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概率论第二章练习答案

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《概率论》第二章练习答案

螂一、填空题:

°1则用Y表示对X的3次独立重复

其它

"2x

莁1.设随机变量X的密度函数为f（x）=丿

的观察中事件（XW—）出现的次数，则P（Y=2）=

P（XJ）「£xdx二

212319

袇p—F（3）2

螃2.设连续型随机变量的概率密度函数为:

-ax+b

蚈f（x）=

蚇0

其他

袄

且EX=—，贝Ua=

-2

（ax+b）dx=1

袂■■

「°

x（axb）dx解之°3

肇3.已知随机变量X在［1°,22］上服从均匀分布，则EX=16

莇DX=12

二4E10=22

4.设为随机变量，E=3,E2=11，则E（4：

10）

羀D（410）=16D#=16E2（E）232

r（x）dx=1

肇6•若f（x）为连续型随机变量X的分布密度，则J「f（x）dx=_1

~|*"^0

蚄P（E=0.8）=_;P（0.2：

：

6）=0.99

100

rx-100、

X，某一个电子设备内配有3个这样的电子管，则电子管使用150小时都不

、0（其他）

需要更换的概率为

8/27

蚀•••:

（x）=

0其它

蕿［P（>150）j=

（2）3=—

327

聿9.设随机变量X服从B（n,p）分布，已知EX=1.6,DX=1.28，则参数n=

肅EX=

np=1.6

蚃DX=

npq=1.28

，解之得：

n=8,p

=0.2

羂10.

设随机变量

x服从参数为（2,p）

的二项分布,

布，若

P（X》）=

—,贝UP（Y羽）=

65/81

Y服从参数为（4,

p）的二项分

蒈解:

P（X

5/4

-1）P（X1）p（X=0）

421

q,p=

933

羈

p（Y_1）=1_P（Y=0）

薆

=1-C；p°q4=1-86

4-81

加80.2%

莇11.随机变量X〜N（2,G2）,且P（2vXV4）=0.3,贝yP（XV0）=0.2

4-22-2

P（2：

：

4）P（X:

4）-P（X:

：

2）「0）—「0）0.3

莆即：

5（?

）一讥（0）=0.3,从而门0（?

）=0.30.5二0.8

acr

0—222

再代入P（X：

：

0）—：

」。

）—：

」。

（）=1一门0（）=1-0.8=0.2

CJCJCT

薃12.设随机变量X服从参数为1的指数分布，则数学期望E（Xe2X）=

4/3

2X\2X2xx14

薁E（Xe）EXEe=1eedx=1二

螆13•已知离散型随机变量X服从参数为2的泊松分布，则随机变量Z=3X—2的期望

肆E（Z）=3EX-2=3x2-2=4。

薅

虿14•设随机变量X服从参数为-的泊松分布，且P（X=1）=P（X=2）贝UE（X）=

_2__._D（X）=_2_

212

—e_=—e:

—2、-0

袇•••■=2（二0舍）

莂15.若随机变量

E服从参数入=0.05的指数分布，则其概率密度函数为:

衿16.设某动物从出生活到10岁以上的概率为0.7,活到15岁以上的概率为0.2,则现龄

为10岁的这种动物活到15岁以上的概率为P（.15/.10）=——=兰2=0.286

P^>10）0.77

薇17.某一电话站为300个用户服务，在一小时内每一用户使用电话的概率为0.01，则在

一小时内有4个用户使用电话的概率为P3（4）=0.168031

X~b（300,0.01）

利用泊松定理作近似计算:

膀一小时内使用电话的用户数服从

■二np二3000.01二3的泊松分布

荿18通常在n比较大，p很小时，用泊松分布近似代替二项分布的公式,其期望

为■=np，方差为■=np

肄19.X~N（4q2）,P（X£—5）=0.045,P（X兰3）=0.618，则4=_1.8

。

（将X标准化后查标准正态分布表）

蒅二、单项选择:

薂1.设随机变量X的密度函数为:

4x,0

1节其他

P（x

4x3dx解之得:

a=-1

Lod$财2

薇2.设Fi（X）与F2（X）分别为随机变量

—bF2（x）是某一随机变量的分布函数，在下列给它的

Xi与X2的分布函数，为使F（X）=aFi（x）

1各组值中应取（

A）

人3

芅A.a—b:

=——一

B.a=,

b=—

蒅C.a=

b=—

D.a=

b=—-

賺

肆F（+:

）=aFi（+：

：

）-BF2什：

：

）=1二a-b=1肅.a=3,b=适合

膂3.已知随机变量的分布函数为

（x）=

A+Barctgx，则：

（

B）

AAi

芀A、A=B=..B、A=

B=—

C、A=二B=-

D、A=B=—

JT2

螀解：

要熟悉arctgx的图像

（二）二ABarctg（：

：

）,1二AB

联立求解即可。

芄

薂4.设离散型随机变量X仅取两个可能值Xi和X—,而且Xi

0.6,又已知E（X）=1.4,D（X）=0.24，贝UX的分布律为（）

蒆x

肁0

螁1

薈

膂x

衿1

羈2

腿A.

膄p

賺

蒇0.4

螇

芆B.

莀p

祎

蒇0.4

0.6

肃

蚂

薀

羄

肄

螀

罿

蚄

袁

羃n

-++-芁

莀b

莈x

蒄n

膅x

肄a

罿C.

羅p

螁

螂0.4

蚇

袈D.

袃p

袀

莀0.4

0.6

蒆

羄

罿

蝿

膆

螂

莁

艿

袇

螃①1.4=EX=0.6X什0.4X2

葿②DX=EX-（EX）

蚈0.24=（x；*0.6x；*0.4）-1.42

蚇联系①、②解得Xi=1,X2=2

则此人得奖金额的数学期望为

肇A•6元B•12元C.7.8元

莇设•表示得奖金额，则其分布律为:

C10

6（3张2元的）9（2张2元，1张5元的）12（1张2元，2张5元的）

袄6.随机变量X的概率分布是:

蚃X

肇P

则：

（

D）

羆A、a—

b=—

B、a=

b=—

C、a=

b=—

D、a=—

b=-

蚄a+b：

=1-（1

+丄）

—

故选D

螄7.下列可作为密度函数的是：

（B）

聿8.设X的概率密度为®（X），其分布函数F（x），则（D）成立。

11.57

°xdx亠I（2-x）dx0.875

变量的概率密度函数。

j-:

'（x）-0

羈依据密度函数的性质：

」进行判断得出：

B为正确答案

（x）dx=1

薆11.某厂生产的产品次品率为

5%,每天从生产的产品中抽5个检验，记X为出现次

品的个数，则E（X）为

蒂此题X服从二项分布b（5,0.05）,EX=np=5*0.05=0.25

莆12.设X服从二项分布，若（

n+1）P不是整数，则K取何值时，P（X=K）最大？

（D）

薃A.K=（n+1）P

B.K=（n+1）P-i

薁C.K=nP

D.K=[（n+1）P]

螆

肆解：

根据二项分布的正态近似知，当X接近于EX=np时取到最大值，由于（n+1）P不是

整数，因此需要寻找最接近np的整数。

薅

虿13.设X服从泊松分布，若

■不是整数，则K取何值时，P（X=K）最大？

（B）

蒀A.■B.[■]

C.j.—1D./.1

袇解：

根据二项分布的泊松近似，以及泊松分布的正态近似知:

莂当EX=■时取到最大值，因为

-不是整数，而K必须为整数，因此需要对■取整

肂14.X~N（0,1）,Y=2X—1,

则丫~（C）

薇DY=D（2X-1）4DX=4,EY=E（2X-1）2EX-1—1

蒃15.已知随机变量X服从参数为2的指数分布，则其标准差为：

（C

D.2

）

膀A.

B.1/4

C.1/2

荿随机变量的参数为

2，即方差为

1/4,标准差则为1/2

肄

蒅16.当满足下列（）条件时，二项分布以正态分布为极限分布更准确。

（

螄17.

设X〜N（10'25）,已知

p—；0

n—:

①0

（1）^0.8413①。

（2）壯0.97725,

则p〈X：

：

和

p：

X^?

的概率分别为[C

5-10

（X：

：

5）—：

」0）—：

』0（一1）=1_：

.：

」0（）1-0.8413=0.1587

20_10

（X20）1-P（X_20）=1-门0）=1-:

：

（2）=0.0228

薄三、计算题:

1.设随机变量X的密度函数是连续型函数，其密度函数为:

賺试求:

肆解：

（1）

由X为连续型随机变量,

肅--

X"1

匚im

f（x）二f

（1），即:

（B-X）二f

（1）

XT1

+ao

芀同时：

f（x）dx=1二A2B=5②

—oO

螀①、②式联系解得：

A=1,B=2

螅

（2）F（x）二j—f（t）dt,

h—oO

芄则当x空0时，F（x）=0;

‘x12

薂当o：

：

x_1,F（x）tdtx;

‘02

腿当1<2,F（x）

oxdx1（2心

（2t一丄严

x=2x」x2

-1；

蒆当x>2时，F（x）=1.

「0

-x

氐F（x）=«1

2x__x2_1

x乞0

0x<1

1：

：

x乞2

1331313

（3）P『X込"FQ-F才2厂1Q2-1

（i）

严2x

芆2.设已知X~®（X）=f

0x：

：

其它

，求：

①P（X乞0.5）

膂②F（x）

0.5

衿解：

①P（X<5）2xdx

xx2

F（x）=:

（t）dt="2tdt=x

0,x:

，•”F（x）=』x2,0兰xcl

1,x

膄③

X~X（x）二

1（0兰x兰1）

」0（其他）

丫~FY（y）=P（丫乞y）=p（3X1乞y）=p（X空呼）-Fx（目）

賺丫（y）二F,y）=x（目）1

.丫（y）=餌9（仁八4）

b（其他）

-0<

x<2

羁f（x）=

Lcx+b2

莀其他

祎已知

EX=2,

P（1

=—，求a、b、c的值

螇

3.设随机变量X的密度函数为:

b）dx=2a6c2b

蒇解：

（1）①2axdx•4（cx

，02

肃②EX二2ax2dx亠（（ex2bx）d^=8a56c6^2

‘0‘233

蚂③p（「：

：

3）二

axdx亠I（cxb）dx二

1_1

联系解得二a,b=1,c=

X（单位：

t）,已

1t,可为国家挣得外汇3万元，但

聿4•假定在国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量是随机变量

知X服从［2000,4000］上的均匀分布，设每出售这种商品

假如销售不出而囤积于仓库，则每吨需浪费保养费1万元，问应组织多少货源，才能使国家

的收益最大？

+oO

ER二R（x）f（x）dx

—oQ

^^（-y27000y-4106）

1000

蔵二^^[825000-（y-3500）2]

1000

芆5.设某种商品每周的需求量X服从区间［10,30］上均匀分布，而经销商店进货量为［10,30］中的某一整数，商店每销售一单位商品可获利500元，若供大于求，则削价处理，

每处理一单位商品亏损100元，若供不应求，则可从外部调剂供应，此时一单位商品仅获利

300元，为使商店所获利润期望值不少于9280元，试确定最小进货量？

螂解：

设进货量为a,则利润为:

'500a—（x—a）300

腿Ma=」

500x-（a-x）100

a1301

罿EMa（600x-100：

）dx（300x200a）dx

'1020La20

莫=-7.5a2350a5250

膂若EMa_9280即：

-7.5：

2+350：

+5250>9280

袀解得：

20w〉w26

螆•取最小:

-=21

蚇上式：

x_f（x）=」20

10_x_30

其他

薁6.某高级镜片制造厂试制成功新镜头，准备出口试销，厂方的检测设备与国外的检测

设备仍有一定的差距，为此，厂方面临一个决策问题：

①

直接进口，②租用设备，③与

外商合资。

不同的经营方式所需的固定成本和每件的可变成本如表:

薀

自制

进口

租赁

合资

螇

固定成本（万兀）

120

200

袅每件可变成本（元）

100

芅已知产品出口价为200元/件，如果畅销可销3.5万件，中等可销2.5万件，滞销只售0.8万件，按以往经验，畅销的可能性为0.2，中等的为0.7,滞销的为0.1，请为该厂作出最优

决策。

莁解：

设8=销量，几二自制，A?

=进口，A3二租赁，A4二合资

衿销量

羃畅销3.5万件

螄中等销售2.5万件

肁滞销0.8万件

蚆概率

芆0.2

膃0.7

袁0.1

蚈最优决策的含义是：

利润最大化

蒄总成本=固定成本+销售量*可变成本

薃E（B）=2.53万件

E（A）=2.53200-（1202.5360）=234.2

E（A2）=2.53^200—（40+2.53x100）=213

薂

E（A3）=2.53200-（642.5380）-239.6

E（AJ=2.53200-（2002.5340）=204.8

蝇•A为最优方案，即租用设备。

螆7.某书店希望订购最新出版的好书，根据以往的经验，新书销售量规律如下:

羂

莂需求量

（本）

薆50

袅100

蒁150

螈200

蚈概率

羃20%

袁40%

蕿30%

虿10%

莆假定每本新书的订购价为4元，销售价为6元，剩书的处理价为2元，试确定该书店订购新书的数量。

薄解：

分析：

当订货量大于需求量时，则多出的每本处理后亏损

的时候，则卖出去一本就可以获利2元。

2元；当订货量小于需求量

艿针对不同的需求量和订货量的收益表如下：

蒄

求

丁需

100

150

200

羄量'

肀

益

y收

概率

0.2

0.4

0.3

0.1

100

200

150

-100

100

300

200

-200

200

400

Ey1=1000.21000.41000.31000.仁100

Ey2=00.22000.42000.32000.1=160

Ey3=-1000.21000.43000.33000.1=140

Ey4二-2000.200.42000.34000.1二60

故订100本较合理。

8.若连续型随机变量X的概率是

込'ax2+bx+c（0ex"

®（x）

卫（其他）

已知EX=0.5,DX=0.15，求系数a,b,c。

解：

住（x）dx=1

J-be.

丨［x©（x）dx=0.5

-HD

-.x2%x）dx=DF（E-）2=0.4

解方程组得：

a=12b--12c=3

9.五件商品中有两件次品，从中任取三件。

设E为取到的次品数，求

数学期望和方差。

E的分布律、

解：

E的分布律为

012

1/106/103/10

EE=1.2;DE=0.36

10.某次抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩72分，96分的以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60至84分之间的

概率。

解：

X~N（72,二）

不96—72壬24

P（X）=1-门0（）=0.023=2.3%s

acr

2424

即：

/o（）二°・977,2_：

「-12

acr

.X~N（72,122）

不84—72不60—72不不

P（60乞X<84H:

：

Jo（）一「。

（）「：

」0

（1）-讥（一1）=0.682

1212

11.假设一电路有3个不同种电气元件，其工作状态相互独立，且无故障工作时间都服从参数为■■■■■>0的指数分布，当三包元件都无故障时，电路正常工作，否则整个电路不能正常工作，试求电路正常工作的时间的概率分布。

12.

设G（t）是T的分布函数。

当t<0时，G（t）=0

当t—0时，G（t）二P「T空t?

=1-PXt,X2t,X3t?

=1-P*Xt?

P〈X2tB〈X3

-[P（Xt）]3

-[1-F（t）]3

1-[1-（1-厂"）]3

=1_（e」）3二……

G（t）二

0,（「0）

.T服从参数为3■的指数分布

2218

C0.120.9

01=53.1%

1-C0O.10O.920-C10.9190.1

2020

14.某公司作信件广告，依以往经验每送出100封可收到一家定货。

兹就80个城市中

的每一城市发出

200封信。

求

（1）无一家定货的城市数；

（2）有三家定货的城市数。

解：

设发出

200封信后有E家定货，则Esb（200,0.01）

E近似服从参数为

■二np=2的泊松分布

（1）无一家定货的城市数为800.1353=10.82

（2）有三家定货的城市数为800.1804=14.43

15.某企业准备通过考试招收300名职工，其中招正式工280人、临时工20人，

报考人数为1657人，考试满分是400分。

考后得知，考试平均成绩为166分，在360

分以上的高分考生有31人。

求：

（1）为录取到300人，录取分数线应设定到多少？

（2）某考生的分数为256分，他能否被录取为正式工？

（设成绩服从正态分布,门0（0.97）：

0.835，:

」0（0.91）：

0.819，:

^（2.08）：

0.981）

解:

（1）

X~N（166,二）

P（X360）1-P（X<360）1->0（360~166）:

生

◎1657

/194-194

=门0）=0.9812.08=-93.3

ffCF

X~N（166,93.32）

300a-166a-166、

P（Xa）10）=0.181=G0）=0.819

165793.393.3

a-166

0.91二a=250.9

93.3

因此，分数线应定在250.9分。

（2）

故该考生能被录为正式工。

仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途

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Nurfurdenpers?

nlichenfurStudien,Forschung,zukommerziellenZweckenverwendetwerden.

Pourl'etudeetlarechercheu

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