域,这里000sin11limlim1sinxxnwnxnRxnwxn还是因果序列,大故收敛域为还是因果序列,大故收敛域为1z.零点为0和.零点为0和0sinsinw.极点为.极点为00cosjsinww和和00cosjsinww.2.21用三种方法求下列Z变化的逆变换

（1）X（Z）=2.21用三种方法求下列Z变化的逆变换

（1）X（Z）=11112z,|Z|,|Z|,|Z|12（3）X（Z）=（3）X（Z）=111azza,|Z|a,|Z|a1|解|解

（1）采用幂级数法。

由收敛域课确定x1（n）是左边序列。

又因为1lim（）xXz1为有限值，所以x1（n）是逆因果序列。

用长除法将X1（z）展开成正幂级数，即11234511111（）1122481621.

（1）2.

（1）2

（2）nnnnnnnnnnXzzzzzzzzzz最后得到x1（n）-2（-2）n，n-1，-2，-3或x1（n）1（）

（1）2nun

（2）采用部分分式展开法。

将X2（z）展开陈部分分式11212111211111122（）31111

（1）

（1）4824111124zzXZzzzzAAzz其中111212141124111411231112ZZZAZZAZ由收敛域可确定X2（n）式右边序列。

又因2lim（）xXz1，所以X2（n）还是因果序列。

用长除法分别将1143111124zz展开成负幂级数，即14112z412311111.（）.2482nnzzzz=01（）2nnnaz13114z=-312311111.（）.48164nnzzzz=013（）4nnnz由上两式得到211（）4（）3（）（）24nnxnun（3）采用留数定理法。

围线积分的被积函数为11111311

（1）

（1）（）nnnazzazzxnzzaza当n0时，由给定的收敛域可知，被积函数在围线之内仅有一个极点1za，因此111133211（）Re（）,

（1）

（1）,0nnzanxnsxz

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