福建师范大学2024年2月课程考试《近世代数》作业考核试题.doc

1、 近世代数期末考试A卷姓名： 专业：学号： 学习中心：成绩：一、 判断题(共20分，5个小题，每小题4分）题号12345得分答案1. 对称群中置换（1345）是偶置换 （ ）2. 群中指数为2的子群一定是正规子群 （ ）3. 已知是有限群的子群， 和分别表示和的元素个数，则 定能整除 （ ）4. 设是有单位元的交换环，是的极大理想，则是域 （ ）5. 环中极大理想的和还是极大理想 （ ）二、计算证明题（共80分，4个小题，每小题20分）题号1234得分1.设是整数集，规定，证明：关于所定义的 运算构成交换群证明：首先该代数运算封闭其次我们有：（ab）c（ab3）c（ab3）c3a（bc3）3）

2、a（bc），结合律成立 令e3，验证aeae3a，有单位元对任意元素a，6a是其逆元，因为a（6a）3因此，Z对该运算作成一个交换群。2.设是交换群.证明: 中所有阶数有限的元素的集合按的运算构成的正规子群要证明集合H按照G的运算构成G的正规子群，我们需要证明以下三个条件：1. H是G的子群：即证明H是G的非空子集、对于G的运算封闭，且对于逆元和单位元封闭。2. H在G的运算下封闭：即对于任意h1, h2 H，有h1h2 H。3. H对于G的运算的共轭封闭：即对于任意h H 和 g G，有ghg(-1) H。首先，我们证明H是G的子群。由于H是由G中所有阶数有限的元素组成的集合，所以H是G的一

3、个非空子集。接下来，我们证明H对于G的运算封闭。对于任意h1, h2 H，它们的阶数分别为n1和n2（n1、n2有限）。我们知道，对于任意元素g G，其阶数也是有限的。因此，(h1h2)k = h1k * h2k = e * e = e，其中k = lcm(n1, n2)。这说明h1h2的阶数也是有限的，即h1h2 H。最后，我们证明H对于G的运算的共轭封闭。对于任意h H 和 g G，我们有ghg(-1) H。由于g和h的阶数有限，所以ghg(-1)的阶数也是有限的，即ghg(-1) H。综上所述，H是G的子群，并且对于G的运算封闭和共轭封闭。因此，H按照G的运算构成G的正规子群。3. 有一

4、队士兵, 三三数余1, 五五数余3, 七七数余2. 问: 这队士兵有多少人? 试求最小正整数解. (要写出解题过程)根据题意，设这支队伍有n个士兵，则可以列出以下模线性方程组：n 1 (mod 3)n 3 (mod 5)n 2 (mod 7)我们可以使用中国剩余定理来解决这个问题。首先，设N = 3 * 5 * 7 = 105，然后分别计算m1, m2, m3和它们的逆元t1, t2, t3：m1 = N / 3 = 35，t1 2 (mod 3)，即t1 = 2m2 = N / 5 = 21，t2 1 (mod 5)，即t2 = 1m3 = N / 7 = 15，t3 4 (mod 7)，即

5、t3 = 4将以上数据代入中国剩余定理的公式：x a1m1t1 + a2m2t2 + a3m3t3 (mod N)得到：n 1 * 35 * 2 + 3 * 21 * 1 + 2 * 15 * 4 23 (mod 105)因此，这支队伍有23个士兵。由于题目要求最小正整数解，我们需要找到一个解在模意义下等价于23且小于等于105的最小正整数。在模意义下，23和23+105、23+2*105、23+3*105等等都是等价的，因此我们只需要不断加上105，直到得到一个小于等于105的最小正整数解。不难发现，当加上2个105时，得到128，这是一个大于105的最小正整数解。因此，这支队伍有23+2*

6、105=233个士兵时，满足题目的所有条件。4.求出模剩余类环的所有理想和所有极大理想。在模n剩余类环Z10中，我们可以列出所有的理想和极大理想。首先，Z10的所有理想可以表示为kZ10，其中k是Z10中的元素。由于Z10是一个循环环，其中的元素可以表示为0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。因此，Z10的所有理想可以表示为0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。接下来，我们来找出Z10的所有极大理想。根据定义，极大理想是一个不可被任何其他理想包含的理想。首先，注意到Z10是一个有单位元的环，只有0是一个真理想（即不等于整个环Z10）。因此，0是一个极大理

7、想。另外，对于除0以外的元素kZ10，我们可以考虑理想kZ10。如果存在一个理想I包含kZ10且I kZ10，那么必然存在一个元素mI，但mkZ10。由于Z10是一个循环环，我们可以用不同的k来测试是否存在这样的m。经过尝试，我们可以发现以下结果：- 当k=1时，kZ10 = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9，但不存在任何一个非零元素m使得mI且mkZ10。- 当k=2时，kZ10 = 0, 2, 4, 6, 8，同样不存在非零元素m满足条件。- 当k=3时，kZ10 = 0, 3, 6, 9，同样不存在非零元素m满足条件。- 当k=4时，kZ10 = 0, 4, 8，同样不存在非零元素m满足条件。- 当k=5时，kZ10 = 0, 5，同样不存在非零元素m满足条件。- 当k=6时，kZ10 = 0, 6，同样不存在非零元素m满足条件。- 当k=7时，kZ10 = 0, 7，同样不存在非零元素m满足条件。- 当k=8时，kZ10 = 0, 8，同样不存在非零元素m满足条件。- 当k=9时，kZ10 = 0, 9，同样不存在非零元素m满足条件。因此，Z10的所有极大理想只有0。 近世代数 试卷 共1页（第3页） 选择题答案写在选择题答题区内，其它各题在答案区域内作答，超出黑色边框区域的答案无效！