运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案.docx

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运筹学基础及应用第四版胡运权主编课后练习答案

运筹学基础及丨、V:

用习题解答

习题一P46

1.1

（a）

2=3。

（b）

用亂解法找+到满足所打约柬条仲的公：

it•范W，所以该问题无可行解。

1.2

（a）约束方程组的系数矩阵

M23

-40

130

-b

基

基解

是否基可行解

目标函数值

入‘2

太3

入*5

太6

•6

否

是

P\PiPo

1-44

否

P\P3Pa

5一2

P\ihl）s

是

P\P3P6

10-i003

否

P\PaPs

P\PaPe

104

-2

否

最优解A.=（o，iao,7，o，o）r

（b）约束方程组的系数矩阵fI234、

4=l22I2,

基

基解

X\x2x3x4

是否基可行解

目标函数值

P\P2

-4—002

否

PiP3

1oii0

是

P\Pa

-i0oH

否

PiPi

0-20

是

PiPaP3!

0--022

（J0丨1

否

是

最优解1=（^,0，11，0^V55）"

1.3

（a）

（1）图解法

⑵单纯形法

首先在各约朿条件上添加松弛变铽，将问题转化为标准形式

maxz=10a-,+5a'2+0x3+0a4

[3a-.+4义2+A3=9si.<

[5a-j+2x2+a'4=8

则A，P4组成个猫《=令A=;c2=0

得-站可行解a_=（0.0.9,8），山此列出初始单纯形表

新的单纯形农为

A',XoXA

1414

_5__25

M~T?

xi=~，a-3=0,a4

q.qcO，表明已找到问题垴优解.

（b）

（1）图解法

最优解即为严+2X2=24的解x=卩，2V最大值z:

IA"i+Xy=5I22/

（2）单纯形法

苘先在外约朿条件.h添加松弛变M，将问题转化为标准形式maxz=2.v,+x2+Ox3+0.v4+Oa55a'2+=156.y,+2x2+.v4=24

2*^4

0--

oa:

、Q0一4

（7,^2<0,表明已找到问题最优解^=1，X2=-,A-3

估•17

HiZ=——

1.6

（a）在约朿条件中添加松弛变量或剩余变量，且令k=jc2-a:

；（a*2>0,.v；>o）

Xx=~X->

该问题转化为

maxz'=-3a,-x2+.v2-2a3+0.v4+（Xv52x|+3a-2-3a2+4a3+a4=12

攀MI

4a'|+x2-A*2-2a*3—^5=83a*,-x2+x2—3a*3=6

A*,,A'2，X2,x3，A-4,A3^0

-K约朿系数矩陴为

23-34I04丨-1-20-1

3-丨丨一300

在A屮人为地添加两列单位向虽/>7，

23-3410004丨-1-2t）-1丨03-1I-30001

令maxz'=-3a-i-x2+x2-2.v3+Oa:

.,+0.v5-Mx6-Mx7得初始单纯形表

最大

a4=0，x5

^Xix2x4x5x6

-200

M-M

-I

000

（b）在约朿条件中添加松弛变M或剩余变M，.R令a:

3（jc3>0,.x；>0）

该问题转化为

maxz•=一3^-5.v2+x?

-x?

+0,v4+Ox5x,+2x2+x^-x^-x4=62.v,+x2-3jc3-3^：

3+a*5=16x2+5a*3一5a*3=10•vpA：

2，“x4，A5^0

-I

艽约柬系数矩阵为

213-30-1115-500

ftA屮人为地添加两列单位向觉p7,

121-1-1010、

213-30100115-50001

、/

令maxz,=-3a*,一5,v2+.v3一x3+0x4+0xs一Mxb-Mx1

衍初始单纯形表

-5

00-M-M

X.X,X,X,X,X,X,xn

-A/x6

-Mx710

-3+2A/5+3M1+6M-1-6M-M000

（a）解1:

大\1法

在上述线性规划问题中分别减去剩余变萤x4，x6,〜再加上人工变蛩15，17，'，得maxz=2xt-x2+2x3+0,v4-Mxs+0,v6-Mx7+0a8-Mx^

A',+X2+A：

3-+JC5=6

-2xl+jc3—a*6+x1—22xz—jc3-a*8+jc9=0a-,,.v2,a*3,j:

4,a:

5,^6,x7,x8,a-9>0

，r,

其中MS个任意人的正数-据此可列出单纯形表

jc,x2x4

X5X6

-Mxs6-Mx7一2—Ma、0

[2]

2-M3A/-12+A/-M

1/2-1/200-1/2-1/2

-Mx,—Ix\

[1]

1/2

^5M3„^„A/I13A/

2-M0+—-M0-M0一十

222222

-Mjr53

2.v32-Ix2I

3/2-3/21/2-1/2-1100-1/21/2-1/21/2

000110

3/4

>M+3-5M-3M

-3M

4Af+50

■M

-1/4

1/4

3/8

-3/8

1/8

-1/8

-1/2

1/2

-1/4

1/4

-1/4

1/4

一1/8

1/8

一3/8

3/8

x,3/4a37/27/4

5|4

3/8-8

-9

-5/4-M

山单纯形表计算结果可以ft出，ct4>0且％<0（/=丨，2，3）,所以该线性规划问题有无界解解2:

两阶段法。

现在.卜.述线性规划问题的约柬条件『I*分別减去剩余变觉，x（、,a8，再加上人丨:

变鼠

x^x^x^nm•阶段的数学模型

[2]

尤4

一1

尤6

-1

久5

3/2

[1]

-1/2

-1

义.5

a-7

1/2-1/200-1/2-1/2

-5/2

0001I0

3/2-3/21/2-1/2一I丨00-1/21/2-1/21/2

3/4

-1/4

1/4

3/8

-3/8

1/8

-1/8

-1/2

1/2

-1/4

1/4

-1/4

1/4

-1/8

1/8

-3/8

3/8

X,3/4a-37/2x27/4

第阶段求得的最优解）^=（^0，0，0，0,0，0）'|:

1标函数的最优值‘=0。

442

因人工变jfU5=x7=%=0，所以A^（m，0,0，0，0,0，0）T^原线性规划问题的骓可

行解。

于是可以进行第阶段运箅。

将第-•阶段的最终表屮的人:

丨:

变獄取消,并填入原问题的目标函数的系数，进行第二阶段的运算，见下表•

cj_zj

-1

ch^b

2xi

3/4

-1/4

3/8

-1/8

7/2

-1/2

-1/4

1/4

-1x2

7/4

-1/4

一1/8

一3/8

Cj-Zj0005/4-3/8-9/8

由表中计尊结果可以肴出，a4>0Pl〜<0（/=1，2，3），所以原线性.规划问题苻无界解。

（b）解1：

大M法

在上述线性规划问题中分別减去剩余变虽x4,;r6，A，再加上人丨:

变:

6Lr547，\，得minz=2jc,+3x2+a*3+0.v4+0a*5+Mxb-Mxn

jc,+4a*2+2jc3一x4+=3a*,+2x2-xs+x7=6

.A|，-'2，-'3，-^4，•^5,，-'8>-^*y—^

其中M是个任意大的正数。

据此可列出单纯形表

•M

-M

■M

[4J

c#基办

Mx68Mx76

2-AM3-6MI-2M

1/41

[5/2]0

1/2

-1/4

1/2

1/4

-1/2

5X2Mxn

3\M

-M0

3/5

-2/5

-3/101/103/10一1/10

x29/5a:

4/5

1/5

-2/5-1/52/5

1/21/2M-M2Af-1/2

山单纯形表计算结果可以fhh.最优解欠’=（|,|，0，0,0，0，0/,1=1标函数的垴优解值

z*=2xl+3x|=7。

父存在非《变萤检验数cr3=0,故该线性规划问埋Yf无穷多鍛优解《解2:

两阶段法。

•阶段的数学模耶min似:

jc,+4x2+2x3一a*4+jc6=83.v,+2x2-xs+jc7=6

v,，，A”v5，A，a.7，A”vy>0据此可列出单纯形表

a.2

[4]

AX6

xt>

-4-6

1/41[5/2]0

1/4

-1/2

1/2-1/4

-11/2

4/5

jv2

-5/2

1/2

3/2

x29/5a*.4/5

3/5-3/101/103/10-1/10-2/51/5-2/5-1/52/5

第阶段求得的最优解又^^…………別^行标函数的最优值^；=0。

丨入1人:

变跫jc6=a>=0，所以（H，0，0,0，O’O）1■•足原线性规划问题的骓可行解。

于足可

以进行第：

：

阶段运箅。

将第•阶段的最终表屮的人工变M取消，井填入原问题的R标函数的系数，进行第.：

阶段的运箅，见下表。

crz）

0丨

cbb

又4

义s

3a-29/52jc,4/5

113/5-3/101/10

20-2/51/5-2/5

ci_h

0001/21/2

由单纯形表计算结果可以稽出，最优解；T=（|，|，0，0，0，0，0）T，R标函数的最优解值

^=2x-+3x-=7«山于存在非基变罱检验数q=0，故该线性规划问题荷无穷多最优

553

解。

1.8

表1-23

文2

太3

文4

A-4

-2

夂51

-13201

C广

-1

表1-24

丨3

文4

尤5

12-11/20

夂51

1/2

cJ-zi

-7

-3/2

1.10

丨5

5x2

8/3

2/3

1/3

0a:

14/3

-4/3

[5]

-2/3

0a:

29/3

5/3

-2/3

cj~zj

-1/3

-5/3

-^i

尤2

人.3

又.4

丨5

又.6

5x2

8/3

2/3

1/3

4a-3

14/15

-4/15

-2/15

1/5

-17/15-4/5

义1xi

又5

5x250/41

0丨5/41

8/41

-10/41

4x362/41

1-6/41

5/41

4/41

3a-,89/41

0-2/41

-12/41

15/41

c「zi

0-45/41

-24/41

一11/41

11/15

最后-•个表为所求。

习题二P76

2.1写出对偶问题（a）

minz=2a-!

+lx2+4a3+3a2+4jc3>22.vt+x2+3.v3+y4<3+4x2+3a-3=5Aj,a-2之0，.v3无约朿

maxw=2y{+3.V2+5y3.Vi+2.v2+y3<2对偶M题为：

3_y,+y2+4v3<2

4y,+3.v2+3.y3=4v,>0,v2<0,>‘3无约束

^=5^,+3.v2+8y3>,i一.V2+4y3=52y,+5.v2+7.y3^62>-,->'2+3>*3^3>、无约束,>‘2^0,>'3^0

maxz=5a*,+6x2+3a*3m

.v,+2x2+2x3=5

-a,+5a2-jc3^3对偶问题为：

4a、+lx2+3jc3<8

1无约束，jc2^0,a3SO

2.2

（3）错误。

原问题存在可行解，对偶问题可能存在可行解，也可能无可行解。

（b}错误。

线性规划的对偶问题无可行解，则原问题可能无可行解，也可能为无界解4

（c）错误。

（d>正确。

2.6对偶单纯形法（a）

minz=4a、+12x2+I8.V3+3.V3>3sJ.<2x2+2a3>5

Ai，尤2，久3-0

解：

先将问题改W为求Plfe函数极人化，并化为标准形式

列单纯形表，尸

fr对偶单纯形法求解，步骤如下

ci—

-4-12-1800

Cft湛b

AjA*2X3XaX5

0a4-30a'5-5

-10-3100[-2]-201

cj-^j

-4-12-1800

0一3

-10[-3]10

-12x2—2

0110」

cj~zJ

-40-60-6

-18a:

01--0

-12丨2|

--10---

332

C；一

-200-2-6

-Xi-3a-3+x4:

-2a'2-2jc3+;c5Af>0（i=1，.”，5）

最优解为A‘=0，丨

目标值Z=39

sj.

minz二5a-,+2义2+4jc3

3a_,+a-2+2a_3>4<6.Vj+3a2+5a'3>10

A*,.A：

2.A3^0

解：

先将问题改h为求Mfe函数极人化，并化为称准形式

maxz'=-5jc,-2a:

2-4.v3+0^4+0a5-3a•丨_JC2_2A'3+A*4=-4sj.^-6^,-3a2-5j<3+jc5=-10xt>0（/=1，…,5）

列雄纯形表，J

il对偶单纯形法求解

—

-5-2-400

Cff-基b

AjX2X3X5

0-40x5-10

-3-1-210-6[-3]-501

cj_zj

-5-2-400

0a-4--3

-10--1」

.3j3

_2X2T

21-0—上

cj-zj

22-10--0--33

-4a:

3-2

301-31

一2x20

_3105-2

ci_zi

100-20

max

SJ.

cB基b

最优解为A=（ao，2f，R标值z=8.

2.8将该问题化为标准形式：

用单纯形表求

浑

2-1100

cBSib

X]x2x4x5

0a*460义54

ini丨io

-12001

c广

2-1100

=2.V,—A-2+A-3+Ojf4+0a5,+A'2++x4=6-A*,+2x2+a*5=4A/^0（/=l,-.5）

A：

x2Jl'3A4.V*5

山于i<0，所以己找到最优解X*=（6,0,0,0,10），n标函数侦^=12

（a）令目标函数

maxz=（2+4）x{+（-i+/l2）x2+C1+/1,）xi

《1）令;^=4=0，将;反映到最终单纯形表屮

ci—

2+4-丨丨00

cB魅厶

A-,JC2A1,.V4X5

2+'xA6

11丨丨0

0a510

03111

CJ~ZJ

0-3-A,0

表中解为最优的条件：

-3-'幺0，-1-^0»—2-Aj<0«从ifuA,>—1⑵令'=毛=0，将;^反映到最终单纯形表中

ci—

2-1+A2100

cB恶厶

•^2

^4A

c丨6

v510

c「zi

/l2-3

-1

-20

1+^300

XlX2A

•V.

表屮解为最优的条件：

4-丨幺0,从而;13<1

（b）令线性规划问题为

s.t

maxz=2x{-x2-\-x3at,+a:

2+a:

3<6+XA—A*,+2a*2<4+A5x^0（i=l,-3）

（l）先分析的变化

.,f1oYa,

Ab=B-]Ab=1

6+A,10+'

0，从而;^>-6

使M题最优站>f、变的条件圮/T+Al/

（2）同理有

10+A2

（c）山于Z二（6,0，0，0，丨0）代入-&+2;v3=~6<2，所以将约朿条件减去剩余变爾后的方程-;r,+2x,-x6=2直接反映到最终单纯形表中

cj4

2-11

cBb

x{x2x3

2A*,

111

0Xs

031

0A*6

-2

10-2

0-3-1

-2

对表屮系数矩阵进行初等变换，

得

Ci—

2-11

CB®

x,jt2

2A-,

111

ox5

031

0,v6

-8

0-1[-3]

-1

丨利此增加约朿条件后，新的锒优解为

10822

xt=一，i3=;，x5=一.最仇m为

2.12

（a）线性规划问题

maxz=3^|+.v2+4a*36.V,+3^2+5a*3<45sj.3.v,+Ax2+5a-3^30•v.,A',,a-,^0

单纯形法求解

最优解为（a、,x2，）=（5,0,3），目称值z=27。

（a）

单纯形法求解

设产品A的利润为3+A，线性规划问题变为

羅b

A',XlXy-V4xs

x445a’530

6351034[5]01

ci_zi

3+A,1400

A-415

^36

[3]-101-1

2110I

555

CJ~ZJ

3丨丨4-+/10U--555

A5a33

1--0---

333

011—丄一

CJ_ZJ

^A八丨/I3A（）一2+—0—一一—一一+—35353

maxz=（3+又）a•丨+a.2+4a*36a-,+3a-2+5^3^45SJ.^3a-|+4a2+5a3<30，a2，a3之0

-/l都小于等于0，解得

为保持最优计划不变，应使-2+1

（b）线性规划问题变为

maxz=3a-,+x2+4.v3

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