埃及融入高中数学科教案.docx
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埃及融入高中数学科教案
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埃及融入高中數學科教案
單元名稱
有趣的等差、等比
教材來源
網路
課程設計
顏蓓瑩
演示教師：
教學時數：
1節
教學班級
2.25
學生人數：
人
教學日期：
96.4.23–96.4.30
學生分析
1.中等程度。
2.已學過等差數列、等差級數、等比數列、等比級數。
教學資源
電腦多媒體、powerpoint、學習單一、二。
單元教學目標
1.比較古今的數學問題。
2.由故事中得到等差級數與等比級數變化的數感。
3.判斷題目、故事中各數間的關係是何種數列或級數，察覺等差、等比數列的數字間的節奏。
4.欣賞有趣的數學小故事。
5.在日常生活中利用數學、活用數學、減少受騙上當的機會。
6.激勵多樣性的獨立思維方式。
7.分享各別族群的生活數學以及欣賞不同文化的數學發展。
8.利用數學語言進行溝通。
教學活動
流程圖
學生活動
評量與指導
分鐘
1、準備活動
（1）學生：
綜合複習等差、等比單元之概念。
（2）教師：
收集與本單元相關之資料。
2、發展活動
（一）複習等差數列、等差級數、等比數列、等比級數之定義及公式。
1.等差數列
若一個n項的數列a1，a2，a3，…..an，其中相鄰兩項之後項減前項的差，若為常數，即aK+1-ak=d，其中1≦k≦n-1，則稱為等差數列（或算數數列），常以A.P表示之，d稱為數列的公差。
※一般項：
an＝a1+（n-1）d
2.等差級數
若a1，a2，a3，…..an，是一個等差數列，則將它的前n項相加a1+a2+a3+…..+an就稱為等差級數（或算數級數）。
Sn＝
＝
3.等比數列
若一個n項的數列a1，a2，a3，…..an，其中相鄰兩項之後項與前項的比值，若為常數，即aK+1：
ak=r：
1，其中1≦k≦n-1，則稱為等比數列（或幾何數列），常以G.P表示之，r稱為數列的公比。
※一般項：
an＝a1rn-1
4.等比級數
若a1，a2，a3，…..an，是一個等比數列，則將它的前n項相加a1+a2+a3+…..+an就稱為等比級數（或幾何級數）。
A
sn＝
＝
5.教師、學生共同討論與歸納
（二）欣賞中西方古老的數學問題
（學習單一）
介紹原典中的名題：
1.萊因德紙草書
2.張邱建算經
3.
孫子算經
※分組討論並模仿韻文命題
（三）欣賞數學小故事
（學習單二）
1.有關西洋棋的傳說
2.最重的報酬
3.一件有利的交易
※分組討論問題
喚起前備經驗
題本實做
題本實做
題本實做
題本實做
記錄筆記
分組討論
模仿命題
分享與對話
分組討論
分享與對話
口頭問答
隨機抽閱
補救教學
隨機抽閱
補救教學
隨機抽閱
補救教學
隨機抽閱
補救教學
教師觀察
書面資料呈現
口頭報告
教師觀察
書面資料呈現
口頭報告
2分
5分
5分
5分
5分
6分
4分
6分
4分
教學活動
流程圖
學生活動
評量與指導
分鐘
三、綜合活動
1.小組派出代表，發表小組所編的韻文。
2.小組派出代表，發表小組隊各個故事中的想法。
3.教師歸納、總結
各組發表
重點整理與複習
書面資料呈現
口頭報告
書面資料呈現
口頭報告
學習單、筆記抽閱
4分
4分
有趣的等差、等比【學習單一】
－－－中西方古老的數學問題
萊因德紙草書﹝RhindPapyrus﹞：
是公元前1650年左右的埃及數學著作，是現存世界上最古老且完整的數學手抄本之一。
作者是書記官阿默斯。
內容似乎是依據了更早年代﹝1849B.C.─1801B.C.﹞的教科書，是為當時的包括貴族、祭司等知識階層所作，最早發現於埃及底比斯的廢墟中。
公元1858年由英國的埃及學者萊因德﹝A.H.Rhind﹞購得，故名。
現藏於倫敦大英博物館。
該紙草書全長544厘米，寬33厘米。
紙張是取自埃及尼羅河三角洲沼澤地帶所盛產的一種水草（Papyrus）製成的紙張，俗稱紙草。
該紙草書起頭為：
『精確的計算是了解所有的知識和探索黑暗與神秘事務的唯一指南』。
由此可知，古埃及知識份子對數學的重視。
（第40題）：
把100只麵包分給5個人，使每人所得成等差數列，且使最大的三份之和的
是最小的兩份之和，問各得多少？
（第79題）：
一個人，他的財產包括七個房間，每個房間飼養七隻貓，每隻貓捕捉七隻老鼠，每隻老鼠吃七串麥穗，每串麥穗能生產七赫克特（古埃及的容量單位）的麥。
請問在這份財產中，房子、貓、老鼠、麥穗和穀物總共有多少？
張邱建算經：
是中國北魏早期的數學作品，約為紀元431至450年之間。
為山東省清河張邱建所著。
此書是唐朝國子監算學館的教材之一。
（卷上18問）：
今有十等人，甲等十人，官賜金依等次差降之。
上三人先入，得金四斤，持出。
下四人後入，得金三斤，持出。
中央三人未到者，亦依等次更給。
問各得金幾何，及未到三人復應得金幾何？
（卷下24問）：
今有城周二十里，欲三尺安鹿角一枚，五重安之，問凡用鹿角幾何？
孫子算經
作者不祥，約成書於東晉、南北朝時代到隋、唐之間。
書中多為淺顯之數學問題約64問，屬初等算學的問題。
（卷下34問）：
今有出門望有九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各幾何？
英國的童話故事「鵝媽媽」
我赴聖地艾弗西（AsIwasgoingtost.Ives），
徒遇男子有婦七（Imeetmanwithsevenwives），
一婦七袋手中提（Eachwifehadsevensacks），
一袋七貓數整齊（Eachsackhadsevencats），
一貓七子緊相依（Eachcathadsevenkits），
婦與布袋貓與子（kits,cats,sacksandwives），
幾何同時赴聖地（Howmanyweretheregoingtost.Ives）。
＃＃＃1.請將古籍中的題目翻譯成白話文
＃＃＃2.請算出題目中所問的答案
＃＃＃3.請模仿古人出一個等比的題目
有趣的等差、等比【學習單二】
－－－數學小故事
【有關西洋棋的傳說】
西洋棋是最古老的遊戲之一。
好幾個世紀以前，西洋棋就被發明了，因此我們不必驚訝有很多有關西洋棋的傳說，當然也不可能去印證它了。
我要說的是其中的一個傳說。
要了解這個傳說並不需要知道如何下棋；祇要知道這是在一個有６４塊方格的棋盤上的遊戲就足夠了。
傳說裡，西洋棋始於印度。
楔倫王對於棋戲裡，下棋方法的龐大和巧妙，感到大為驚訝。
當他曉得發明的人是他的子民時，便下令要這個人來見他，以便接受他個人對這偉大發明所當予的獎賞。
這個名叫西沙的發明人來到國王面前──他是一個穿著樸素，靠教學糊口的學者。
「因為你不可思議的發明，我想好好獎賞你。
」國王迎接西沙時說。
這位賢者西沙，鞠躬致謝。
國王繼續說：
「我的財富足夠滿足你最企盼的願望。
你祗要說出你所希望的，你就可以得到它。
」
西沙默不作聲。
「不必害怕，」國王慫恿著說；「說出你想要的，我會毫不吝嗇地達成你的願望。
」
學者回答說：
「陛下，您的仁慈真是無遠弗屆」，「但是請您給我時間考慮考慮。
明天，在我仔細考慮以後，再來稟告您我的要求。
」
第二天，西沙並不過分的要求，令國王感到非常意外。
他說：
「陛下，」「在棋盤的第一個方格，我想要一粒麥子。
」
「一粒普普通通的麥子麼？
」國王幾乎不能相信自己的耳朵。
「是的，陛下，兩粒麥子在第二個格子，四粒在第三格，八粒在第四格，十六粒在第五格，卅二粒在第六格………。
」
「好了，好了，」國王急躁地說；「你就會得到棋盤上所有６４個方格上你所要的麥子。
但你要知道你的要求實不足以彰顯我的慷慨胸懷。
如此平常的要求對我是大不敬。
實在說，做為一個教師，你應該可以有更好的方式來表達你對國王的仁慈的敬意。
去吧！
我的僕人就會給你所有你要的麥子。
」
西沙微笑地走出去，然後站在門口等他的獎賞。
進晚餐時，國王想起西沙，於是質問那位「愚魯」的發明家是不是已經得到那可憐的獎賞了。
他得到的答覆是：
「陛下，」「您的命令還在執行中呢！
您的臣子正在計算那些麥粒的數量。
」
國王不悅地皺了皺眉，他不慣於見到他的命令如此緩慢地被執行。
晚間就寢前，國王再一次詢問西沙是不是得到了應得的麥粒了。
答覆是：
「陛下，」「你的數學家們正不停地工作著，祇希望在天亮以前計算出麥粒的數量呢！
」
「他們為什麼這麼慢？
」國王生氣的命令：
「在我醒來之前，西沙必須得到全部的麥子。
我不再命令第二次了！
」
第二天早上，宮庭的首席數學家要求晉見國王。
國王准許了他。
楔倫王說：
「在你告訴我來意之前，」「我要知道西沙是不是得到了他要求的微不足道的獎賞了。
」
這個年長的賢者回答：
「正因為這件事，我才斗膽這麼早來見您，」「我們實實在在地計算了西沙所要的麥子。
那是一筆龐大的數目………」
國王不耐煩地插嘴說：
「不管怎麼龐大，」「我的穀倉一定能應付的。
這個獎賞我已答應了，因此一定要給的。
」
「陛下，滿足西沙的願望，不是您能力所能達到的。
您的穀倉並沒有儲藏西沙所需麥粒的數量。
您的國度裡也沒有這麼多麥粒；事實上，在整個世界上也一樣沒有。
因此如果您堅守承諾的話，您必須將全世界的土地都開墾成麥田，所有的海洋也開闢成水田，而且使所有北方的冰雪都溶化，如此才可能有足夠的麥子給西沙。
」
國王顯得很嚴肅。
「說出這個數字來。
」他沈思著說。
「這數字的１８,４４６,７４４,０７３,７０９,５５１,６１５，陛下！
」賢者回答說。
傳說裡是這麼記載的。
＃＃＃1.請問西沙提出的要求是一個什麼級數？
＃＃＃2.請用式子列出西沙要求得到的獎賞？
＃＃＃3.請問西沙提出這樣的要求，如果你是國王你該怎麼辦？
【最重的報酬】
這是一個發生在古羅馬帝國的傳說。
一位羅馬將軍鐵倫蒂斯，帶著剛從一場勝戰中得來的戰利品回到故鄉，並且要求晉見國王。
國王和善而親切地接見了他，為他對國家所做的貢獻致謝，並且答應封贈他一個元老院的職位，以顯他的尊榮。
但那不是鐵倫蒂斯所想要的報酬。
他說：
「我已贏得了無數的戰爭來增加您的權利和提高您名字的榮耀。
我從來不怕死，而且如果我有不只一條命的話，我將願意為您而犧牲。
但我已厭倦打仗了，我已不再年輕，並且在我脈搏中流動的血也不再沸騰，這將是我告老返鄉享受晚年的時候了。
」
國王問：
「鐵倫蒂斯，那麼你最想要什麼報酬呢？
」
「喔，親愛的凱撒皇帝，請寬恕我！
我已當了一輩子的戰士，我將我的刀劍沾滿了血跡，但我卻沒時間去建立財富。
我是一個多麼貧窮的人………。
」
「繼續說下去，勇敢的鐵倫蒂斯。
。
」國王打斷他說。
「如果您願將這報酬給予您僕人，」這被鼓勵的將軍繼續說：
「讓您這大方的贈予幫助我平安而充裕地渡過晚年。
我不願在有權的元老院中尋求榮耀或高官，我只希望能退休，平安地渡過餘年。
喔，親愛的凱撒大帝！
給我足夠的錢讓過個舒適的晚年吧！
」
傳說中，這國王並不是一個大方的人。
事實上，他是個吝嗇鬼，要他的錢，好像要他的命一樣。
在他回答這將軍以前，他考慮了一會兒。
他終於開口了：
「你認為多少錢才夠呢？
」
「一百萬元，親愛的凱撒大帝！
」
這國王再度沉默了；那將軍在一旁低著頭等待。
「英勇的鐵倫蒂斯，」國王終於說了，「你是個偉大的將軍，而且你的榮耀的確可讓你要求一筆值錢的報酬。
我將給你這份財富。
明天中午，你來聽我的決定吧！
」
於是，鐵倫蒂斯就向國王鞠躬而後離開了。
第二天鐵倫蒂斯回到了皇宮。
「啊，勇敢的鐵倫蒂斯！
」國王說。
「喔，親愛的凱撒皇帝！
我來聽您的決定了。
您已大方地答應我要求的報酬，是嗎？
」
「是的，」國王回答說，「我不願意讓像你這樣崇高的戰士得到小氣的報酬。
聽我說，在我的財庫中有5000000個銅幣共價值一百萬元。
現在注意聽著：
你到我的庫府中拿一個銅幣，帶來這裏。
第二天，你再去拿一個價值為前一個兩倍的銅幣，放在上一個的旁邊。
第三天，再去拿一個價值第一個4倍的銅幣。
第四天便是8倍，第五天16倍，如此下去。
我將每天把這些銅幣所值的錢給你。
只要你有精力，你儘可在我的寶庫中取出這些銅幣。
但你必須自己去拿，不能讓任何人幫助。
當你再也不能舉起這銅幣的時候，就得停止。
那時候我們的協定便中止，所有你拿出銅幣，就是你所得到賞賜。
」
鐵倫蒂斯貪婪地聽著國王的述說。
在他想像中，他似乎看到從國王的庫府中拿出了一大堆的銅幣。
「喔，親愛的凱撒皇帝！
我非常感謝您的慷慨，」他高興地回答國王說：
「這報酬實在太棒了！
」
就這樣，鐵倫蒂斯展開了他的長途旅行，到離皇宮不遠的庫府，而且毫不費力地取得了第一個銅幣。
第一天鐵倫蒂斯拿的是一個小銅幣，直徑21公厘，重5公克。
他很容易的拿了第二，第三，第四，第五及第六個銅幣，因它們也不過重10、20、40、80、160公克而已。
而第七個重230公克，直徑81/2公分（或者，正確一點應該是84公厘）。
在第八天，他必須拿一個為第一個128倍重的銅幣。
那重量是640公克，直徑約101/2公分。
第九天，他將要帶給國王一個為第一個256倍重，超過1.25公斤重，直徑13公分的銅幣。
第十天，那銅幣直徑大約是27公分，已重10.25公斤了。
這國王總是非常大方地迎接鐵倫蒂斯已去了他的寶庫12次，只不過拿回比2000銅幣多一點的錢而已。
第13天鐵倫蒂斯拿了為第一個4096倍的銅幣，直徑大約是34公分，為20.5公斤。
下一次這銅幣當然更大更重：
41公斤重，直徑42公分
「我勇敢的鐵倫蒂斯，你還不疲倦嗎？
」國王忍不住微笑地問道。
「不，皇上。
」這將軍皺著眉頭拭著額上的汗水回答說。
第14天來臨了。
這負擔比以前的更重，將軍慢慢地走到庫府，帶走一個為第一個16380倍重的銅幣，它直徑有53公分、重大約是82公斤──一個高大戰士的重量。
第16天，當這將軍把那銅幣背的背上時，他的雙腳在顫抖了。
那是一個為第一個32768倍，重164公斤的銅幣，它的直徑有67公分那麼大。
鐵倫蒂斯呼吸困難面露疲態地走到皇宮，國王不禁衝著他發出微笑……
當這將軍隔天回到那裏的時候，國王大笑著迎接他。
他再也不能背著銅幣，只能把它滾到皇宮。
那是一個直徑84公分，重328公斤，為第一個65536倍重的銅幣。
第18天，從拜訪寶庫，然後到皇宮的搬運也告結束。
這次他必須帶一個為第一個131072倍重的銅幣，它的直徑超過一公尺，重有655公斤。
他用矛當做推進器，把銅幣滾進皇宮，那銅幣就落在國王的腳旁。
鐵倫蒂斯已是筋疲力盡了。
「夠了………」他喘著氣說。
國王開心地忍不住捧腹大笑，他終於智勝了那將軍。
讓我們來檢查一下保管庫府者的計算，看看銅幣的重量是多少。
＃＃＃1.請問國王是根據什麼級數提出要求？
＃＃＃2.請用式子列出鐵倫蒂斯得到的獎賞？
＃＃＃3.請問鐵倫蒂斯拿到的賞賜是原先要求的幾倍？
【一件有利的交易】
我們不知道下面這件事是在什麼時候或什麼地方發生的。
也許根本就沒這回事。
不管是事實或只是個傳說，它都是個非常有趣的故事，並且很值得一讀。
億萬富翁小平異常高興地回到家；因為他遇到一個人並且談了一件交易，他認為這世上再沒有比這交易更划算的了。
『多麼幸運！
』他告訴他的家人說：
「『富者擁有一切幸運』，這句傳言果真不假，至少我似乎已擁有一大堆的幸運，而它又實在是出人意料地落在我身上。
在我回家的路中，我碰到一個毫不顯眼的傢伙，事實上，我根本沒注意到他。
但是他看得出我是一個富有的人，因此，很快的挨近我，近到什麼程度，讓我告訴你，近得幾乎使我喘不過氣。
」
「讓我們來作個交易如何？
」他說著：
「在一個月內的每一天，我將帶1000000元給你。
當然，我必須有一些東西作為報酬，一個非常非常小的報酬。
」他說我第一天必須付給他一角。
只要一角──那實在荒謬的令人難以相信。
我真的是無法相信我的耳朵。
」
「只是一角？
」小平問道。
「是的，只要1角。
」他堅決地說：
「但是當我給你第二次的1000000元時，你必須付我2角。
」
「然後呢？
」小平忍不住急切地問道：
「然後要怎麼樣？
」
「然後，我在第三次給你1000000元，你必須付我4角。
第四次8角，第五次16角，如此繼續下去，你每天須付我前一天所付的兩倍。
」
「再來呢？
」
「沒有了，就這樣而已，我並不再要求別的，只要你能遵守這約定就行。
每天我帶1000000元給你，而你付給我剛才我們所同意的數目。
在一個月還結束之前，不能終止這約定，這就是唯一的條件。
」
「哈，你看！
他竟然為了小小的幾毛錢而整整花掉一百萬元。
他如果不是個騙子，就是個瘋子！
不管他是什麼，這實在太有利了，良機不可失啊！
」
「好的」小平告訴他說：
「帶你的錢來，我就付給你所要求的數目。
只是，可別想動什麼歪腦筋來欺騙我。
「放心。
」他回答說：
「明天早上你等著我好了。
」
「可是，我怕他不會來了，他很可能發現他已經做了一件大傻事。
等著瞧好了，反正明天也沒有多久就到了。
」
第二天清晨有人在窗戶上敲著。
小平一看，正是那個陌生人！
「你的1毛錢準備好了嗎？
」他問道：
「我已經帶來我應諾的錢了。
」
那是真！
他一進來就拿出一大袋的錢，一共1000000元──就是那麼多，並且說：
「這就是我們約定的金額，現在把1角付給我吧。
」
小平把一毛錢放在桌，他的心幾乎要跳出來，唯恐那個陌生人改變主意要求把錢退還。
然而，這個造訪者拿起那個硬幣，在手上拋了一拋，然後放入他的袋子。
「明天，我會同樣這時候來，別忘了準備好2角。
」
小平實在無法相信這天大的好運，1000000就在眼前閃爍！
他把那袋錢仔細地算一算，不得不相信一切都是那麼實在，毫無一點欺詐的跡象。
因此，他把錢收好之後，就愉快地期待明日早點來臨。
可是當夜深沉的時候，小平開始擔心了。
會不會這個陌生人是個強盜偽裝的，今天只是來探他──一個億萬富翁──收藏錢財的地方，以便他日來搶劫？
想到這裏，小平不禁爬起身來，把門栓緊一點，尤其是窗戶，更是特別留意。
一聽到些微的聲音，就緊張地跳起，一夜都無法入睡。
到了清晨，窗戶又響起叩叩的聲音，那個陌生人又來了。
他算好另一次的一百萬元，然後把他應得的2角放進袋內就離開了，臨行前說道：
「可別忘了把明天的4角準備好。
」
小平不禁鬆了一大口氣，高興得無法形容──又有一百萬元在口袋中了！
而且這那陌生人看起更不像是個強盜。
事實上，小平不再認為他是個可疑的傢伙，而確定他所要的就是那麼幾毛錢而已。
真妙極了！
也許世界還有許多那樣傻的人，那麼聰明人就能夠常常過著好日子………那個陌生人第三天又準時來臨，這次小平拿到第三次的一百萬元，並付了4角。
隔天，另一次的一百萬元，付了8角。
第五次的一百萬讓那小平付1元6角，而第六次就付3元2角。
在第一週的7天中，這富翁收到了7000000元，只付了一些少得幾如施捨的數目：
1+2+4+8+16+32+64=12元7角
這貪婪的小平，非但不再介意那陌生人的形跡，反而開始感到遺憾這合約只有一個月。
那就是說，他只能收到三千萬元而已。
是不是該設法說服那陌生人延長合約的期限呢？
不行，最好不要，不然那陌生人也許會馬上發現他是在白花錢。
在那當中，那陌生人每天清晨繼續地帶來1000000元。
第八天時，那陌生人拿到12元8角，第九天──25元6角，第十天──102.4元，第十二天──204.8元，第十三天──409.6元，第十四天──819.2元。
小平欣然地付出所約定的數目。
他不是只花了差不多1500元而已，就收到了一千四百萬嗎？
但是他的歡樂並沒有維持多久，他馬上發現這交易並沒有如所想像的那麼有利。
因為15天之後，他就必須付數以千計的錢，不再是幾毛錢了，而且所付的數目是急遽增加的。
事實上，這是他必須付給的情形：
付第15次的1000000…………1638.4
付第16次的1000000…………3276.8
付第17次的1000000…………6553.6
付第18次的1000000…………13107.2
付第19次的1000000…………26214.4
到此為止，他仍然沒有損失。
不錯，他必須付超過20000元的數目，但他不也收到1000000元的「報酬」嗎？
然而，這利益已開始一天天地減少了──而且是急速地減少。
這是那富翁以後必須付的數目：
付第20次的1000000…………52428.8
付第21次的1000000…………104857.6
付第22次的1000000…………209715.2
付第23次的1000000…………419430.4
付第24次的1000000…………838860.8
付第25次的1000000…………1677721.6
付第26次的1000000…………3355443.2
付第27次的1000000…………6710886.4
現在他所付的遠超過他所收的。
這是他必須停止付出的時候了，但是他又不能破壞合約。
而且這情形每況愈下。
等到小平知道那陌生人是多麼無情地在算計他時，一切都已太遲了，他不得不付出遠遠超過所收到的錢額。
第28天，小平必須付出超過一千萬的數目，而最後的兩次付款就使他破產了。
那數目是非常驚人的：
付第28次的1000000…………13421772.8
付第29次的1000000…………26843545.6
付第30次的1000000…………53687091.2
當這來訪者最後一次離開的時候，小平垂頭喪氣地坐下來，埋怨自己的貪婪。
這一切竟只是由1毛錢開始。
＃＃＃1.請問騙子在一個月中給了小平多少錢？
＃＃＃2.請問小平一共給了騙子多少錢？
＃＃＃3.請問如果你是小平，你會怎麼辦？
如果可以終止契約，你會在第幾天終止契約？
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