福建师范大学2024年2月课程考试《近世代数》作业考核试题.doc
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《近世代数》期末考试A卷
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成绩：
一、判断题（共20分，5个小题，每小题4分）
题号
1
2
3
4
5
得分
答案
×
√
×
√
×
1.对称群中置换（1345）是偶置换（）
2.群中指数为2的子群一定是正规子群（）
3.已知是有限群的子群，和分别表示和的元素个数，则定能整除（）
4.设是有单位元的交换环，是的极大理想，则是域
（）
5.环中极大理想的和还是极大理想（）
二、计算证明题（共80分，4个小题，每小题20分）
题号
1
2
3
4
得分
1.设是整数集，规定，证明：
关于所定义的
运算构成交换群
证明：
首先该代数运算封闭
其次我们有：
（a•b）•c＝（a＋b－3）•c＝（a＋b－3）＋c－3＝a＋（（b＋c－3）－3）＝a•（b•c），结合律成立
令e＝3，验证a•e＝a＋e－3＝a，有单位元
对任意元素a，6－a是其逆元，因为a•（6－a）＝3
因此，Z对该运算作成一个交换群。
2.设是交换群.证明:
中所有阶数有限的元素的集合按的运算
构成的正规子群
要证明集合H按照G的运算构成G的正规子群，我们需要证明以下三个条件：
1.H是G的子群：
即证明H是G的非空子集、对于G的运算封闭，且对于逆元和单位元封闭。
2.H在G的运算下封闭：
即对于任意h1,h2∈H，有h1h2∈H。
3.H对于G的运算的共轭封闭：
即对于任意h∈H和g∈G，有ghg^（-1）∈H。
首先，我们证明H是G的子群。
由于H是由G中所有阶数有限的元素组成的集合，所以H是G的一个非空子集。
接下来，我们证明H对于G的运算封闭。
对于任意h1,h2∈H，它们的阶数分别为n1和n2（n1、n2有限）。
我们知道，对于任意元素g∈G，其阶数也是有限的。
因此，（h1h2）^k=h1^k*h2^k=e*e=e，其中k=lcm（n1,n2）。
这说明h1h2的阶数也是有限的，即h1h2∈H。
最后，我们证明H对于G的运算的共轭封闭。
对于任意h∈H和g∈G，我们有ghg^（-1）∈H。
由于g和h的阶数有限，所以ghg^（-1）的阶数也是有限的，即ghg^（-1）∈H。
综上所述，H是G的子群，并且对于G的运算封闭和共轭封闭。
因此，H按照G的运算构成G的正规子群。
3.有一队士兵,三三数余1,五五数余3,七七数余2.问:
这队士兵有多少人?
试求最小正整数解.（要写出解题过程）
根据题意，设这支队伍有n个士兵，则可以列出以下模线性方程组：
n≡1（mod3）
n≡3（mod5）
n≡2（mod7）
我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。
首先，设N=3*5*7=105，然后分别计算m1,m2,m3和它们的逆元t1,t2,t3：
m1=N/3=35，t1≡2（mod3），即t1=2
m2=N/5=21，t2≡1（mod5），即t2=1
m3=N/7=15，t3≡4（mod7），即t3=4
将以上数据代入中国剩余定理的公式：
x≡a1m1t1+a2m2t2+a3m3t3（modN）
得到：
n≡1*35*2+3*21*1+2*15*4≡23（mod105）
因此，这支队伍有23个士兵。
由于题目要求最小正整数解，我们需要找到一个解在模意义下等价于23且小于等于105的最小正整数。
在模意义下，23和23+105、23+2*105、23+3*105等等都是等价的，因此我们只需要不断加上105，直到得到一个小于等于105的最小正整数解。
不难发现，当加上2个105时，得到128，这是一个大于105的最小正整数解。
因此，这支队伍有23+2*105=233个士兵时，满足题目的所有条件。
4.求出模剩余类环的所有理想和所有极大理想。
在模n剩余类环Z10中，我们可以列出所有的理想和极大理想。
首先，Z10的所有理想可以表示为kZ10，其中k是Z10中的元素。
由于Z10是一个循环环，其中的元素可以表示为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。
因此，Z10的所有理想可以表示为{0},{1},{2},{3},{4},{5},{6},{7},{8},{9}。
接下来，我们来找出Z10的所有极大理想。
根据定义，极大理想是一个不可被任何其他理想包含的理想。
首先，注意到Z10是一个有单位元的环，只有{0}是一个真理想（即不等于整个环Z10）。
因此，{0}是一个极大理想。
另外，对于除0以外的元素k∈Z10，我们可以考虑理想kZ10。
如果存在一个理想I包含kZ10且I≠kZ10，那么必然存在一个元素m∈I，但m∉kZ10。
由于Z10是一个循环环，我们可以用不同的k来测试是否存在这样的m。
经过尝试，我们可以发现以下结果：
-当k=1时，kZ10={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，但不存在任何一个非零元素m使得m∈I且m∉kZ10。
-当k=2时，kZ10={0,2,4,6,8}，同样不存在非零元素m满足条件。
-当k=3时，kZ10={0,3,6,9}，同样不存在非零元素m满足条件。
-当k=4时，kZ10={0,4,8}，同样不存在非零元素m满足条件。
-当k=5时，kZ10={0,5}，同样不存在非零元素m满足条件。
-当k=6时，kZ10={0,6}，同样不存在非零元素m满足条件。
-当k=7时，kZ10={0,7}，同样不存在非零元素m满足条件。
-当k=8时，kZ10={0,8}，同样不存在非零元素m满足条件。
-当k=9时，kZ10={0,9}，同样不存在非零元素m满足条件。
因此，Z10的所有极大理想只有{0}。
▆《近世代数》试卷共1页（第3页）选择题答案写在选择题答题区内，其它各题在答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！
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