岩石力学地下硐室围岩压力分析及计算.ppt
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第第九九章章地下洞室围岩压力分析与计算重庆交通大学土木建筑学院重庆交通大学土木建筑学院隧道及岩土工程系隧道及岩土工程系本章内容本章内容99-1-1概述概述9-29-2松动围岩压力的计算松动围岩压力的计算9-39-3变形围岩压力的计算变形围岩压力的计算授课学时：
授课学时：
66学时学时关键术语：
关键术语：
围岩压力，围岩变形压力，围岩松动压力，围岩压力，围岩变形压力，围岩松动压力，普氏平衡拱，喷锚支护，稳定性。
普氏平衡拱，喷锚支护，稳定性。
本章的重点难点：
本章的重点难点：
11、围岩与支护相互作用原理；、围岩与支护相互作用原理；22、弹塑性理论计算围岩压力弹塑性理论计算围岩压力33、块体平衡理论计算围岩压力；、块体平衡理论计算围岩压力；44、压力拱理论计算围岩压力压力拱理论计算围岩压力；55、太沙基理论计算围岩压力；太沙基理论计算围岩压力；9-19-1概述概述基本概念基本概念:
n围岩压力围岩压力：
地下洞室围岩在二次应力作用下产生过量的塑地下洞室围岩在二次应力作用下产生过量的塑性变形或松动破坏，进而引起施加于支护衬砌上的压力，称为性变形或松动破坏，进而引起施加于支护衬砌上的压力，称为围岩压力。
围岩压力。
n围岩压力是围岩与支护间的相互作用力，它与围岩应力不是围岩压力是围岩与支护间的相互作用力，它与围岩应力不是同一个概念。
同一个概念。
围岩应力围岩应力是岩体中的是岩体中的内力内力，而，而围岩压力围岩压力则是针对则是针对支护结构来说的，是作用于支护衬砌上的支护结构来说的，是作用于支护衬砌上的外力外力。
n围岩压力的围岩压力的类型类型：
按围岩压力的形成机理，可将其划分为：
按围岩压力的形成机理，可将其划分为变变形围岩压力形围岩压力、松动围岩压力松动围岩压力和和冲击围岩压力冲击围岩压力。
11、形变围岩压力、形变围岩压力n形变围岩压力形变围岩压力是由于围岩塑性变形如塑性挤入、是由于围岩塑性变形如塑性挤入、膨胀内鼓、弯折内鼓等形成的挤压力。
膨胀内鼓、弯折内鼓等形成的挤压力。
n产生形变围岩压力的条件：
产生形变围岩压力的条件：
岩体较软弱或破碎，围岩应力超过岩体的屈服极岩体较软弱或破碎，围岩应力超过岩体的屈服极限而产生较大的塑性变形；限而产生较大的塑性变形；深埋洞室，围岩受压力过大引起塑性流动变形；深埋洞室，围岩受压力过大引起塑性流动变形；由膨胀围岩产生的膨胀围岩压力。
由膨胀围岩产生的膨胀围岩压力。
一种特殊的形变围岩压力一种特殊的形变围岩压力n膨胀围岩压力膨胀围岩压力：
膨胀：
膨胀围岩由于矿物吸水膨围岩由于矿物吸水膨胀产生的对支衬结构胀产生的对支衬结构的挤压力。
的挤压力。
n形成的基本条件：
形成的基本条件：
n一是岩体中要有膨胀一是岩体中要有膨胀性粘土矿物性粘土矿物（如蒙脱石如蒙脱石等等）；n二是要有地下水的作二是要有地下水的作用。
用。
22、松动围岩压力、松动围岩压力n松动围岩压力松动围岩压力是由于围岩拉裂塌落、块体滑移是由于围岩拉裂塌落、块体滑移及重力坍塌等破坏引起的压力，这是一种有限范及重力坍塌等破坏引起的压力，这是一种有限范围内脱落岩体重力施加于支护衬砌上的压力。
围内脱落岩体重力施加于支护衬砌上的压力。
n大小取决于围岩性质、结构面交切组合关系及地大小取决于围岩性质、结构面交切组合关系及地下水活动和支护时间等因素。
下水活动和支护时间等因素。
n松动围岩压力可采用松散体极限平衡或块体极限松动围岩压力可采用松散体极限平衡或块体极限平衡理论进行分析计算。
平衡理论进行分析计算。
33、冲击围岩压力、冲击围岩压力冲击围岩压力冲击围岩压力是由岩爆形成的一种特殊围岩压力。
是由岩爆形成的一种特殊围岩压力。
它是强度较高且较完整的弹脆性岩体过度受力后突它是强度较高且较完整的弹脆性岩体过度受力后突然发生岩石弹射变形所引起的围岩压力现象。
然发生岩石弹射变形所引起的围岩压力现象。
冲击围岩压力的大小与天然应力状态、围岩力学冲击围岩压力的大小与天然应力状态、围岩力学属性等密切相关，并受到洞室埋深、施工方法及洞属性等密切相关，并受到洞室埋深、施工方法及洞形等因素的影响。
形等因素的影响。
冲击围岩压力的大小，目前无法进行准确计算，冲击围岩压力的大小，目前无法进行准确计算，只能对冲击围岩压力的产生条件及其产生可能性进只能对冲击围岩压力的产生条件及其产生可能性进行定性的评价预测。
行定性的评价预测。
影响围岩压力的因素影响围岩压力的因素11、洞室形状和大小的影响、洞室形状和大小的影响22、地质构造的影响、地质构造的影响地质构造简单、地层完整、无软弱结构面，围岩就地质构造简单、地层完整、无软弱结构面，围岩就稳定，围岩压力就小稳定，围岩压力就小地质构造复杂，地层不完整、有软弱结构面，围岩地质构造复杂，地层不完整、有软弱结构面，围岩就不稳定，围岩压力就大就不稳定，围岩压力就大在断层破碎带、褶皱破碎带和裂隙发育的地段，围在断层破碎带、褶皱破碎带和裂隙发育的地段，围岩压力一般较大岩压力一般较大岩层倾斜、节理不对称以及地形倾斜，可能引起不岩层倾斜、节理不对称以及地形倾斜，可能引起不对称的围岩压力，即偏压，应特别重视对称的围岩压力，即偏压，应特别重视33、支护形式和支护刚度的影响、支护形式和支护刚度的影响支护形式：
支护形式：
外部支护：
如钢拱架外部支护：
如钢拱架能承受围岩压力或限制围岩变形能承受围岩压力或限制围岩变形内承支护：
如锚杆、砂浆等内承支护：
如锚杆、砂浆等能提高岩体的自承能力能提高岩体的自承能力支护刚度越大，允许围岩变形就越小，围岩压力就大，反之，支护刚度越大，允许围岩变形就越小，围岩压力就大，反之，围岩压力就小围岩压力就小44、支护时间的影响、支护时间的影响围岩压力主要是由于岩体的变形和破坏造成的，而岩体的变围岩压力主要是由于岩体的变形和破坏造成的，而岩体的变形和破坏都有一个时间过程，导致围岩压力与时间有关形和破坏都有一个时间过程，导致围岩压力与时间有关支护时间越早，围岩变形较小，则围岩压力就大，反之，围支护时间越早，围岩变形较小，则围岩压力就大，反之，围岩压力就小岩压力就小55、洞室深度的影响、洞室深度的影响当围岩处于弹性状态时，围岩压力大小与洞室的埋深无关当围岩处于弹性状态时，围岩压力大小与洞室的埋深无关当围岩出现塑性区时，围岩压力大小与洞室的埋深有关，洞当围岩出现塑性区时，围岩压力大小与洞室的埋深有关，洞室的埋置深度越大，围岩压力也就越大室的埋置深度越大，围岩压力也就越大66、施工方法的影响、施工方法的影响围岩压力的大小与洞室施工方法和施工速率有较大关系围岩压力的大小与洞室施工方法和施工速率有较大关系在相同的地质及其他条件下，对围岩扰动越大的施工方法，在相同的地质及其他条件下，对围岩扰动越大的施工方法，造成的围岩压力就越大，反之，则小造成的围岩压力就越大，反之，则小通常施工作业暴露过长、衬砌较晚、回填不实或回填材料不通常施工作业暴露过长、衬砌较晚、回填不实或回填材料不好等，都会引起围岩压力的增大好等，都会引起围岩压力的增大99.2.2松动围岩压力分析与计算松动围岩压力分析与计算松动围岩压力是指松动塌落岩体重量所引起的作松动围岩压力是指松动塌落岩体重量所引起的作用在支护衬砌上的压力。
用在支护衬砌上的压力。
围岩过度变形超过了它的抗变形能力，就会引起围岩过度变形超过了它的抗变形能力，就会引起塌落等松动破坏，这时作用于支护衬砌上的围岩压塌落等松动破坏，这时作用于支护衬砌上的围岩压力就等于塌落岩体的自重或分量。
力就等于塌落岩体的自重或分量。
计算松动围岩压力的方法主要有：
计算松动围岩压力的方法主要有：
块体极限平衡块体极限平衡理论理论、平衡拱理论平衡拱理论及及太沙基理论太沙基理论。
一、一、块体极限平衡理论计算围岩压力块体极限平衡理论计算围岩压力步骤：
（1）运用地质勘探手段查明结构面产状和组合关系，并求出结构面的c、值；
（2）对临空的结构体进行稳定性分析，找出可能滑移的结构体（危岩）；（3）如果楔形体处于稳定状态，其围岩压力为零；如果不稳定，就要具体地计算其围岩压力。
（4）采用块体极限平衡理论进行支护压力计算
（一）顶板危岩稳定性分析
（一）顶板危岩稳定性分析如图，设结构面AC和BC的粘结力分别为c01、c02，内摩擦角为01、02，AC=L1，BC=L2，结构体高度为H。
由几何关系可得：
并且有：
1、受力分析：
（1）结构面AC和BC上由粘结力产生的抗剪力为
（2）围岩切向应力（设顶板围岩水平应力平均值为）在结构面上产生的摩擦力为：
（3）切向应力对结构体产生的上推力：
（4）单位长度结构体自重为：
式中为围岩重度。
22、稳定性判断、稳定性判断结构面上总抗剪力沿垂直方向的分力FV为：
显然，结构体的稳定条件为：
上式若不满足，则要考虑支护。
作用于支护上的压力结构体的重力W。
（二）两帮危岩稳定性分析
（二）两帮危岩稳定性分析由上两式可解得:
如图，设结构面BC的粘结力为c0，内摩擦角为0，结构体高度为h。
若忽略两帮切向应力作用，则只需考虑BC面上的滑动力与抗滑力的平衡。
由几何关系可得：
从而得:
单位坑道长度上结构体自重为：
式中为两帮围岩重度。
结构面BC上由粘结力产生的抗剪力为：
结构体自重在BC面上的法向分力产生的抗剪力为：
在BC面上的总的抗滑力为：
由结构体自重在BC面上的切向分力（下滑力）为：
结构体ABC的稳定条件为：
即：
若：
则结构体ABC不稳定，在下滑时对支架产生水平推力，即对支架施加的侧压力为：
即：
二、二、平衡拱理论，又称普氏理论平衡拱理论，又称普氏理论该理论认为该理论认为：
洞室开挖以后，如不及时支护，洞顶岩体将不断跨洞室开挖以后，如不及时支护，洞顶岩体将不断跨落而形成一个拱形，称塌落拱。
落而形成一个拱形，称塌落拱。
这个拱形最初不稳定，如果侧壁稳定，拱高随塌落这个拱形最初不稳定，如果侧壁稳定，拱高随塌落不断增高；反之，如侧壁也不稳定，则拱跨和拱高同不断增高；反之，如侧壁也不稳定，则拱跨和拱高同时增大。
时增大。
当洞的埋深较大时，塌落拱不会无限发展，最终将当洞的埋深较大时，塌落拱不会无限发展，最终将在围岩中形成一个自然平衡拱。
在围岩中形成一个自然平衡拱。
作用于支护衬砌上的围岩压力就是平衡拱与衬砌间作用于支护衬砌上的围岩压力就是平衡拱与衬砌间破碎岩体的重量，与拱外岩体无关。
破碎岩体的重量，与拱外岩体无关。
11、普氏理论假设条件、普氏理论假设条件
（1）将岩体视为没有粘结力的松散体。
式中：
k为岩体似内摩擦角。
（2）洞顶岩体能够形成压力拱。
（3）沿拱切线方向只作用有压应力，而不能承受拉应力。
自然平衡拱以上的岩体重量通过拱传递到两帮，对拱内岩体不产生任何影响。
即作用在支架上的顶压仅为拱内岩体重量，与拱外岩体和坑道埋深无关。
式中式中cc为岩石单轴抗压强度，为岩石单轴抗压强度，Mpa.Mpa.也可按上式计算岩体似内摩擦角也可按上式计算岩体似内摩擦角kk：
（44）采用坚固性系数采用坚固性系数ff（普氏系数（普氏系数）来表征岩体的强度）来表征岩体的强度由此可见，普氏理论主要适用于破碎性较大的岩由此可见，普氏理论主要适用于破碎性较大的岩石或土体围岩石或土体围岩2、自然平衡拱的力学模型及相应的计算方法模型1：
假定坑道两帮岩体稳定（f2），而坑道顶部岩体不稳定，会发生冒落而形成自然平衡拱。
模型2：
假定坑道两帮岩体也不稳定（f2），发生剪切破坏，导致平衡拱的跨度扩大。
（1）
（1）模型模型11及相应的计算方法及相应的计算方法曲线曲线LOMLOM为平衡拱，对称于为平衡拱，对称于yy轴。
在半跨轴。
在半跨LOLO段内任取一段内任取一点点AA，OAOA段的受力状态为：
半跨段的受力状态为：
半跨OMOM段对段对OAOA的水平作用的水平作用力力RxRx，RxRx对对AA点的力矩为点的力矩为RxyRxy；铅直天然应力；铅直天然应力vv在在OAOA上上的作用力的作用力vxvx，它对，它对AA点的力矩为点的力矩为vx/2vx/2；LALA段对段对OAOA段的段的反力反力WW，它对，它对AA点的点的力矩为零力矩为零。
由此可得拱的方程为：
由此可得拱的方程为：
设平衡拱的拱高为设平衡拱的拱高为hh，半跨为，半跨为bb，则：
，则：
考虑半拱考虑半拱LOLO的平衡，的平衡，L0L0受受RxRx、vv作作用，在拱脚用，在拱脚LL点受反力点受反力TT和和NN作用。
作用。
ff为岩体的普氏系数为岩体的普氏系数（或称坚固性系数或称坚固性系数）考虑一定的安全储备，摩阻力只考虑一定的安全储备，摩阻力只取一半，则有：
取一半，则有：
进而推出进而推出洞顶总围岩压力为洞顶总围岩压力为L0ML0M以下岩体的重量以下岩体的重量洞顶任意一点的垂直围岩压力洞顶任意一点的垂直围岩压力洞顶任一点松动围岩的厚度洞顶任一点松动围岩的厚度洞顶任一点的垂直围岩压力洞顶任一点的垂直围岩压力（22）模型）模型22及相应的计算方法及相应的计算方法洞洞的的半半跨跨将将由由bb扩扩大大至至b1b1，侧侧壁壁岩岩体体将将沿沿LELE和和MFMF滑滑动动，滑面与垂直洞壁的夹角为滑面与垂直洞壁的夹角为4545m/2m/2。
则：
。
则：
洞顶的总松动围岩压力洞顶的总松动围岩压力pp11为为AABBAABB块体的重量块体的重量n侧壁围岩压力为滑移块体侧壁围岩压力为滑移块体AELAEL或或BMFBMF的自重的自重在水平方向上的投影。
在水平方向上的投影。
n按土压力理论计算按土压力理论计算侧壁围岩压力侧壁围岩压力n平衡拱理论只适用平衡拱理论只适用散体结构岩体散体结构岩体。
n洞室上覆岩体需有一定的厚度洞室上覆岩体需有一定的厚度（埋深埋深HH5b5b11），才能形成平衡拱。
，才能形成平衡拱。
实际上，自然平衡拱有各种形状，在岩层倾斜的情况下，还会产生歪斜的平衡拱，如图所示。
普氏平衡拱理论适用于深埋洞室。
可见：
松脱压力是有一定限度的，不是无限增大；采用传统支护方法时，要尽量使支护与围岩紧密接触，使支护更好地发挥作用，有效控制围岩破坏。
（三）、太沙基理论计算围岩压力（三）、太沙基理论计算围岩压力对于软弱破碎岩体或土体，在巷道浅埋的情况下，可对于软弱破碎岩体或土体，在巷道浅埋的情况下，可以采用太沙基理论计算围岩压力。
以采用太沙基理论计算围岩压力。
11、太沙基理论的基本假设、太沙基理论的基本假设（11）视岩体为具有一定粘结力的松散体，其强度服从莫尔）视岩体为具有一定粘结力的松散体，其强度服从莫尔库伦强度理论，即库伦强度理论，即（22）假设坑道开挖后，顶板岩体逐渐下沉）假设坑道开挖后，顶板岩体逐渐下沉，引起应力，引起应力传递而作用在支架上，形成坑道压力。
传递而作用在支架上，形成坑道压力。
22、太沙基围岩压力公式、太沙基围岩压力公式一般分坑道一般分坑道两帮岩体稳定两帮岩体稳定或或不稳定不稳定两种情况考虑。
两种情况考虑。
（11）、坑道两帮岩体稳定）、坑道两帮岩体稳定坑道两帮岩体稳定，下沉仅限于顶板上部岩体，如图，AD和BC为滑动面，并延伸至地表。
两侧岩体的剪力dF:
式中：
h，v为在深度Z处的水平应力和垂直应力，为侧压力系数，h/v若地表作用有均布荷载p，则薄层dz在垂直方向的平衡方程为：
整理得：
于是得：
根据地表边界条件求A:
当z=0时，vp，代入上式得：
则垂直应力的计算公式为：
解微分方程得：
则垂直应力的计算公式：
当z=H时，v就是作用在坑道顶压qv。
若H，c0,p=0时，坑道顶压：
单位长度坑道上的顶压为：
（22）、坑道两帮岩体不稳定）、坑道两帮岩体不稳定坑道两帮岩体发生剪切坑道两帮岩体发生剪切破坏，形成直达地表的破裂破坏，形成直达地表的破裂面面OCOC和和OOCC并引起岩柱体并引起岩柱体ABBABBAA下沉，产生垂直破裂下沉，产生垂直破裂面面ABAB和和AABB。
AA、坑道顶部下沉的跨度为：
坑道顶部下沉的跨度为：
B、坑道顶压坑道顶压计算方法同上，只需将以上各式中的a以a1代替即可。
若H，c0,p=0时，坑道顶压：
C、单位长度坑道上的顶压为：
D、支架受到的总的侧压力Qh:
可按滑动土体上有均布荷载q作用的挡土墙上主动土压力公式计算，即例题例题某某矩矩形形巷巷道道，宽宽度度为为4m,高高度度为为3m，布布置置在在泥泥质质页页岩岩中中，岩岩石石的的换换算算内内摩摩擦擦角角k710，,岩岩石石重重度度20kN/m3，按普氏地压理论试求：
按普氏地压理论试求：
（1）拱的跨度和高度）拱的跨度和高度；
（2）自然平衡拱的方程式；）自然平衡拱的方程式；（3）支架）支架所受的顶所受的顶压等于多少？
压等于多少？
解：
解：
2a=4m,f=tg710=2.9,20kN/m3
（1）压力拱跨度压力拱跨度2a=4（m）压力拱高度压力拱高度b=a/f=2/2.9=0.69（m）
（2）压力拱方程式：
压力拱方程式：
yx2b/a2=0.172x2（3）总顶压力总顶压力例题例题在完整性良好的花岗岩中掘进一在完整性良好的花岗岩中掘进一圆形巷道，其半径为圆形巷道，其半径为4m,4m,埋深埋深220m220m，岩体重度，岩体重度=27=27kN/m3,kN/m3,单轴抗压强度单轴抗压强度cc=10.2Mpa10.2Mpa，侧，侧压力系数压力系数11，问该巷道围岩是否稳定？
，问该巷道围岩是否稳定？
解：
在解：
在220m深处深处原岩应力为原岩应力为p：
巷道围岩应力为：
巷道围岩应力为：
在巷道壁，在巷道壁，1，3r=0莫尔库伦破坏判据为：
莫尔库伦破坏判据为：
可见巷道围岩不稳定。
可见巷道围岩不稳定。
9-39-3变形围岩压力分析与计算变形围岩压力分析与计算在上一章将洞室围岩看作弹性体，其应力在上一章将洞室围岩看作弹性体，其应力-应变关系应变关系符合弹性情况，只要应力小于岩石的强度，则认为围符合弹性情况，只要应力小于岩石的强度，则认为围岩稳定，此时既无松动压力，也无形变压力岩稳定，此时既无松动压力，也无形变压力上一节讨论了松散围岩压力的计算，这一节将从弹上一节讨论了松散围岩压力的计算，这一节将从弹塑性理论的角度来分析圆形洞室形变围岩压力塑性理论的角度来分析圆形洞室形变围岩压力在塑性围岩应力、位移、破坏区的基础上介绍用于在塑性围岩应力、位移、破坏区的基础上介绍用于形变围岩压力计算的芬纳公式和卡柯公式形变围岩压力计算的芬纳公式和卡柯公式一、塑性围岩的重分布应力计算一、塑性围岩的重分布应力计算地下开挖后，洞壁的应力集中地下开挖后，洞壁的应力集中最大最大,当它超过围岩屈服当它超过围岩屈服极限时，洞壁围岩就由弹性状态转化为极限时，洞壁围岩就由弹性状态转化为塑性状态塑性状态，并在，并在围岩中形成一个围岩中形成一个塑性松动圈塑性松动圈。
随着距洞壁距离增大，径向应力随着距洞壁距离增大，径向应力rr由零逐渐增大，应由零逐渐增大，应力状态由洞壁的单向应力状态逐渐转化为双向应力状态，力状态由洞壁的单向应力状态逐渐转化为双向应力状态，围岩也就由塑性状态逐渐转化为围岩也就由塑性状态逐渐转化为弹性状态弹性状态。
围岩中出现。
围岩中出现塑性圈和弹性圈塑性圈和弹性圈。
塑性松动圈塑性松动圈的出现，使圈内一的出现，使圈内一定范围内的应力因释放而明显降定范围内的应力因释放而明显降低，而低，而最大最大应力集中由原来的洞应力集中由原来的洞壁移至塑、弹圈交界处，使弹性壁移至塑、弹圈交界处，使弹性区的应力明显升高。
区的应力明显升高。
弹性区以外则是应力基本未弹性区以外则是应力基本未产生变化的天然应力区产生变化的天然应力区（或称原或称原岩应力区岩应力区）。
弹塑性理论求解塑性圈内的围岩重分布应力弹塑性理论求解塑性圈内的围岩重分布应力n假设在均质、各向同性、连续的岩体中开挖一半径为假设在均质、各向同性、连续的岩体中开挖一半径为R0R0的水平圆形洞室，开挖后形成的塑性松动圈半径为的水平圆形洞室，开挖后形成的塑性松动圈半径为R1R1，岩体中的天然应力为，岩体中的天然应力为hhvv00，圈内岩体强度，圈内岩体强度服从莫尔直线强度条件。
塑性圈以外围岩体仍处于弹服从莫尔直线强度条件。
塑性圈以外围岩体仍处于弹性状态。
性状态。
n在塑性圈内取一微小单元体在塑性圈内取一微小单元体abdcabdc，bdbd上作用有上作用有rr，acac上作用有上作用有rrdrdr，在，在abab和和cdcd上作用有上作用有。
11、力学模型、力学模型设原岩应力为设原岩应力为pp00，支架反力为支架反力为ppii，坑道半径坑道半径aa，塑性区半径塑性区半径RR00。
（1）
（1）塑性区塑性区：
内径：
内径aa，外径外径RR0.0.，内压为内压为ppii，外压为外压为R0R0
（2）
（2）弹性区弹性区：
内径：
内径RR00，外径无穷大，外径无穷大.，内压为内压为R0R0，外压为外压为pp00。
研究方法：
研究方法：
弹塑性理论弹塑性理论塑性区塑性区应符合应力平衡方程和塑性应符合应力平衡方程和塑性条件；条件；弹性区弹性区应满足应力平衡方程和弹性应满足应力平衡方程和弹性条件；条件；弹塑性区交界处弹塑性区交界处：
既满足塑性条件：
既满足塑性条件又满足弹性条件。
又满足弹性条件。
22、围岩屈服条件、围岩屈服条件根据莫尔强度准则根据莫尔强度准则=c+tg=c+tg经改写为：
经改写为：
33、塑性区围岩平衡条件、塑性区围岩平衡条件围岩中任一单元体在径向方向应满足平衡条件：
围岩中任一单元体在径向方向应满足平衡条件：
略去高阶微量，整理得极坐略去高阶微量，整理得极坐标下的平衡微分方程：
标下的平衡微分方程：
代入（代入（aa）式得：
式得：
（aa）改写为：
积分得：
（bb）在坑道周边有：
在坑道周边有：
r=a,r=a,rr=p=pii代入（代入（bb）式得：
式得：
所以：
即：
（cc）将式将式（c）c）代入下式：
代入下式：
（dd）得：
得：
可见：
塑性区应力的大小只与围岩本身的力学特性可见：
塑性区应力的大小只与围岩本身的力学特性（c,）c,）及其距坑道中心的距离及其距坑道中心的距离rr和坑道半径和坑道半径aa有关有关,而与原岩而与原岩应力应力pp00无关。
无关。
于是得塑性区应力计算公式（修正的芬纳公式）：
于是得塑性区应力计算公式（修正的芬纳公式）：
适用条件：
适用条件：
arRarR00二、塑性区松动圈半径的确定二、塑性区松动圈半径的确定11、弹性区的应力弹性区的应力根据厚壁筒公式根据厚壁筒公式,在内径为在内径为RR00,外径外径为为,内压力为内压力为R0R0,外压力为外压力为PP00的情况的情况下下,弹性区内半径为弹性区内半径为rr处的应力为处的应力为:
当r=R0时,即在弹塑性区交界面上,弹性区应力:
（a）（b）于是：
（c）当当r=R0时，即在弹塑性区交界面上，塑性区应力差由下式时，即在弹塑性区交界面上，塑性区应力差由下式:
根据在弹塑性区边界应力相等的条件，则有式根据在弹塑性区边界应力相等的条件，则有式（b）（）（d）：
（d）（828）（b）解得：
解得：
将式将式（8-28）代入式代入式（a）得弹性区的应力：
得弹性区的应力：
弹性区的应力弹性区的应力：
式式（8-29）适用范围：
适用范围：
R0r（829）22、塑性区半径塑性区半径RR00当当r=R0时时,由式（由式（8-29）:
（b）根据在弹塑性区边界应力相等，有式根据在弹塑性区边界应力相等，有式（a）=（b）（a）于是：
于是：
由下式，即塑性区应力公式由下式，即塑性区应力公式:
解得：
解得：
此即为修正的芬纳此即为修正的芬纳-塔罗勃公式塔罗勃公式芬纳在推导过程中，曾一度假设芬纳在推导过程中，曾一度假设c=0c=0，因此得到的结果与修正的，因此得到的结果与修正的芬纳芬纳-塔罗勃公式稍有差异，芬纳塔罗勃公式稍有差异，芬纳-塔罗勃公式为：
塔罗勃公式为：
按芬纳按芬纳-塔罗勃公式计算的塔罗勃公式计算的RR00要比修正的芬纳要比修正的芬纳-塔罗勃公式求出塔罗勃公式求出的的RR00要大。
要大。
若用若用cc代替修正的芬纳代替修正的芬纳-塔罗勃公式中的塔罗勃公式中的cc，则可得到计算，则可得到计算RR00的的卡斯特纳卡斯特纳（Kastner）（Kastner）公式公式根据摩尔根据摩尔-库仑强度理论可得
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