尾巴重新接回的奥秘.doc
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尾巴重新接回的奥秘
——2013武汉赛课《最小公倍数》课堂实录与点评
省市螺岭外国语实验学校 骆奇
课前谈话
师：
同学们来过这里上课吗？
（没有。
）
师：
你们注意到没有，这里比你们平时上课的教室大多了。
为了让在场听课的老师也听清楚你们精彩的回答，个人回答问题时请用话筒。
师：
等会儿屏幕上会播放一段视频，这是老师的同事帮老师做的个人简介，一起来看看？
（好。
）
现场播放骆老师简介，特别介绍了骆老师两次骑自行车到拉萨的旅行。
播放完毕，全场响起热烈的掌声。
师：
谢谢！
这是老师个人觉得很自豪很得意的经历。
你们有没有自己也觉得很自豪很得意的经历？
学生分享自己的经历。
师：
刚才很多同学都分享了自己的经历，我能与这么厉害的学生一起上课，感觉特别兴奋。
那我们开始上课吧。
（点评：
老师隆重登场，获得满堂喝彩。
但老师没有继续在自己身上做文章，而是以学生为本，让学生发热发亮。
）
一、激发欲望，经历活动，记录活动相关数据
1．第一次猜想、验证。
（1）猜想
师：
今天，老师给大家带来了一个很好玩的游戏，想玩吗？
生：
（眼睛闪现光芒，脸上充满惊喜）想！
师：
（举起正六边形）请看，这是一个正六边形。
（举起正方形）这个呢？
（正方形！
）
师：
也可以说是正四边形。
背面有图案，谁能把它拼好？
师请学生拼好图片。
师：
是什么？
（猴子。
）
师：
是一只可爱的小猴子！
接下来我们就用这两张图片来玩游戏。
我把正六边形固定不动，让正四边形绕正六边形按一个方向转动。
（师转动图片一次）如果这样叫转动一次，（再次转动图片）这样呢？
（两次。
）（第三次转动图片）这样呢？
（三次。
）
师：
你们注意到没有，当正四边形开始转动的时候，猴子的尾巴——（断开了！
）
师：
（师将图片恢复原状）我想请大家来猜一猜，从这个时候算起，转动几次，猴子的尾巴又能重新接回？
学生猜6次、12次、18次、24次不等。
师：
有同学猜6次，24次，有同学猜12次，还有同学猜18次，到底是几次？
怎么才能知道？
生：
（脱口而出）转一下。
师：
行，我来转，你们大声数！
（点评：
玩游戏就是玩游戏，老师没有向学生追问理由，保持了现场氛围和课堂节奏。
）
（2）验证
学生数，老师转动图片，到第6次，暂停转动，尾巴没有接回，观课老师发出笑声。
师：
接回了吗？
（生忙改口12次）继续转！
学生继续数，老师继续转，到第12次时，尾巴重新接回。
师：
刚才谁猜对啦？
（学生目光一致移向猜对的学生，师带头鼓掌。
）我们把刚才的活动记下来。
我们把大的正六边形记作图1，小的正四边形记作图2。
刚才转到第几次重新接回？
（12次。
）
师板书：
6、4：
12
师：
如果继续转，到第几次，尾巴还能重新接回？
生：
（齐声）24次！
师：
24次，为什么是24次呢？
生1：
因为24是12的倍数。
师：
列个算式？
生1：
12×2＝24
师：
12×2，同意吗？
（同意。
）
师：
继续往下写？
（36！
）再继续？
（48、60、72……）还能写多少个？
（无数个。
）
师根据学生的回答板书次数。
师：
这个游戏叫“尾巴重新接回”。
（师板书：
尾巴重新接回）怎么样，好玩吗？
（好玩！
）
（点评：
几句简单对话，将其它重新接回的次数也找出来，也为下面的几个环节进行了铺垫。
）
2．第二次猜想、验证。
（1）猜想
师：
如果再玩一次这个游戏，你们有没有信心把它猜对？
生：
（大声齐说）有！
师：
这信心不错，来！
请看屏幕。
动物变了，更重要的是——图形也变了。
几边形和几边形？
生：
8边形和5边形。
师板书：
8、5。
师：
转动几次，尾巴又能重新接回？
生猜40次、60次、80次、120次、160次、200次不等。
师：
这么多啊！
来看看谁猜对了？
请看屏幕，我来转，你们数。
（2）验证
师生共同验证，并记录数据。
师：
掌声送给刚才猜对的同学！
（点评：
转动的次数比较多，是老师故意而为之，目的是增加游戏的趣味性。
大部分学生能猜到，素质较高。
）
3．学生亲历猜想、验证、记录过程。
（1）学生操作
师：
这么好玩的游戏，你们想不想自己来玩一玩？
生：
（跃跃欲试）想！
师：
好，听清楚老师的要求。
待会儿老师会给你们一些这样的图片（出示5边形＋4边形、8边形＋4边形画有动物的图片），你们以小组为单位，也像刚才那样，先猜，再转，最后将数据填在表格里，表格是这样的，能看懂吗？
（能。
）图片和表格就放在学具袋里。
开始！
（2）数据汇总
操作结束，师迅速将表格收起来，直接将数据记录在黑板上。
6，4：
12、24、36、……
8，5：
40、80、120、……
8，4：
8、16、24、……
5，4：
20、40、60、……
师：
我刚才认真的看了同学们的记录，我发现拿到相同图片的小组数据都是一样的，我已经把它写在黑板上了。
没问题吧？
（没有。
）
（点评：
有了前面两次游戏的铺垫、示范与老师的指导，学生操作准确，纠缠数据汇总的过程意义不大，迅速进入下一环节。
）
二、观察数据，发现奥秘，引出公倍数和最小公倍数的概念
1．提出问题
师：
刚才，我们总共玩了三次尾巴重新接回的游戏，得到了这样一些数据。
（师将数据整理到屏幕上。
）
师：
第一次，猜对的人不多，只有他猜对了；第二次，猜对的人多了起来；到第三次你们自己玩的时候，我发现很多同学一下子就猜对了。
诶？
你们是不是发现——诀窍？
奥秘？
（师重复学生说的关键词）奥秘是什么呢？
（师板书：
的奥秘）尾巴重新接回的奥秘是什么呢？
也就是说，（走到黑板或屏幕，指着数据说）这些重新接回的次数与什么有关？
又是怎样的关系呢？
部分学生踊跃举手。
（点评：
玩了三次游戏，学生或多或少能感觉数据里面有规律，老师顺势引导，提出本课最重要的问题：
尾巴重新接回的奥秘是什么？
）
2．小组讨论
师：
有的同学已经有想法了，这样，先请大家在小组内说一说，再把你们小组的意见写在二号作业纸上，然后我们再请小组代表来汇报。
学生小组讨论，师时而巡视时而参与学生的讨论。
（点评：
本课的主要问题是在学生感性认识的基础上提出的进一步的思考，是一个真正的问题，也是学生关心的问题。
老师并不急于让学生汇报，而是先在小组内交流，学生的交流是有价值的，是真正的交流。
）
3．汇报交流：
师：
刚才你们小组讨论非常积极，都有很多的发现，下面我们就请小组代表来汇报。
我先请你们组来！
（师带头掌声鼓励学生。
）
生2：
我们小组发现：
两个图形边数相乘就能得到其中一个重新接尾的数字。
师：
你能不能到这里来，举个例子，结合黑板上的数据再说说你们的发现？
可能大家会听得更明白。
生2：
（走到黑板前，指着数据）呃，比如说4和6两个，它们相乘是24，24这里边它就会出现一个重新接尾的数字。
5和8相乘是40，40也会出现在重新接尾的数中。
4和8相乘是32，32在……呃……（发现没有32，老师帮忙把32添上。
）
生2：
（继续刚才的回答）四五二十，20也会出现在重新接尾的数里。
生举例，师将学生举例的数字圈起来。
（点评：
老师选择了一个发现不够完善的小组。
学生陈述了他们小组的观点，老师并不着急，而是让学生举例说得更清楚，让所有的学生都明白他们的观点，并给学生的质疑留出空间和时间。
）
师：
这是他们小组的发现，你们对他们的发现有什么看法吗？
（没有学生举手）一点点都没有？
（有两个学生缓缓举手）有同学有看法了，你说！
生3：
我觉得这样子虽然的确是可以找到一个重新接尾的数字，但是不能找全，而且不一定能保证找到的是第一个。
师：
你能不能像他那样也举个例子？
举例子来说明你的观点。
生3：
比如说这个同学它的图1的边数是6，图2的边数是4，它们相乘的积是第二次重新接尾了！
图1的边数是8，图2的边数是4，得出来的是第四个重新接尾的数字了！
（点评：
果然，学生提出了质疑。
同样，老师采用让学生举例的形式让他表达得更清楚，并给学生留白，让学生有空间和时间重新审视这个小组的发现。
）
师：
我听明白了，你们的意见是不是这样？
虽然两个图形边数乘起来，能够得到其中一个重新接回的数字，但是——
生3：
不能得全！
而且有时候第一个也得不出来。
师：
你们听得明白吗？
虽然乘起来能够得到其中的一些重新接回的数，但是还有一些，它们并不是两个数的乘积，也重新接回了。
那你们对他们小组的发现怎么评价？
生：
他们的发现是对的，但是不完整。
师：
是对的，但是不完整，（问发言的小组代表）你们能接受吗？
好的！
谢谢！
但是她能够勇敢、大胆地第一个上台向所有的同学及老师汇报，我觉得这一点值得我们给他们热烈的掌声！
（全场掌声响起，生2带着满意的笑容回座位。
）
（点评：
有了足够的留白，学生的评价相当中肯恰当。
老师又恰到好处的用鼓掌的形式保护了汇报学生，鼓励了其他学生继续汇报。
）
师：
接下来我请——（师用目光扫视学生）好！
你们小组也来汇报！
生4：
我们小组发现重新接尾的次数既是图1边数的倍数又是图2边数的倍数。
师：
你能不能也像刚才那位同学一样，结合黑板上的数据来说明？
生4：
（走到黑板前，指着数据）比如说12、24、36，都是尾巴重新接回的次数，然后呢，12既是6的倍数又是4的倍数，24是6的倍数，也是4的倍数，36也是6的倍数和4的倍数。
师：
其它组数据呢？
生4：
也是一样的，40是8的倍数也是5的倍数，80是8的倍数也是5的倍数，120是8的倍数也是5的倍数。
师：
其他两组数据也是一样吗？
（是的。
）
师：
这是他们小组的发现，你们对他们的发现有什么看法？
（没有学生举手）完全同意？
一点意见都没有？
（还是没人举手）那好！
我们鼓掌一致通过！
（掌声响起。
）
（点评：
这一次老师选择了完全正确的答案，得到学生的一致认可。
两个小组汇报的过程，学生是活动的主角，老师充当的角色是活动的组织者、引导者、合作者。
）
4．引出公倍数和最小公倍数的概念
师：
同学们，通过刚才大家的讨论和汇报，看来尾巴重新接回的次数与什么有关？
（与图1、图2的边数有关。
）是什么关系呢？
生：
既是图1边数的倍数，同时，也是图2边数的倍数，是他们共同的倍数、公共的倍数！
师：
我们把它记下来。
（ppt出示图形边数与重新接回次数的关系。
）
师：
同学们，像这样的数，同时是两个数公共的倍数，在数学上有一个专有的名称，叫——
生：
（大部分学生说）公倍数！
师：
说对了！
就叫公倍数！
师：
那黑板上这么多的公倍数，你们觉得哪一个最重要？
生：
最小的那个。
师：
为什么？
生5：
因为知道最小的公倍数，就能找到其它的公倍数。
师：
怎么算？
比如说，我已经找到了最小的倍数了，其它的怎么算？
第二个数呢？
生5：
就是第一个数的两倍。
师：
第三个？
（三倍。
）第五个？
（五倍。
）
师：
乘五就行了，对吧？
第一百个？
（一百倍。
）第一万个！
（一万倍。
）
师：
对吗？
谢谢！
（掌声）
师：
（指着公倍数中最小的那些）像这样的数，在公倍数中是最小的，它们也有一个专有的名称——（最小公倍数。
）
师：
原来，尾巴重新接回的次数就是多边形边数的边数的公倍数，第一次接回就是边数的最小公倍数！
（师板书：
公倍数 最小公倍数）齐读！
师：
原来尾巴重新接回的奥秘就是这个！
（点评：
公倍数和最小公倍数，这只是数学上的规定，老师选择了直接给出，学生有了前面的汇报铺垫，轻松接受。
对于最小公倍数，老师用“哪一个最重要”的形式说明给它一个专有名词的必要性。
至此，公倍数与最小公倍数的概念已经引出，本课的重点任务已经完成。
）
三、不转图片，运用“奥秘”，尝试寻找两个数的最小公倍数。
师：
那如果现在还让你们玩这个游戏，会猜吗？
（会！
）有把握吗？
（有）
师：
不转动图片哦！
（行！
）
师：
来！
我们来试试！
师：
比如说8边形和6边形，我们要知道8边形和6边形至少转动几次尾巴重新接回，其实就是求8和6的——
生：
最小公倍数！
（有学生说24）
师：
最小公倍数。
有同学已经想到了，多少？
生：
（争先恐后）24！
师：
哦？
这么快！
有把握吗？
（有！
）你们能不能把自己的想法写下来？
（能！
）请拿出练习本，把你们找8和6的最小公倍数的过程写下来。
生拿出练习本开始写，师巡视。
（点评：
运用概念，尝试寻找两个数的最小公倍数，可以帮助学生加深对公倍数和最小公倍数的理解。
整个过程仍然围绕本课的引入情境，情境用足用透。
）
师：
有的同学已经算出来了，有的同学还在计算。
这样，我先请一个做得快的同学跟大家交流交流。
投影出示一学生的做法。
师：
你来说说你是怎么找8和6的最小公倍数的。
生6：
我先找出6的倍数和8的倍数，再找它们共同的倍数。
师：
哦，我听明白了，他是先写出6的倍数，再写出8的倍数，再找出它们共同的倍数。
师：
能明白吗？
谢谢！
为了让大家看得更清楚，我把他的想法在屏幕上再演示一遍。
老师课件演示学生的做法。
（点评：
这是最基本的做法，是每个学生都必须掌握的保底的做法，老师用心良苦，用多种方式反复讲解，让每一个学生都有所获。
）
师：
刚才老师在下面看的时候，发现还有一种很特别的做法，老师在屏幕上展示，看看你们能不能看懂？
只看，我不说话。
（师演示，不说话）
师：
谁能看懂？
生7：
6不是8的倍数，12也不是8的倍数，18也不是8的倍数，24既是6的倍数也是8的倍数。
师：
能听明白吗？
（能。
）
师：
（还有学生举手）你还想说，你也说说。
生8：
这种做法是找6的倍数来比较，看是不是8的倍数。
我觉得因为我们要找的是8和6的公倍数，因为8大一些，我们可以用8来试，这样少一些。
师：
你的思维很快，我们先把他的做法弄清楚，再来看看你的做法。
师：
他的做法其实就是先依次将6的倍数写下来，看看它是不是同时也是8的倍数。
6的第一个倍数6不是8的倍数，12不是8的倍数，18不是8的倍数，24是8的倍数。
这样24就是8和6的最小公倍数。
师：
刚才他（生8）说的这种做法，老师这里也有一个展示，我们也来看看，看看是否跟他说的一样。
师展示。
师：
而且他还提到，这样做可以更快一点。
这几种做法，你们觉得怎样做比较好比较快就可以怎样做。
（点评：
基本做法还是太麻烦了，在此基础上发展出两种形式的快捷做法，老师并不避讳，而是以学生为本，一一讲解，让思维较好的学生有更多的收获。
同时，并不死板，“这几种做法，你们觉得怎样做比较好比较快就可以怎样做”。
）
四、正反举例，辨析特征，帮助学生理解公倍数的概念
师：
同学们，我们通过玩尾巴重新接回的游戏，认识到了两个新的概念。
他们是——（公倍数和最小公倍数。
）
师：
刚才我们还试着找了两个数的最小公倍数。
那么，你们能否用举例的形式说明什么样的数是两个数的公倍数？
生9：
我觉得这样的数就是公倍数：
同时能被两个数整除，就是这两个数的公倍数。
师：
能不能举例说明？
生9：
比如说6和4的公倍数就是24，24能被4整除也能被6整除。
师：
你这样说可能大家会听得更明白：
24是6的倍数，24也是4的倍数，24是6和4的公倍数。
来你试试。
生9复述一遍。
师：
谁还再来？
生：
21是3的倍数，21也是7的倍数，21是3和7的公倍数。
30是5的倍数，30也是6的倍数，30是5和6的公倍数。
6是24的因数，8也是24的因数，所以24是6和8的公倍数。
师：
你们举了那么多的例子，我也来举个例子。
师板书：
6、9：
18、24、36、48。
生：
（略加思考后说）不对！
24是6的倍数但不是9的倍数。
48是6的倍数但不是9的倍数。
师将24和48划去。
（点评：
举例是一种非常好的说明自己观点的方法，老师在这节课上反复运用。
学生形成概念是实在的、有例子支撑的，是真正的理解。
老师还有意举了两个反例，进一步加深公倍数的概念。
）
五、提出新问题，引发新思考，在思考与回味中结束全课
师：
看来同学们掌握得不错。
那么关于公倍数和最小公倍数，大家还有什么问题想问的吗？
生10：
我在想，求两个数的公倍数有没有一个公式呢？
要不然的话，如果是两个很大的数会怎么样？
累死了。
师：
谢谢你，这个问题提得非常好！
生11：
（生很投入，正要说，被哨声打断。
）你干嘛呢！
（现场大笑。
）公倍数不一定要用倍数找，可不可以用因数找？
师：
你们觉得呢？
（可以。
）
师：
其实老师也有一个问题。
大家有没有想过：
为什么重新接回的次数就正好是两个多边形边数的公倍数呢？
这个问题，就请大家课后去思考、去讨论、去探究！
今天这节课就上到这里。
下课！
（点评：
本课在游戏中开始，在游戏中提出问题，最后再以学生提问收尾。
课已完，意未尽，回味无穷。
）
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