经济数学.pptx

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经济数学,第四章不定积分,4.1不定积分的概念与性质,4.2不定积分的性质,4.3不定积分的换元积分法,4.4不定积分的分部积分法,4.1不定积分的概念4.1.1原函数已知某商品总收入的变化率为，求总收入函数这是与求导数相反的问题,定义4.1设是定义在某区间的已知函数，若存在，使得则称为的一个原函数,因为，所以是的一个原函数，但，所以的原函数不是唯一的,说明：

1原函数的存在问题：

如果在某区间连续，那么它的原函数一定存在（将在下一章证明）.2若存在原函数，则原函数不是唯一。

定理4.1若是的一个原函数，则是的所有原函数，其中为任意常数,证:

由于又所以函数族中的每一个都是的原函数,二、不定积分定义4.2函数的全体原函数叫做的不定积分,记为其中“”叫做积分号，叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积表达式由定理4.1知，若是的一个原函数,则其中任意常数称为积分常数,例1求不定积分解例2求不定积分解时，又时，,函数f（x）的原函数图形称为f（x）的积分曲线,不定积分表示的不是一个原函数,而是无穷多个（全部）原函数,通常说成一族函数,反映在几何上则是一族曲线,这族曲线称为f（x）的积分曲线族.,4.1.4.不定积分的几何意义,在相同的横坐标处,所有积分曲线的斜率均为k,因此,在每一条积分曲线上,以x为横坐标的点处的切线彼此平行（如图）.f（x）为积分曲线在（x,f（x）处的切线斜率.,因此所求曲线的方程为,解设所求的曲线方程为,依题意可知,把（2，3）代入上述方程，得C=1,4.2.1不定积分的性质,性质1被积函数中不为零的常数因子可以移到积分号的前面.,性质2可以推广到有限多个函数的情形，即,性质2两个函数的和（或差）的不定积分等于各函数不定积分的和（或差），即,4.2.2不定积分的基本积分公式,例1计算下列积分,解,例2计算下列积分,解

（1）,

（2）,4.3.1第一类换元法,例,原因在于被积函数cos2x与公式中的被积函数不一样.如果令u=2x，则cos2x=cosu，du=2dx，从而,所以有,4.3换元积分法,综合上述分析，此题的正确解法如下：

解,于是类似于例1，可作如下变换与计算：

例2求不定积分,分析注意到被积式中含有项，而余下的部分恰有微分关系：

同样可验证计算结果是正确的,一般，我们有如下的换元积分法:

定理4.1若是的一个原函数，则,证明:

令，根据复合函数的微分法，得因此，由不定积分的定义就得到了定理中的公式,利用第一换元积分法（也叫凑微分法）计算积分的一般程序为：

解被积函数中的一个因子为余下的因子恰好是中间变量的导数，于是有,例3求不定积分,例4求,解,例5求,类似地，有,解,例6求不定积分,解设，则于是,说明：

在对变量代换发方法熟悉后，可略去中间的换元步骤，直接凑微分后积分即可,例7求不定积分,解,例8求不定积分,解,例9求不定积分,解,一些常用的微分式：

第一换元积分法是选择新的积分变量，但对有些被积函数则需要作相反方式的换元，即令，把作为新的积分变量，才能积出来即,这种方法叫做第二换元积分法,4.3.2第二换元积分法,使用第二换元积分法的关键是恰当地选择变换对于，要求其单调、可导，且其反函数存在,例1求不定积分,则代入后，得,解为消去根式，令即,可以看出：

若被积函数中含有一个被开方式为一次式的根式时，令，可以消去根式，从而求得积分若被积函数含有被开方式为二次式的根式时，可使用三角代换消去根式,一般地，当被积函数含有

（1），可作代换；

（2），可作代换；（3），可作代换,例2求不定积分,令于是,解,由得及,所以,直角三角形法,例3求不定积分,解令则,由得，,于是,故,直角三角形法,补充的积分公式：

证明:

由公式,4.4分部积分法,分部积分公式也可写成:

得,对上式两边积分,并应用不定积分的性质3及性质2,即得分部积分公式,

（1）要从中容易求得；

（2）要比容易积出,例求不定积分,例2求不定积分,解:

例3求不定积分,解:

解:

例4求不定积分,解:

注意:

该例表明，有时要多次使用分部积分法，才能求出积分结果,将再次出现的移到左端，并合并后除,例5求不定积分,解:

以2,得所求积分为,例5的求解，用两次分部积分后出现了“循环现象”，这时所求积分可用解方程的方法求得,总结：

下述几种类型的积分，均可用分部积分法求解，且、的设法有规律可循

（1）（其中、为常数，且为自然数）,可设

（2）,（为自然数）可设；,解：

令，则因此,例6求不定积分,4.5微分方程初步,常微分方程：

未知函数是一元函数的微分方程偏微分方程：

未知函数是多元函数的微分方程,一阶微分方程的一般形式是,二阶微分方程的一般形式是,注：

在微分方程中，未知函数及自变量可以不出现,例：

我们在学习不定积分时就已经知道，一个导数的原函数有无穷多个，因此一个微分方程也有无穷多个解,4.5.2可分离变量的微分方程,即上述方程可以表为,（4.5.3）,可验证，此结果即用隐式给出的方程（4.5.3）的通解,例1求微分方程,解移项、积分,得,解分离变量，得,两边积分，得通解,两端积分，得,即,故所求特解为,4.5.3一阶线性微分方程,特征,（4.5.3）式称为一阶线性非齐次方程,下面介绍利用参数变易法求方程（4.5.4）的通解,（4.5.4）是变量可分离的方程，容易求得它的通解,即,于是,把它们代入方程（4.5.3），得,一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下：

（i）求对应于（4.5.3）的齐次方程（4.5.4）的通解,即为所求（4.5.3）的通解,解,代入公式,则所求的通解为,代入一阶线性非齐次方程的通解公式，有,即所求通解为,