福建师范大学2024年2月课程考试《近世代数》作业考核试题.doc

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《近世代数》期末考试A卷

姓名:

专业:

学号:

学习中心:

成绩:

一、判断题(共20分,5个小题,每小题4分)

题号

1

2

3

4

5

得分

答案

×

×

×

1.对称群中置换(1345)是偶置换()

2.群中指数为2的子群一定是正规子群()

3.已知是有限群的子群,和分别表示和的元素个数,则定能整除()

4.设是有单位元的交换环,是的极大理想,则是域

()

5.环中极大理想的和还是极大理想()

二、计算证明题(共80分,4个小题,每小题20分)

题号

1

2

3

4

得分

1.设是整数集,规定,证明:

关于所定义的

运算构成交换群

证明:

首先该代数运算封闭

其次我们有:

(a•b)•c=(a+b-3)•c=(a+b-3)+c-3=a+((b+c-3)-3)=a•(b•c),结合律成立

令e=3,验证a•e=a+e-3=a,有单位元

对任意元素a,6-a是其逆元,因为a•(6-a)=3

因此,Z对该运算作成一个交换群。

2.设是交换群.证明:

中所有阶数有限的元素的集合按的运算

构成的正规子群

要证明集合H按照G的运算构成G的正规子群,我们需要证明以下三个条件:

1.H是G的子群:

即证明H是G的非空子集、对于G的运算封闭,且对于逆元和单位元封闭。

2.H在G的运算下封闭:

即对于任意h1,h2∈H,有h1h2∈H。

3.H对于G的运算的共轭封闭:

即对于任意h∈H和g∈G,有ghg^(-1)∈H。

首先,我们证明H是G的子群。

由于H是由G中所有阶数有限的元素组成的集合,所以H是G的一个非空子集。

接下来,我们证明H对于G的运算封闭。

对于任意h1,h2∈H,它们的阶数分别为n1和n2(n1、n2有限)。

我们知道,对于任意元素g∈G,其阶数也是有限的。

因此,(h1h2)^k=h1^k*h2^k=e*e=e,其中k=lcm(n1,n2)。

这说明h1h2的阶数也是有限的,即h1h2∈H。

最后,我们证明H对于G的运算的共轭封闭。

对于任意h∈H和g∈G,我们有ghg^(-1)∈H。

由于g和h的阶数有限,所以ghg^(-1)的阶数也是有限的,即ghg^(-1)∈H。

综上所述,H是G的子群,并且对于G的运算封闭和共轭封闭。

因此,H按照G的运算构成G的正规子群。

3.有一队士兵,三三数余1,五五数余3,七七数余2.问:

这队士兵有多少人?

试求最小正整数解.(要写出解题过程)

根据题意,设这支队伍有n个士兵,则可以列出以下模线性方程组:

n≡1(mod3)

n≡3(mod5)

n≡2(mod7)

我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。

首先,设N=3*5*7=105,然后分别计算m1,m2,m3和它们的逆元t1,t2,t3:

m1=N/3=35,t1≡2(mod3),即t1=2

m2=N/5=21,t2≡1(mod5),即t2=1

m3=N/7=15,t3≡4(mod7),即t3=4

将以上数据代入中国剩余定理的公式:

x≡a1m1t1+a2m2t2+a3m3t3(modN)

得到:

n≡1*35*2+3*21*1+2*15*4≡23(mod105)

因此,这支队伍有23个士兵。

由于题目要求最小正整数解,我们需要找到一个解在模意义下等价于23且小于等于105的最小正整数。

在模意义下,23和23+105、23+2*105、23+3*105等等都是等价的,因此我们只需要不断加上105,直到得到一个小于等于105的最小正整数解。

不难发现,当加上2个105时,得到128,这是一个大于105的最小正整数解。

因此,这支队伍有23+2*105=233个士兵时,满足题目的所有条件。

4.求出模剩余类环的所有理想和所有极大理想。

在模n剩余类环Z10中,我们可以列出所有的理想和极大理想。

首先,Z10的所有理想可以表示为kZ10,其中k是Z10中的元素。

由于Z10是一个循环环,其中的元素可以表示为0,1,2,3,4,5,6,7,8,9。

因此,Z10的所有理想可以表示为{0},{1},{2},{3},{4},{5},{6},{7},{8},{9}。

接下来,我们来找出Z10的所有极大理想。

根据定义,极大理想是一个不可被任何其他理想包含的理想。

首先,注意到Z10是一个有单位元的环,只有{0}是一个真理想(即不等于整个环Z10)。

因此,{0}是一个极大理想。

另外,对于除0以外的元素k∈Z10,我们可以考虑理想kZ10。

如果存在一个理想I包含kZ10且I≠kZ10,那么必然存在一个元素m∈I,但m∉kZ10。

由于Z10是一个循环环,我们可以用不同的k来测试是否存在这样的m。

经过尝试,我们可以发现以下结果:

-当k=1时,kZ10={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},但不存在任何一个非零元素m使得m∈I且m∉kZ10。

-当k=2时,kZ10={0,2,4,6,8},同样不存在非零元素m满足条件。

-当k=3时,kZ10={0,3,6,9},同样不存在非零元素m满足条件。

-当k=4时,kZ10={0,4,8},同样不存在非零元素m满足条件。

-当k=5时,kZ10={0,5},同样不存在非零元素m满足条件。

-当k=6时,kZ10={0,6},同样不存在非零元素m满足条件。

-当k=7时,kZ10={0,7},同样不存在非零元素m满足条件。

-当k=8时,kZ10={0,8},同样不存在非零元素m满足条件。

-当k=9时,kZ10={0,9},同样不存在非零元素m满足条件。

因此,Z10的所有极大理想只有{0}。

▆《近世代数》试卷共1页(第3页)选择题答案写在选择题答题区内,其它各题在答案区域内作答,超出黑色边框区域的答案无效!

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