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《传感器与传感器技术》计算题

解题指导（供参考）

第1章传感器的一般特性

1-5某传感器给定精度为2%F·S，满度值为50mV，零位值为10mV，求可能出现的最大误差d（以mV计）。

当传感器使用在满量程的1/2和1/8时，计算可能产生的测量百分误差。

由你的计算结果能得出什么结论?

解：

满量程（F•S）为50~10=40（mV）

可能出现的最大误差为：

Dm＝40´2%=0.8（mV）

当使用在1/2和1/8满量程时，其测量相对误差分别为：

1-6有两个传感器测量系统，其动态特性可以分别用下面两个微分方程描述，试求这两个系统的时间常数t和静态灵敏度K。

（1）

式中，y为输出电压，V；T为输入温度，℃。

（2）

式中，y——输出电压，mV；x——输入压力，Pa。

解：

根据题给传感器微分方程，得

（1）τ=30/3=10（s），

K=1.5´10-5/3=0.5´10-5（V/℃）；

（2）τ=1.4/4.2=1/3（s），

K=9.6/4.2=2.29（mV/Pa）。

1-7设用一个时间常数t=0.1s的一阶传感器检测系统测量输入为x（t）=sin4t+0.2sin40t的信号，试求其输出y（t）的表达式。

设静态灵敏度K=1。

解根据叠加性，输出y（t）为x1（t）=sin4t和x2（t）=0.2sin40t单独作用时响应y1（t）和y2（t）的叠加，即y（t）=y1（t）+y2（t）。

由频率响应特性：

所以

y（t）=y1（t）+y2（t）=0.93sin（4t-21.8°）+0.049sin（40t-75.96°）

1-8试分析传感器系统的频率响应特性。

解传感器系统的时间常数t=A/B，灵敏度K=C/B。

所以，其频率响应为

相频特性为

1-9已知一热电偶的时间常数t=10s，如果用它来测量一台炉子的温度，炉内温度在540℃至500℃之间接近正弦曲线波动，周期为80s，静态灵敏度K=1。

试求该热电偶输出的最大值和最小值。

以及输入与输出之间的相位差和滞后时间。

解：

依题意，炉内温度变化规律可表示为

x（t）=520+20sin（wt）℃

由周期T=80s，则温度变化频率f=1/T，其相应的圆频率w=2pf=2p/80=p/40；

温度传感器（热电偶）对炉内温度的响应y（t）为

y（t）=520+Bsin（wt+j）℃

热电偶为一阶传感器，其响应的幅频特性为

因此，热电偶输出信号波动幅值为

B=20A（w）=200.786=15.7℃

由此可得输出温度的最大值和最小值分别为

y（t）|=520+B=520+15.7=535.7℃

y（t）|=520﹣B=520-15.7=504.3℃

输出信号的相位差j为

j（ω）=-arctan（ω）=-arctan（2p/80´10）=-38.2°

相应的时间滞后为

Dt=

1-10一压电式加速度传感器的动态特性可以用如下的微分方程来描述，即

式中，y为输出电荷量，pC；x为输入加速度，m/s2。

试求其固有振荡频率wn和阻尼比z。

解:

由题给微分方程可得

1-11某压力传感器的校准数据如表1-5所示，试分别用端点连线法和最小二乘法求非线性误差，并计算迟滞和重复性误差；写出端点连线法和最小二乘法拟合直线方程。

（最小二乘法线性拟合原理和方法见末尾附录）

表1-5校准数据表

压力

（MPa）

输出值（mV）

第一次循环

第二次循环

第三次循环

正行程

反行程

正行程

反行程

正行程

反行程

-2.73

-2.71

-2.68

-2.69

0.02

0.56

0.66

0.61

0.68

0.64

0.69

0.04

3.96

4.06

3.99

4.09

4.03

4.11

0.06

7.40

7.49

7.43

7.53

7.45

7.52

0.08

10.88

10.95

10.89

10.93

10.94

10.99

0.10

14.42

14.47

14.46

解校验数据处理（求校验平均值）：

压力

（MPa）

（设为x）

输出值（mV）

第一次循环

第二次循环

第三次循环

校验平均值

（设为y）

正行程

反行程

正行程

反行程

正行程

反行程

-2.73

-2.71

-2.68

-2.69

-2.70

0.02

0.56

0.66

0.61

0.68

0.64

0.69

0.64

0.04

3.96

4.06

3.99

4.09

4.03

4.11

4.04

0.06

7.40

7.49

7.43

7.53

7.45

7.52

7.47

0.08

10.88

10.95

10.89

10.93

10.94

10.99

10.93

0.10

14.42

14.47

14.46

14.45

（1）端点连线法

设直线方程为

y=a0+kx，

取端点（x1，y1）=（0，-2.70）和（x6，y6）=（0.10，14.45）。

则a0由x=0时的y0值确定，即

a0=y0-kx=y1=-2.70（mV）

k由直线的斜率确定，即

（mV/MPa）

拟合直线方程为

y=-2.70+171.5x

¨求非线性误差：

压力

（MPa）

校验平均值

（mV）

直线拟合值

（mV）

非线性误差

（mV）

最大非线性误差

（mV）

-2.70

-0.12

0.02

0.64

0.73

-0.09

0.04

4.04

4.16

-0.12

0.06

7.47

7.59

-0.12

0.08

10.93

11.02

-0.09

0.10

14.45

所以，压力传感器的非线性误差为

¨求重复性误差：

压力

（MPa）

输出值（mV）

正行程

反行程

不重复误差

-2.73

-2.71

-2.68

0.05

-2.71

-2.68

-2.69

0.03

0.02

0.56

0.61

0.64

0.08

0.66

0.68

0.69

0.03

0.04

3.96

3.99

4.03

0.07

4.06

4.09

4.11

0.05

0.06

7.40

7.43

7.45

0.05

7.49

7.53

7.52

0.04

0.08

10.88

10.89

10.94

0.06

10.95

10.93

10.99

0.04

0.10

14.42

14.47

14.46

0.05

14.42

14.47

14.46

0.05

最大不重复误差为0.08mV，则重复性误差为

¨求迟滞误差：

压力

（MPa）

输出值（mV）

第一次循环

第二次循环

第三次循环

正行程

反行程

迟滞

正行程

反行程

迟滞

正行程

反行程

迟滞

-2.73

-2.71

0.02

-2.71

-2.68

0.03

-2.68

-2.69

0.01

0.02

0.56

0.66

0.10

0.61

0.68

0.07

0.64

0.69

0.05

0.04

3.96

4.06

0.10

3.99

4.09

0.10

4.03

4.11

0.08

0.06

7.40

7.49

0.09

7.43

7.53

0.10

7.45

7.52

0.07

0.08

10.88

10.95

0.07

10.89

10.93

0.04

10.94

10.99

0.05

0.10

14.42

14.47

0.0

14.46

0.0

最大迟滞为0.10mV，所以迟滞误差为

（2）最小二乘法

设直线方程为

y=a0+kx

数据处理如下表所示。

序号

∑

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.3

-2.70

0.64

4.04

7.47

10.93

14.45

34.83

0.0004

0.0016

0.0036

0.0064

0.01

0.022

0.0128

0.1616

0.4482

0.8744

1.445

2.942

根据以上处理数据，可得直线方程系数分别为：

所以，最小二乘法线性回归方程为

y=-2.77+171.5x

求非线性误差：

压力

（MPa）

校验平均值

（mV）

直线拟合值

（mV）

非线性误差

（mV）

最大非线性误差

（mV）

-2.70

-2.77

0.07

-0.07

0.02

0.64

0.66

-0.02

0.04

4.04

4.09

-0.05

0.06

7.47

7.52

-0.05

0.08

10.93

10.95

-0.02

0.10

14.45

14.38

0.07

所以，压力传感器的非线性误差为

可见，最小二乘法拟合直线比端点法拟合直线的非线性误差小，所以最小二乘法拟合更合理。

重复性误差dR和迟滞误差dH是一致的。

1-12用一个一阶传感器系统测量100Hz的正弦信号时，如幅值误差限制在5%以内，则其时间常数应取多少?

若用该系统测试50Hz的正弦信号，问此时的幅值误差和相位差为多？

解:

根据题意

（取等号计算）

解出

ωτ=0.3287

所以

=0.523ms

当用该系统测试50Hz的正弦信号时，其幅值误差为

相位差为

j=﹣arctan（wt）=﹣arctan（2π×50×0.523×10-3）=﹣9.3°

1-13一只二阶力传感器系统，已知其固有频率f0=800Hz，阻尼比z=0.14，现用它作工作频率f=400Hz的正弦变化的外力测试时，其幅值比A（w）和相位角j（w）各为多少；若该传感器的阻尼比z=0.7时，其A（w）和j（w）又将如何变化?

解:

所以，当ξ=0.14时

当ξ=0.7时

1-14用一只时间常数t=0.318s的一阶传感器去测量周期分别为1s、2s和3s的正弦信号，问幅值相对误差为多少?

解：

由一阶传感器的动态误差公式

t=0.318s

1-15已知某二阶传感器系统的固有频率f0=10kHz，阻尼比z=0.1，若要求传感器的输出幅值误差小于3%，试确定该传感器的工作频率范围。

解：

由f0=10kHz，根据二阶传感器误差公式，有

将z=0.1代入，整理得

1-16设有两只力传感器均可作为二阶系统来处理，其固有振荡频率分别为800Hz和1.2kHz，阻尼比均为0.4。

今欲测量频率为400Hz正弦变化的外力，应选用哪一只?

并计算将产生多少幅度相对误差和相位差。

解：

由题意知

则其动态误差

=7.76%

相位差

=-0.29（rad）=-16.6°

第2章电阻应变式传感器

2-5一应变片的电阻R0=120Ω，K=2.05，用作应变为800µm/m的传感元件。

（1）求DR与DR/R；

（2）若电源电压Ui=3V，求其惠斯通测量电桥的非平衡输出电压Uo。

解：

由K=，得

则

ΔR=1.64×10-3×R=1.64×10-3×120Ω=0.197Ω

其输出电压为

=1.23（mV）

2-6一试件的轴向应变εx=0.0015，表示多大的微应变（µε）？

该试件的轴向相对伸长率为百分之几?

解：

εx=0.0015=1500×10-6=1500（mε）

由于

εx=Δl/l

所以

Δl/l=εx=0.0015=0.15%

2-7假设惠斯通直流电桥的桥臂1是一个120W的金属电阻应变片（K=2.00，检测用），桥臂1的相邻桥臂3是用于补偿的同型号批次的应变片，桥臂2和桥臂4是120W的固定电阻。

流过应变片的最大电流为30mA。

（1）画出该电桥电路，并计算最大直流供桥电压。

（2）若检测应变片粘贴在钢梁（弹性模量E=2.1´1011N/m2）上，而电桥由5V电源供电，试问当外加负荷s=70kg/cm2时，电桥的输出电压是多少？

（3）假定校准电阻与桥臂1上未加负荷的应变片并联，试计算为了产生与钢梁加载相同输出电压所需的校准电阻值。

解

（1）电桥电路如图所示；最大供桥电压

Uim=30mA´（120+120）W=7200mV=7.2V

（2）s=70kg/cm2=686N/cm2=6.86´106N/m2，则

e=s/E=6.86´106/2.1´1011=3.27´10-5=32.7（me）

电桥输出为

（3）为了使输出电压相同，只要应变e对应的电阻变化相同即可（这里取负应变对应电阻减少输出相同负电压）。

解题2-7图

应变e对应的电阻变化为

DR=6.54´10-5R1=6.54´10-5´120=7.85´10-3W

并联电阻RP

RP//R1=120-7.85´10-3=119.99215（W）

RP=1834.275kW»1834kW

2-8如果将120Ω的应变片贴在柱形弹性试件上，该试件的截面积S=0.5×10-4m2，材料弹性模量E=2×101lN/m2。

若由5×104N的拉力引起应变片电阻变化为1.2Ω，求该应变片的灵敏系数K。

解：

应变片电阻的相对变化为

柱形弹性试件的应变为

应变片的灵敏系数为

2-10以阻值R=120Ω，灵敏系数K=2.0的电阻应变片与阻值120Ω的固定电阻组成电桥，供桥电压为3V，并假定负载电阻为无穷大，当应变片的应变为2µε和2000µε时，分别求出单臂、双臂差动电桥的输出电压，并比较两种情况下的灵敏度。

解：

依题意

单臂：

差动：

灵敏度：

可见，差动工作时，传感器及其测量的灵敏度加倍。

2-11在材料为钢的实心圆柱试件上，沿轴线和圆周方向各贴一片电阻为120Ω的金属应变片R1和R2，把这两应变片接人差动电桥（参看习题图2-11）。

若钢的泊松比µ=0.285，应变片的灵敏系数K=2，电桥的电源电压Ui=2V，当试件受轴向拉伸时，测得应变片R1的电阻变化值DR=0.48Ω，试求电桥的输出电压Uo；若柱体直径d=10mm，材料的弹性模量E=2×1011N/m2，求其所受拉力大小。

习题图2-11差动电桥电路

解：

由DR1/R1=Ke1，则

e2=-me1=-0.285´0.002=-0.00057

所以电桥输出电压为

当柱体直径d=10mm时，由，得

2-12若用一R=350W的应变片（K=2.1）粘贴在铝支柱（支柱的外径D=50mm，内径d=47.5mm，弹性模量E=7.3´1011N/m2）上。

为了获得较大的输出信号，应变片应如何粘贴？

并计算当支柱承受1000kg负荷时应变片阻值的相应变化。

解应变片应沿支柱的轴向粘贴。

应变片阻值的相应变化为

DR=KeR=KRs/E=KR（F/S）/E

由于

S=p（D2-d2）/4=p（502-47.52）/4=191（mm2）=1.91´10-4m2

F=1000kg=9800N

所以

DR=2.1´350´[9800/（1.91´10-4）]/7.3´1011=0.52（W）

2-13一台采用等强度梁的电子称，在梁的上下两面各贴有两片电阻应变片，做成称重传感器，如习题图2-12所示。

已知l=10mm，b0=llmm，h=3mm，E=2.1×104N/mm2，K=2，接入直流四臂差动电桥，供桥电压6V，求其电压灵敏度（Ku=Uo/F）。

当称重0.5kg时，电桥的输出电压Uo为多大?

（a）（b）

习题图2-12悬臂粱式力传感器

解：

等强度梁受力F时的应变为

当上下各贴两片应变片，并接入四臂差动电桥中时，其输出电压：

则其电压灵敏度为

=3.463×10-3（V/N）=3.463（mV/N）

当称重F=0.5kg=0.5×9.8N=4.9N时，输出电压为

Uo=KuF=3.463×4.9=16.97（mV）

2-14现有基长为10mm与20mm的两种丝式应变片，欲测钢构件频率为10kHz的动态应力，若要求应变波幅测量的相对误差小于0.5％，试问应选用哪一种?

为什么?

解：

l=v/f=5000/（10´103）=0.5（m）

l0=10mm时

l0=20mm时

由此可见，应选用基长l0=10mm的应变片.

2-15有四个性能完全相同的应变片（K=2.0），将其贴在习题图2-14所示的压力传感器圆板形感压膜片上。

已知膜片的半径R=20mm，厚度h=0.3mm，材料的泊松比µ=0.285，弹性模量E=2.0×1011N/m2。

现将四个应变片组成全桥测量电路，供桥电压Ui=6V。

求：

（1）确定应变片在感压膜片上的位置，并画出位置示意图；

（2）画出相应的全桥测量电路图；

（3）当被测压力为0.1MPa时，求各应变片的应变值及测量桥路输出电压U0；

（4）该压力传感器是否具有温度补偿作用?

为什么?

（5）桥路输出电压与被测压力之间是否存在线性关系?

习题图2-14膜片式压力传感器

解：

（1）四个应变片中，R2、R3粘贴在圆形感压膜片的中心且沿切向；R1、R4粘贴在圆形感压膜片之外沿径向，并使其粘贴处的应变εr与中心切向应变εtmax相等。

如下图（a）所示。

（2）测量电桥电路如上图（b）所示。

（a）应变片粘贴示意图（b）测量电桥电路

题解2-14图

（3）根据

（1）的粘贴方式，知

ε1=ε4=-εtmax=-0.7656×10-3

则测量桥路的输出电压为

（4）具有温度补偿作用；

（5）输出电压与被测力之间存在线性关系，因此，由（3）知

2-18线绕电位器式传感器线圈电阻为10KΩ，电刷最大行程4mm，若允许最大消耗功率为40mW，传感器所用激励电压为允许的最大激励电压。

试求当输入位移量为1.2mm时，输出电压是多少?

解：

最大激励电压

当线位移x=1.2mm时，其输出电压

2-19一测量线位移的电位器式传感器，测量范围为0~10mm，分辨力为0.05mm，灵敏度为2.7V/mm，电位器绕线骨架外径d=5mm，电阻丝材料为铂铱合金，其电阻率为ρ=3.25×10-4Ω·mm。

当负载电阻RL=10kΩ时，求传感器的最大负载误差。

解：

由题知，电位器的导线匝数为

N=10/0.05=200

则导线长度为

l=Npd=200pd，（d为骨架外径）

电阻丝直径与其分辨力相当，即d丝=0.05mm

故电阻丝的电阻值

δLm≈15m%=15×0.052%=0.78%

第3章电感式传感器

3-15某差动螺管式电感传感器（参见习题图3-15）的结构参数为单个线圈匝数W=800匝，l=10mm，lc=6mm，r=5mm，rc=1mm，设实际应用中铁芯的相对磁导率µr=3000，试求：

（1）在平衡状态下单个线圈的电感量L0=?

及其电感灵敏度足KL=?

（2）若将其接人变压器电桥，电源频率为1000Hz，电压E=1.8V，设电感线圈有效电阻可忽略，求该传感器灵敏度K。

（3）若要控制理论线性度在1％以内，最大量程为多少?

解：

（1）根椐螺管式电感传感器电感量计算公式，得习题图3-15差动螺管式电感传感器

差动工作灵敏度：

（2）当f=1000Hz时，单线圈的感抗为

XL=ωL0=2πfL0=2π×1000×0.46=2890（Ω）

显然XL>线圈电阻R0，则输出电压为

测量电路的电压灵敏度为

而线圈差动时的电感灵敏度为KL=151.6mH/mm，则该螺管式电感传感器及其测量电路的总灵敏度为

=297.1mV/mm

3-16有一只差动电感位移传感器，已知电源电Usr=4V，f=400Hz，传感器线圈铜电阻与电感量分别为R=40Ω，L=30mH，用两只匹配电阻设计成四臂等阻抗电桥，如习题图3-16所示，试求：

（1）匹配电阻R3和R4的值；

（2）当△Z=10时，分别接成单臂和差动电桥后的输出电压值；

（3）用相量图表明输出电压与输入电压之间的相位差。

习题图3-16

解：

（1）线圈感抗

XL=wL=2pfL=2p´400´30´10-3=75.4（W）

线圈的阻抗

故其电桥的匹配电阻（见习题图3-16）

R3=R4=Z=85.4（W）

（2）当ΔZ=10W时，电桥的输出电压分别为

单臂工作：

双臂差动工作：

（3）

3-17如习题图3-17所示气隙型电感传感器，衔铁截面积S=4×4mm2，气隙总长度δ=0.8mm，衔铁最大位移△δ=±0.08mm，激励线圈匝数W=2500匝，导线直径d=0.06mm，电阻率ρ=1.75×10

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