离散数学 第2章 习题解答.docx

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离散数学第2章习题解答

习题2.1

1．将下列命题符号化。

（1）4不是奇数。

解：

设A（x）：

x是奇数。

a：

4。

“4不是奇数。

”符号化为：

¬A（a）

（2）2是偶数且是质数。

解：

设A（x）：

x是偶数。

B（x）：

x是质数。

a：

2。

“2是偶数且是质数。

”符号化为：

A（a）∧B（a）

（3）老王是山东人或河北人。

解：

设A（x）：

x是山东人。

B（x）：

x是河北人。

a：

老王。

“老王是山东人或河北人。

”符号化为：

A（a）

B（a）

（4）2与3都是偶数。

解：

设A（x）：

x是偶数。

a：

2，b：

3。

“2与3都是偶数。

”符号化为：

A（a）∧A（b）

（5）5大于3。

解：

设G（x,y）：

x大于y。

a：

5。

b：

3。

“5大于3。

”符号化为：

G（a,b）

（6）若m是奇数，则2m不是奇数。

解：

设A（x）：

x是奇数。

a：

m。

b：

2m。

“若m是奇数，则2m不是奇数。

”符号化为：

A（a）→A（b）

（7）直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。

解：

设C（x,y）：

直线x平行于直线y。

设D（x,y）：

直线x相交于直线y。

a：

直线A。

b：

直线B。

“直线A平行于直线B当且仅当直线A不相交于直线B。

”符号化为：

C（a,b）↔¬D（x,y）

（8）小王既聪明又用功，但身体不好。

解：

设A（x）：

x聪明。

B（x）：

x用功。

C（x）：

x身体好。

a：

小王。

“小王既聪明又用功，但身体不好。

”符号化为：

A（a）∧B（a）∧¬C（a）

（9）秦岭隔开了渭水和汉水。

解：

设A（x,y,z）：

x隔开了y和z。

a：

秦岭。

b：

渭水。

c：

汉水。

“秦岭隔开了渭水和汉水。

”符号化为：

A（a,b,c）

（10）除非小李是东北人，否则她一定怕冷。

解：

设A（x）：

x是东北人。

B（x）：

x怕冷。

a：

小李。

“除非小李是东北人，否则她一定怕冷。

”符号化为：

B（a）→¬A（a）

2．将下列命题符号化。

并讨论它们的真值。

（1）有些实数是有理数。

解：

设R（x）：

x是实数。

Q（x）：

x是有理数。

“有些实数是有理数。

”符号化为：

（x）（R（x）∧Q（x））

它的真值为：

真。

（2）凡是人都要休息。

解：

设R（x）：

x是人。

S（x）：

x要休息。

“凡是人都要休息。

”符号化为：

（"x）（R（x）→S（x））

它的真值为：

真。

（3）每个自然数都有比它大的自然数。

解：

设N（x）：

x是自然数。

G（x,y）：

x比y大。

“每个自然数都有比它大的自然数。

”符号化为：

（"x）（N（x）→（$y）（N（y）∧G（y,x）））

它的真值为：

真。

（4）乌鸦都是黑的。

解：

设A（x）：

x是乌鸦。

B（x）：

是黑的。

“乌鸦都是黑的。

”符号化为：

（"x）（A（x）→B（x））

它的真值为：

真。

（5）不存在比所有火车都快的汽车。

解：

设A（x）：

x是汽车。

B（x）：

是火车。

K（x,y）：

x比y快。

“不存在比所有火车都快的汽车。

”符号化为：

¬（$x）（A（x）∧（"y）（B（y）→K（x,y）））

它的真值为：

真。

（6）有些大学生不佩服运动员。

解：

设S（x）：

x是大学生。

L（x）：

是运动员。

B（x,y）：

x佩服y。

“有些大学生不佩服运动员。

”符号化为：

（$x）（S（x）∧L（y）∧¬B（x,y））

它的真值为：

真。

（7）有些女同志既是教练员又是运动员。

解：

设W（x）：

x是女同志。

J（x）：

x是教练员。

L（x）：

x是运动员。

“有些女同志既是教练员又是运动员。

”符号化为：

（$x）（W（x）∧J（x）∧L（x））

它的真值为：

真。

（8）除2以外的所有质数都是奇数。

解：

设A（x）：

x是质数。

B（x）：

x是奇数。

C（x,y）：

x不等于y。

“除2以外的所有质数都是奇数。

”符号化为：

（"x）（A（x）∧C（x,2）→B（x））

它的真值为：

真。

3．指出一个个体域，使下列被量化谓词的真值为真，该个体域是整数集合的最大子集。

在以下各题中，A（x）表示：

x＞0，B（x）表示：

x=5，C（x,y）表示：

x＋y=0

（1）（"x）A（x）

解：

正整数集合Z+。

（2）（$x）A（x）

解：

整数集合Z。

（3）（"x）B（x）

解：

集合｛5｝。

（4）（$x）B（x）

解：

整数集合Z。

（5）（"x）（$y）C（x,y）

解：

整数集合Z。

4．分别在全总个体域和实数个体域中，将下列命题符号化。

（1）对所有的实数x，都存着实数y，使得x－y=0

解：

设R（x）：

x是实数。

B（x,y）：

x－y=0。

在实数个体域符号化为：

（"x）（$y）B（x,y）

在全总个体域符号化为：

（"x）（R（x）→（$y）（R（y）∧B（x,y）））

（2）存在着实数x，对所有的实数y，都有x－y=0

解：

设R（x）：

x是实数。

B（x,y）：

x－y=0。

在实数个体域符号化为：

（$x）（"y）B（x,y）

在全总个体域符号化为：

（$x）（R（x）∧（"y）（R（y）→B（x,y）））

（3）对所有的实数x和所有的实数y，都有x＋y=y＋x

解：

设R（x）：

x是实数。

B（x,y）：

x=y。

在实数个体域符号化为：

（"x）（"y）B（x+y,y+x）

在全总个体域符号化为：

（"x）（R（x）→（"y）（R（y）→B（x+y,y+x）））

（4）存在着实数x和存在着实数y，使得x＋y=100

解：

设R（x）：

x是实数。

B（x,y）：

x＋y=100。

在实数个体域符号化为：

（$x）（$y）B（x,y）

在全总个体域符号化为：

（$x）（R（x）∧（$y）（R（y）∧B（x,y）））

习题2.2

1.指出下列公式中的约束变元和自由变元。

（1）（"x）（P（x）→Q（y））

解：

约束变元：

x，自由变元：

y

（2）（"x）（P（x）∧R（x））→（（$x）P（x）∧Q（x））

解：

约束变元：

x，自由变元：

x

（3）（"x）（P（x）∧（$x）Q（x））∨（（"x）R（x,y）∧Q（z））

解：

约束变元：

x，自由变元：

y，z

（4）（$x）（"y）（R（x,y）∧Q（z））

解：

约束变元：

x，y，自由变元：

z

（5）（"z）（P（x）∧（$x）R（x,z）→（$y）Q（x,y））∨R（x,y）

解：

约束变元：

x，y，z，自由变元：

x，y

2.对下列谓词公式中的约束变元进行换名。

（1）（$x）（"y）（P（x,z）→Q（x,y））∧R（x,y）

解：

将约束变元x换成u：

（$u）（"y）（P（u,z）→Q（u,y））∧R（x,y）

将约束变元y换成v：

（$x）（"v）（P（x,z）→Q（x,v））∧R（x,y）

（2）（"x）（P（x）→（R（x）∨Q（x,y）））∧（$x）R（x）→（"z）S（x,z）

解：

将前面的约束变元x换成u，后面的约束变元x换成v：

（"u）（P（u）→（R（u）∨Q（u,y）））∧（$v）R（v）→（"z）S（x,z）

将约束变元z换成w：

（"x）（P（x）→（R（x）∨Q（x,y）））∧（$x）R（x）→（"w）S（x,w）

3.对下列谓词公式中的自由变元进行代入。

（1）（（$y）Q（z,y）→（"x）R（x,y））∨（$x）S（x,y,z）

解：

将自由变元z用u代入：

（（$y）Q（u,y）→（"x）R（x,y））∨（$x）S（x,y,u）

将自由变元y用v代入：

（（$y）Q（z,y）→（"x）R（x,v））∨（$x）S（x,v,z）

（2）（"y）P（x,y）∧（$z）Q（x,z）↔（$x）R（x,y）

解：

将自由变元x用u代入：

（"y）P（u,y）∧（$z）Q（u,z）↔（$x）R（x,y）

将自由变元y用v代入：

（"y）P（x,y）∧（$z）Q（x,z）↔（$x）R（x,v）

4.利用谓词公式对下列命题符号化。

（1）每列火车都比某些汽车快。

解：

设A（x）：

x是火车。

B（x）：

x是汽车。

C（x,y）：

x比y快。

“每列火车都比某些汽车快。

”符号化为：

（"x）（A（x）→（$y）（B（y）∧C（x,y）））

（2）某些汽车比所有火车慢。

解：

设A（x）：

x是火车。

B（x）：

x是汽车。

C（x,y）：

x比y快。

“某些汽车比所有火车慢。

”符号化为：

（$x）（B（x）∧（"y）（A（y）→C（y,x）））

（3）对每一个实数x，存在一个更大的实数y。

解：

设R（x）：

x是实数。

G（x,y）：

x比y大。

“对每一个实数x，存在一个更大的实数y。

”符号化为：

（"x）（R（x）→（$y）（R（y）∧G（y,x）））

（4）存在实数x，y和z，使得x与y之和大于x与z之积。

解：

设R（x）：

x是实数。

G（x,y）：

x比y大。

“存在实数x，y和z，使得x与y之和大于x与z之积。

”符号化为：

（$x）（$y）（$z）（R（x）∧R（y）∧R（z）∧G（x+y,xz））

（5）所有的人都不一样高。

解：

设R（x）：

x是人。

G（x,y）：

x和y一样高。

“所有的人都不一样高。

”符号化为：

（"x）（"y）（R（x）∧R（y）→¬G（x,y））

5.自然数一共有下述三条公理：

a）每个数都有惟一的一个数是它的后继数。

b）没有一个数使数1是它的后继数。

c）每个不等于1的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。

用两个谓词表达上述三条公理。

注：

设n是不等于1的自然数，则n＋1是n的后继数，n－1是n的先驱数。

解：

设A（x）：

x是数。

B（x,y）：

x是y后继数（根据定义，也可理解为y是x先驱数）。

a）“每个数都有惟一的一个数是它的后继数。

”符号化为：

（"x）（A（x）→（$y）（A（y）∧B（y,x））∧（（$z）（A（z）∧B（z,x））→（z=y）））

b）“没有一个数使数1是它的后继数。

”符号化为：

¬（$x）（A（x）∧B（1,x））

c）“每个不等于1的数都有惟一的一个数是它的直接先驱数。

”符号化为：

（"x）（A（x）∧¬（x=1）→（$y）（A（y）∧B（x,y））∧（（$z）（A（z）∧B（x,z））→（z=y）））

6.取个体域为实数集R，函数f在a点连续的定义是：

对每个ε＞0，存在一个δ＞0，使得对所有x，若|x－a|＜δ，则|f（x）－f（a）|＜ε。

试把此定义用符号化的形式表达出来。

解：

（"ε）（（ε＞0）→（δ）（（δ＞0）∧（"x）（（|x－a|＜δ）→（|f（x）－f（a）|＜ε））））

7.若定义惟一性量词（$!

x）为“存在惟一的一个x”，则（$!

x）P（x）表示“存在惟一的一个x使P（x）为真”。

试用量词，谓词及逻辑运算符表示（$!

x）P（x）。

解：

（$!

x）P（x）（$x）P（x）∧（（$y）P（y）→（y=x））

习题2.3

1.设个体域为D=í1,2,3ý，试消去下列各式的量词。

（1）（"x）P（x）

解：

（"x）P（x）P

（1）∧P

（2）∧P（3）

（2）（"x）P（x）→（$y）Q（y）

解：

（"x）P（x）→（$y）Q（y）（P

（1）∧P

（2）∧P（3））→（Q

（1）∨Q

（2）∨Q（3））

（3）（"x）P（x）∨（$y）Q（y）

解：

（"x）P（x）∨（$y）Q（y）（P

（1）∧P

（2）∧P（3））∨（Q

（1）∨Q

（2）∨Q（3））

（4）（"x）（P（x）↔Q（x））

解：

（"x）（P（x）↔Q（x））（P

（1）↔Q

（1））∧（P

（2）↔Q

（2））∧（P（3）↔Q（3））

（5）（"x）ØP（x）∨（"y）Q（y）

解：

（"x）¬P（x）∨（"y）Q（y）（¬P

（1）∧¬P

（2）∧¬P（3））∨（Q

（1）∧Q

（2）∧Q（3））

2.求下列各式的真值。

（1）（"x）（$y）H（x,y）其中H（x,y）：

x＞y，个体域为D=í4,2ý

解：

（"x）（$y）H（x,y）（$y）H（2,y）∧（$y）H（4,y）

（H（2,2）∨H（2,4））∧（H（4,2）∨H（4,4））

（0∨0）∧（1∨0）0∧10

（2）（$x）（S（x）→Q（a））∧p其中S（x）：

x＞3，Q（x）：

x=5，a：

3，p：

5＞3，个体域为D=í-1,3,6ý

解：

（$x）（S（x）→Q（a））∧p（（S（-1）→Q（3））∨（S（3）→Q（3））∨（S（6）→Q（3）））∧（5＞3）

（（0→0）∨（0→0）∨（1→0））∧1

（1∨1∨0）∧11∧11

（3）（$x）（x2-2x+1=0）其中个体域为D=í-1,2ý

解：

（$x）（x2-2x+1=0）（（（－1）2－2×（－1）＋1=0）∨（22－2×2＋1=0）

（（4=0）∨（1=0）0∨00

3.证明下列各式。

其中：

B是不含变元x的谓词公式。

（1）（$x）（S（x）→R（x））Û（"x）S（x）→（$x）R（x）

证明：

（$x）（S（x）→R（x））Û（$x）（¬S（x）∨R（x））

Û（$x）¬S（x）∨（$x）R（x）

Û¬（"x）S（x）∨（$xR（x）

Û（"x）S（x）→（$x）R（x）

（2）（"x）（"y）（S（x）→R（y））Û（$x）S（x）→（"y）R（y）

证明：

（"x）（"y）（S（x）→R（y））Û（"x）（"y）（¬S（x）∨R（y））

Û（"x）¬S（x）∨（"y）R（y）

Û¬（$x）S（x）∨（"y）R（y）

Û（$x）S（x）→（"y）R（y）

（3）（$x）（A（x）→B）Û（"x）A（x）→B

证明：

（$x）（A（x）→B）Û（$x）（¬A（x）∨B）Û（$x）¬A（x）∨B

Û¬（"x）A（x）∨BÛ（"x）A（x）→B

（4）（"x）（B→A（x））ÛB→（"x）A（x）

证明：

（"x）（B→A（x））Û（"x）（¬B∨A（x））Û¬B∨（"x）A（x）ÛB→（"x）A（x）

（5）（"x）（A（x）→B（x））Þ（"x）A（x）→（"x）B（x）

证明：

因为（"x）（A（x）→B（x）），所以对于任意个体c，A（c）→B（c）和A（c），从而有B（c），由c的任意性有（"x）B（x），根据cp规则，（"x）（A（x）→B（x））Þ（"x）A（x）→（"x）B（x）

（6）（"x）（A（x）«B（x））Þ（"x）A（x）«（"x）B（x）

证明：

（"x）（A（x）«B（x））Û（"x）（（A（x）→B（x））∧（B（x）→A（x）））

Û（"x）（A（x）→B（x））∧（"x）（B（x）→A（x））

（"x）（A（x）→B（x））∧（"x）（B（x）→A（x））Þ（"x）（A（x）→B（x））Þ（"x）A（x）→（"x）B（x）

同理，（"x）（A（x）→B（x））∧（"x）（B（x）→A（x））Þ（"x）B（x）→（"x）A（x）

所以，（"x）（A（x）→B（x））∧（"x）（B（x）→A（x））Þ（（"x）A（x）→（"x）B（x））∧（（"x）B（x）→（"x）A（x））

而（（"x）A（x）→（"x）B（x））∧（（"x）B（x）→（"x）A（x））Û（"x）A（x）«（"x）B（x）

故有（"x）（A（x）«B（x））Þ（"x）A（x）«（"x）B（x）

4.判断下列证明是否正确。

（"x）（A（x）→B（x））Û（"x）（¬A（x）∨B（x））Û（"x）Ø（A（x）∧¬B（x））

Û¬（$x）（A（x）∧¬B（x））Û¬（（$x）A（x）∧（$x）¬B（x））

Û¬（（$x）A（x）∧¬（"x）B（x））Û¬（$x）A（x）∨（"x）B（x））

Û（$x）A（x）→（"x）B（x））

解：

下列的推理是错的：

¬（$x）（A（x）∧¬B（x））Û¬（（$x）A（x）∧（$x）¬B（x））

习题2.4

1.求下列各式的前束范式。

（1）（"x）P（x）∧（$x）Q（x）

解：

（"x）P（x）∧（$x）Q（x）Û（"x）P（x）∧（"x）Q（x）Û（"x）（P（x）∧Q（x））

（2）（"x）P（x）∨（$x）Q（x）

解：

（"x）P（x）∨（$x）Q（x）Û（"x）P（x）∨（"x）Q（x）

Û（"x）P（x）∨（"y）Q（y）

Û（"x）（"y）（P（x）∧Q（y））

（3）（"x）（"y）（（（$z）A（x,y,z）∧（$u）B（x,u））→（$v）B（x,v））

解：

（"x）（"y）（（（$z）A（x,y,z）∧（$u）B（x,u））→（$v）B（x,v））

Û（"x）（"y）（（$z）（$u）（A（x,y,z）∧B（x,u））→（$v）B（x,v））

Û（"x）（"y）（"z）（"u）（$v）（（A（x,y,z）∧B（x,u））→B（x,v））

（4）（"x）（"y）（（$z）（A（x,z）∧B（x,z））→（$u）R（x,y,u））

解：

（"x）（"y）（（$z）（A（x,z）∧B（x,z））→（$u）R（x,y,u））

Û（"x）（"y）（"z）（$u）（（A（x,z）∧B（x,z））→R（x,y,u））

（5）（"x）（（$y）A（x,y）→（$x）（"y）（B（x,y）∧（"y）（A（y,x）→B（x,y））））

解：

（"x）（（$y）A（x,y）→（$x）（"y）（B（x,y）∧（"y）（A（y,x）→B（x,y））））

Û（"x）（（$y）A（x,y）→（$x）（"y）（B（x,y）∧（"z）（A（z,x）→B（x,z））））

Û（"x）（（$y）A（x,y）→（$u）（"v）（"z）（B（u,v）∧（A（z,u）→B（u,z））））

Û（"x）（"y）（$u）（"v）（"z）（A（x,y）→（B（u,v）∧（A（z,u）→B（u,z））））

Û（$x）（$y）（"u）（$v）（$z）（A（x,y）→（B（u,v）∧（A（z,u）→B（u,z））））

2.求下列各式的前束合取范式。

（1）（"x）（P（x）∨（"z）Q（z,y）→（"y）R（x,y））

解：

（"x）（P（x）∨（"z）Q（z,y）→（"y）R（x,y））

Û（"x）（（"z）（P（x）∨Q（z,y））→（$y）R（x,y））

Û（"x）（（"z）（P（x）∨Q（z,y））→（$u）R（x,u））

Û（"x）（$z）（$u）（（P（x）∨Q（z,y））→R（x,u））

Û（"x）（$z）（$u）（（P（x）∨Q（z,y））∨R（x,u））

Û（"x）（$z）（$u）（（P（x）∧ØQ（z,y））∨R（x,u））

Û（"x）（$z）（$u）（（P（x）∨R（x,u））∧（ØQ（z,y））∨R（x,u）））

（2）（x）（y）（P（x,y）∧Q（y,z））∨（x）R（x,y）

解：

（x）（y）（P（x,y）∧Q（y,z））∨（x）R（x,y）

Û（x）（u）（P（x,u）∧Q（u,z））∨（v）R（v,y）

Û（x）（u）（v）（（P（x,u）∧Q（u,z））∨R（v,y））

Û（x）（u）（v）（（P（x,u）∨R（v,y））∧（Q（u,z））∨R（v,y）））

（3）（（$y）Q（z,y）→（"x）R（x,y））∨（$x）S（x,y,z）

解：

（（$y）Q（z,y）→（"x）R（x,y））∨（$x）S（x,y,z）

Û（（$u）Q（z,u）→（"x）R（x,y））∨（$v）S（v,y,z）

Û（"u）（"x）（$v）（（Q（z,u）→R（x,y））∨S（v,y,z））

Û（"u）（"x）（$v）（Q（z,u）∨R（x,y）∨S（v,y,z））

3.求下列各式的前束析取范式。

（1）（"x）（P（x）→（"y）（（"x）Q（x,y）→（"z）R（x,y,z）））

解：

（"x）（P（x）→（"y）（（"x）Q（x,y）→（"z）R（x,y,z）））

Û（"x）（P（x）→（"y）（（"x）Q（x,y）→（$z）R（x,y,z）））

Û（"x）（P（x）→（"y）（$u）（$z）（Q（u,y）→R（x,y,z）））

Û（"x）（"y）（$u）（$z）（P（x）→（Q（u,y）→R（x,y,z）））

Û（"x）（"y）（$u）（$z）（P（x）∨ØQ（u,y）∨R（x,y,z））

（2）（x）（y）（P（x,y）∨Q（y,z））∧（x）R（x,y）

解：

（x）（y）（P（x,y）∨Q（y,z））∧（x）R（x,y）

Û（x）（u）（P（x,u）∨Q（u,z））∧（v）R（v,y）

Û（x）（u）（v）（（P（x,u）∨Q（u,z））∧R（v,y））

Û（x）（u）（v）（（P（x,u）∧R（v,y））∨（Q（u,z））∧R（v,y）））

（3）（（$y）Q（z,y）∧（"x）R（x,y））∨（$x）S（x,y,z）

解：

（（$y）Q（z,y）∧（"x）R（x,y））∨（$x）S（x,y,z）

Û（（$u）Q（z,u）∧（"x）R（x,y））∨（$x）S（x,y,z）

Û（$u）（"x）（Q（z,u）∧R（x,y））∨（$x）S（x,y,z）

Û（$u）（"x）（Q（z,u）∧R（x,y））∨（$v）S（v,y,z）

Û（$u）（"x）（$v）（（Q（z,u）∧R（x,y））∨S（v,y,z））

习题2.5

1．证明下列各式。

（1）（"x）（F（x）→（G（y）∧R（x））），（$x）F（x）Þ（$x）（F（x）∧R（x））

证明：

⑴（$x）F（x）P

⑵F（c）ES⑴

⑶（"x）（F（x）→（G（y）∧R（x）））P

⑷F（c）→（G（y）∧R（c））US⑶

⑸G（y）∧R（c）T⑵⑷假言推理

⑹R（c）T⑸化简律

⑺F（c）∧R（c）T⑵⑹合取引入

⑻（$x）（F（x）∧R（x））EG⑺

（2）（"x）（F（x）→G（x）），（"x）（R（x）→ØG（x））Þ（"x）（R（x）→ØF（x））

证明：

⑴（"x）（R（x）→ØG（x））P

⑵R（c）→ØG（c）US⑴

⑶（"x）（F（x）→G（x））P

⑷F（c）→G（c）US⑶

⑸ØG（c）→ØF（c）T⑷假言易位式

⑹R（c）→ØF（c）T⑵⑸假言三段论

⑺（"x）（R（x）→ØF（x））UG⑹

（3）（"x）（F（x）∨G（x）），（"x）（G（x）→ØR（x）），（"x）R（x）Þ（"x）F（x）

证明：

⑴（"x）R（x）P

⑵R（c）US⑴

⑶（"x）（G（x）→ØR（x））P

⑷G（c）→ØR（c）US⑶

⑸ØG（c）T⑵⑷拒取式

⑹（"x）（F（x）∨G（x））P

⑺F（c）∨G（c）US⑹

⑻F（c）T⑸⑺析取三段论

⑼（"x）F（x）UG⑻

（4）（$x）F（x）→（"y）（（F（y）∨G（y））→R（y）），（$x）F（x）Þ（$x）R（x）

证明：

⑴（$x）F（x）P

⑵F（c）ES⑴

⑶（$x）F（x）→（"y）（（F（y）∨G（y））→R（y））P

⑷（"y）（（F（y）∨G（y））→R（y））T⑴⑶假言推理

⑸（F（c）∨G（c））→R（c）US⑷

⑹F（c）∨G（c）T⑵附加律