人教A版高中数学知识点与公式大全.docx

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高中数学知识点及其公式大全（人教A版2019）

必修第一册

第一章集合与常用逻辑用语

1.集合

1.1集合的概念及其表示

⑴.集合中元素的三个特征：

①．确定性：

给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．

②．互异性：

一个集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重复出现的.

③．无序性：

即集合中的元素无顺序,可以任意排列、调换。

⑵.元素与集合的关系有且只有两种：

属于（用符号“”表示）和不属于（用符号“”表示）．

⑶.集合常用的表示方法有三种：

列举法、Venn图、描述法．

（4）.常见的数集及其表示符号

名称

自然数集

正整数集

整数集

有理数集

实数集

表示符号

或

1.2集合间的基本关系

性质

符号表示

空集

空集是任何集合的子集

空集是任何非空集合的真子集

相等

集合A与集合B所有元素相同

A=B

子集

集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素

真子集

集合A中的任何一个元素均是集合B中的元素,且B中至少有一个元素在A中没有

1.3集合之间的基本运算

符号表示

集合表示

并集

交集

补集

2.逻辑用语

2.1充分条件、必要条件与充要条件的概念

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p⇒q且q⇏p

p是q的必要不充分条件

p⇏q且q⇒p

p是q的充要条件

p⇔q

p是q的既不充分也不必要条件

p⇏q且q⇏p

【特别提醒】

若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p（x）}，B＝{x|q（x）}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系．

①若AB，则p是q的充分不必要条件；②若A⊇B，则p是q的必要条件；

③若AB，则p是q的必要不充分条件；

④若A＝B，则p是q的充要条件；

⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．

2.2全称量词和存在量词

（1）全称量词有：

所有的，任意一个，任给，用符号“∀”表示；存在量词有：

存在一个，至少有一个，有些，用符号“∃”表示．

（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．“对M中任意一个x，有p（x）成立”用符号简记为：

∀x∈M，p（x）．

（3）含有存在量词的命题，叫做特称命题．“存在M中元素x0，使p（x0）成立”用符号简记为：

∃x0∈M，p（x0）．

第二章一元二次函数、方程与不等式

1.一元二次不等式的概念及形式

（1）.概念：

把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．

（2）.形式：

①ax2＋bx＋c>0（a≠0）；②ax2＋bx＋c≥0（a≠0）；

③ax2＋bx＋c<0（a≠0）；④ax2＋bx＋c≤0（a≠0）．

2.一元二次不等式的解集的概念及三个“二次”之间的关系

（1）一元二次不等式的解集的概念：

一般地，使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次不等式的解集.

（2）关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋c>0（a≠0）或ax2＋bx＋c<0（a≠0）的解集；

若二次函数为f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0），则一元二次不等式f（x）>0或f（x）<0的解集，就是分别使二次函数f（x）的函数值为正值或负值时自变量x的取值的集合．

（3）三个“二次”之间的关系：

设f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0），方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac

判别式Δ

＝b2－4ac

Δ>0

Δ＝0

Δ<0

解不等式

f（x）>0

或f（x）<

0的步骤

求方程f（x）＝0的解

有两个不等的实数解x1，x2

有两个相等的实数解x1＝x2

没有实数解

画函数y＝f（x）的示意图

得不

等式

的解

集

f（x）>0

{x|x

或x>x2}

{x|x≠－}

f（x）<0

{x|x1

∅

3.基本不等式的变形与拓展

1．

（1）若,则；

（2）若,则（当且仅当时取“=”）．

2．

（1）若,则；

（2）若,则（当且仅当时取“=”）；

（3）若,则（当且仅当时取“=”）．

3．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．

4．若,则（当且仅当时取“=”）；若,则,即或（当且仅当时取“=”）．

5．一个重要的不等式链：

．

第三章函数的概念与性质

3.1函数与映射的相关概念

函数

两个集合A、B

设A、B是两个非空数集

对应关系

按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应

名称

称f：

A→B为从集合A到集合B的一个函数

记法

y＝f（x），x∈A

注意：

判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．

（2）函数的定义域、值域

在函数y＝f（x），x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f（x）|x∈A}叫做函数的值域．

（3）构成函数的三要素：

函数的三要素为定义域、值域、对应关系.

（4）函数的表示方法

函数的表示方法有三种：

解析法、列表法、图象法.

解析法：

一般情况下，必须注明函数的定义域；

列表法：

选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；

图象法：

注意定义域对图象的影响.

3.2函数的三要素

（1）．函数的定义域

函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：

（1）分式函数中分母不等于零.

（2）偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

（3）一次函数、二次函数的定义域均为R.（4）y＝x0的定义域是{x|x≠0}.

（2）．函数的解析式

（1）函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f（x）的形式，可根据题目的条件转化为该形式.

（2）求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法（或配凑法）求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.

（3）．函数的值域：

函数的值域就是函数值构成的集合，掌握以下四种常见初等函数的值域：

（1）一次函数y＝kx＋b（k为常数且k≠0）的值域为R.

（2）反比例函数（k为常数且k≠0）的值域为（−∞，0）∪（0，＋∞）．

（3）二次函数y＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数且a≠0），

当a>0时，二次函数的值域为；当a<0时，二次函数的值域为.

求二次函数的值域时，应掌握配方法：

3.3函数的单调性

单调函数的定义

增函数

减函数

定义

一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2

当x1

当x1f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数

图象描述

自左向右看图象是上升的

自左向右看图象是下降的

单调区间的定义：

如果函数y＝f（x）在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．

函数的最值

前提

设函数的定义域为，如果存在实数满足

条件

（1）对于任意的，都；

（2）存在，使得

（3）对于任意的，都；

（4）存在，使得

结论

为最大值

为最小值

注意：

（1）函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在；

（2）若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间的端点值就是函数的最值.

函数单调性的常用结论

（1）若均为区间A上的增（减）函数，则也是区间A上的增（减）函数；

（2）若，则与的单调性相同；若，则与单调性相反；

（3）函数在公共定义域内与，的单调性相反；

（4）函数在公共定义域内与的单调性相同；

（5）一些重要函数的单调性：

①的单调性：

在和上单调递增，在和上单调递减；

②（，）的单调性：

在和上单调递增，在和上单调递减．

3.4函数的奇偶性

（1）．函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性

定义

图象特点

偶函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是偶函数

图象关于轴对称

奇函数

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数是奇函数

图象关于原点对称

注意：

由函数奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：

对于定义域内的任意一个x，也在定义域内（即定义域关于原点对称）．

（2）．函数奇偶性的几个重要结论

（1）奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反．

（2），在它们的公共定义域上有下面的结论：

偶函数

奇函数

不能确定

奇函数

偶函数

奇函数

偶函数

不能确定

奇函数

偶函数

奇函数

偶函数

奇函数

（3）若奇函数的定义域包括，则．

（4）若函数是偶函数，则．

（5）定义在上的任意函数都可以唯一表示成一个奇函数与一个偶函数之和．

（6）若函数的定义域关于原点对称，则为偶函数，为奇函数，为偶函数．

重难点复合函数的单调性①奇函数+奇函数=奇函数，偶函数+偶函数=偶函数；

②奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数；

3.5幂函数

（1）幂函数的定义：

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

（2）常见的5种幂函数的图象

（3）幂函数的性质：

①幂函数在（0，＋∞）上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点（1，1）和（0，0），且在（0，＋∞）上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点（1，1），且在（0，＋∞）上单调递减.

3.6函数的应用

1.函数零点的定义

一般地，如果函数在实数处的值等于零，即，则叫做这个函数的零点.

重点强调：

零点不是点，是一个实数；

2.零点存在性定理

如果函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么函数在区间（a,b）内有零点，即存在，使得，这个c也就是方程的根.

3.二分法

二分法求零点：

对于在区间，上连续不断，且满足·的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．

给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：

（1）确定区间，，验证·，给定精度；

（2）求区间，的中点；

（3）计算：

①若=，则就是函数的零点；

②若·<，则令=（此时零点）；

③若·<，则令=（此时零点）；

（4）判断是否达到精度；

即若，则得到零点零点值（或）；否则重复步骤2~4.

注意：

二分法的条件·表明用二分法求函数的近似零点都是指变号零点.

第四章指数函数与对数函数

4.1指数与指数函数

（1）根式

概念：

叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.性质：

（）n＝a（a使有意义）；

当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|＝

（2）分数指数幂

规定：

正数的正分数指数幂的意义是a＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）；正数的负分数指数幂的意义是a－＝（a>0，m，n∈N*，且n>1）；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.

有理指数幂的运算性质：

aras＝ar+s；（ar）s＝ars；（ab）r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.

（3）指数函数及其性质

概念：

函数y＝ax（a>0且a≠1）叫做指数函数，x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.

指数函数的图象与性质

a>1

图象

定义域

值域

（0，＋∞）

性质

过定点（0，1），即x＝0时，y＝1

当x>0时，y>1；

当x<0时，0

当x<0时，y>1；

当x>0时，0

在（－∞，＋∞）上是增函数

在（－∞，＋∞）上是减函数

4.2对数与对数函数

（1）对数的概念

如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.

（2）对数的性质、换底公式与运算性质

（1）对数的性质：

①alogaN＝N；②logaab＝b（a>0，且a≠1）.

（2）对数的运算法则；如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么

①；②；

③（nR）；④.

（3）换底公式：

（a，b均大于零且不等于1）.

（3）对数函数及其性质

（1）概念：

y＝logax（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是（0，＋∞）.

（2）对数函数的图象与性质

a>1

图象

性质

定义域：

（0，＋∞）

值域：

当x＝1时，y＝0，即过定点（1，0）

当x>1时，y>0；

当0

当x>1时，y<0；

当00

在（0，＋∞）上是增函数

在（0，＋∞）上是减函数

第五章三角函数

1.角的概念

1．角的定义：

平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．

2．角的分类

角的分类

3．终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合：

S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．

2.弧度制及应用

1．弧度制的定义

把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.

2．弧度制下的有关公式

角α的弧度数公式

|α|＝（弧长用l表示）

角度与弧度的换算

①1°＝rad；②1rad＝°

弧长公式

弧长l＝|α|r

扇形面积公式

S＝lr＝|α|r2

3.任意角的三角函数

三角函数

正弦

余弦

正切

定义

设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y），那么

叫做α的正弦，记sinα

叫做α的余弦，记cosα

叫做α的正切，记tanα

各象限符号

Ⅰ

＋

Ⅱ

＋

－

Ⅲ

－

＋

Ⅳ

－

＋

－

三角函数线

有向线段MP为正弦线

有向线段OM为余弦线

有向线段AT为正切线

4.同角三角函数的基本关系

1．同角三角函数的基本关系：

（1）sin2α＋cos2α＝1（α∈R）．

（2）tanα＝

2．同角三角函数基本关系式的应用技巧

5.三角函数的诱导公式

组数

一

二

三

四

五

六

角

2kπ＋α（k∈Z）

π＋α

－α

π－α

－α

＋α

正弦

sinα

－sin_α

sin_α

cos_α

余弦

cosα

－cos_α

cos_α

－cos_α

sin_α

－sin_α

正切

tanα

tan_α

－tan_α

6.正弦、余弦、正切函数的图象与性质

函数

y＝sinx

y＝cosx

y＝tanx

图象

定义域

值域

[－1,1]

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

单调性

在

（k∈Z）上是递增函数，

（k∈Z）上是递减函数

在[2kπ－π2kπ]（k∈Z）上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π]（k∈Z）上是递减函数

在（k∈Z）

上是递增函数　　　　

周期性

周期是2kπ（k∈Z且k≠0），最小正周期是2π

最小正周期是2π

最小正周期是π

对称性

对称轴是x＝＋kπ（k∈Z），对称中心是（kπ，0）（k∈Z）

对称轴是x＝kπ（k∈Z），对称中心是

（k∈Z）

对称中心是（k∈Z）

6.函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

（1）“五点法”作图原理：

正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，五点是：

（0,0），，（π，0），，（2π，0）．

余弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，五点是：

（0,1），，（π，－1），，（2π，1）.

（2）五点法作图的三步骤：

列表、描点、连线（注意光滑）．

2．函数y＝Asin（ωx＋φ）的有关概念

y＝Asin（ωx＋φ）

振幅

周期

频率

相位

初相

（A>0，ω>0）

T＝

f＝＝

3.用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图

用五点法画y＝Asin（ωx＋φ）一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：

－

ωx＋φ

2π

y＝Asin（ωx＋φ）

－A

7.三角恒等变换

1、同角三角函数的基本关系式：

①，②=，

2、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

3、和角与差角公式

4、二倍角公式及降幂公式

必修第二册

第六章平面向量及其应用

1.向量的有关概念

名称

定义

备注

向量

既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模）

平面向量是自由向量

零向量

长度为0的向量

记作0，其方向是任意的

单位向量

长度等于1个单位的向量

非零向量a的单位向量为±

平行向量

方向相同或相反的非零向量（又叫做共线向量）

0与任一向量平行或共线

相等向量

长度相等且方向相同的向量

两向量只有相等或不相等，不能比较大小

相反向量

长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0

2.向量的线性运算

向量运算

定义

法则（或几何意义）

运算律

加法

求两个向量和的运算

三角形法则　平行四边形法则

（1）交换律：

a＋b＝b＋a；

（2）结合律：

（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）

减法

求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

三角形法则

a－b＝a＋（－b）

数乘

求实数λ与向量a的积的运算

|λa|＝|λ||a|，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0

λ（μa）＝（λμ）a；（λ＋μ）a＝λa＋μa；λ（a＋b）＝λa＋λb

3.平面向量的坐标运算

运算

坐标表示

和（差）

a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a＋b＝（x1＋x2，y1＋y2），a－b＝（x1－x2，y1－y2）

数乘

已知a＝（x1，y1），则λa＝（λx1，λy1），其中λ是实数

任一向量的坐标

已知A（x1，y1），B（x2，y2），则＝（x2－x1，y2－y1）

4.向量的夹角

定义

图示

范围

共线与垂直

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是a与b的夹角

设θ是a与b的夹角，则θ的取值范围是0°≤≤180°

或θ＝⇔a∥b，θ＝90°⇔a⊥b

5.平面向量的数量积

定义

设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b

投影

|a|cosθ叫做向量a在b方向上的投影，

|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影

几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积

6.向量数量积的运算律

交换律

a·b＝b·a

分配律

（a＋b）·c＝a·c＋b·c

数乘结合律

（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）

第七章复数

1．复数的有关概念及分类

（1）代数形式为z＝a＋bi（a，b∈R），其中实部为a，虚部为b；

（2）共轭复数为z＝a－bi（a，b∈R）．

（3）复数的分类

①若z＝a＋bi（a，b∈R）是实数，则z与的关系为z＝.

②若z＝a＋bi（a，b∈R）是纯虚数，则z与的关系为z＋＝0（z≠0）．

2．与复数运算有关的问题

（1）复数相等的充要条件：

a＋bi＝c＋di⇔（a，b，c，d∈R）．

（2）复数的模

复数z＝a＋bi的模|z|＝，且z·＝|z|2＝a2＋b2.

（3）复数的四则运算，若两个复数z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i（a1，b1，a2，b2∈R）

①加法：

z1＋z2＝（a1＋a2）＋（b1＋b2）i；

②减法：

z1－z2＝（a1－a2）＋（b1－b2）i；

③乘法：

z1·z2＝（a1a2－b1b2）＋（a1b2＋a2b1）i；

④除法：

＝＝＋i（z2≠0）；

3．复数的几何意义

（1）任何一个复数z＝a＋bi一一对应着复平面内一个点Z（a，b），也一一对应着一个从原点出发的向量.

（2）复数加法的几何意义

若复数z1、z2对应的向量1、2不共线，则复数z1＋z2是以1、2为两邻边的平行四边形的对角线所对应的复数．

（3）复数减法的几何意义

复数z1－z2是连接向量1、2的终点，并指向Z1的向量所对应的复数．

第八章立体几何初步

1．多面体的结构特征

2．旋转体的形成

几何体

旋转图形

旋转轴

圆柱

矩形

任一边所在的直线

圆锥

直角三角形

任一直角边所在的直线

圆台

直角梯形

垂直于底边的腰所在的直线

球

半圆

直径所在的直线

3．空间几何体的直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直.

（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半.

“三变”

“三不变”

（3）平面图形的直观图与原图形面积的关系：

S直观图＝S原图．

4．多面体的表面积、侧面积

因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．

5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式

圆柱

圆锥

圆台

侧面展

开图

侧面积

公式

S圆柱侧＝2πrl

S圆锥侧＝πrl

S圆台侧＝π（r1＋r2）l

6．柱、锥、台和球的表面积和体积

名称

几何体

表面积

体积

柱体

（棱柱和圆柱）

S表面积＝S侧＋2S底

V＝Sh

锥体

（棱锥和圆锥）

S表面积＝S侧＋S底

V＝Sh

台体

（棱台和圆台）

S表面积＝S侧＋S上＋S下

V＝（S上＋S下＋）h

球

S＝4πR2

V＝πR3

7．直线与平面平行的判定定理和性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定

定理

平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行（线线平行⇒线面平行）

l∥a，a⊂α，

l⊄α⇒l∥α

性质

定理

一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行（线面平行⇒线线平行）

l∥α，l⊂β，

α∩β＝b⇒l∥b

8．判断或证明线面平行的常用方法

（1）利用线面平行的定义（无公共点）．

（2）利用线面平行的

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