年湖南岳阳中考数学试卷附答案.doc
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2016年湖南省岳阳市中考数学试卷
一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分）
1．下列各数中为无理数的是（ ）
A．﹣1 B．3.14 C．π D．0
2．下列运算结果正确的是（ ）
A．a2+a3=a5 B．（a2）3=a6 C．a2•a3=a6 D．3a﹣2a=1
3．函数y=中自变量x的取值范围是（ ）
A．x≥0 B．x＞4 C．x＜4 D．x≥4
4．某小学校足球队22名队员年龄情况如下：
年龄（岁）
12
11
10
9
人数
4
10
6
2
则这个队队员年龄的众数和中位数分别是（ ）
A．11，10 B．11，11 C．10，9 D．10，11
5．如图是某几何体的三视图，则该几何体可能是（ ）
A．圆柱 B．圆锥 C．球 D．长方体
6．下列长度的三根小木棒能构成三角形的是（ ）
A．2cm，3cm，5cm B．7cm，4cm，2cm C．3cm，4cm，8cm D．3cm，3cm，4cm
7．下列说法错误的是（ ）
A．角平分线上的点到角的两边的距离相等
B．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
C．菱形的对角线相等
D．平行四边形是中心对称图形
8．对于实数a，b，我们定义符号max{a，b}的意义为：
当a≥b时，max{a，b}=a；当a＜b时，max{a，b]=b；如：
max{4，﹣2}=4，max{3，3}=3，若关于x的函数为y=max{x+3，﹣x+1}，则该函数的最小值是（ ）
A．0 B．2 C．3 D．4
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是 ．
10．因式分解：
6x2﹣3x= ．
11．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 cm．
12．为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产业园，预计2016年建好主体工程，将124000万元用科学记数法表示为 元．
13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD= 度．
14．如图，一山坡的坡度为i=1：
，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了 米．
15．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：
P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为 ．
三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）
17．计算：
（）﹣1﹣+2tan60°﹣（2﹣）0．
18．已知：
如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：
BF=CD．
19．已知不等式组
（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．
20．我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．
21．某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题：
AQI指数
质量等级
天数（天）
0﹣50
优
m
51﹣100
良
44
101﹣150
轻度污染
n
151﹣200
中度污染
4
201﹣300
重度污染
2
300以上
严重污染
2
（1）统计表中m= ，n= ．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占 %；
（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？
（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议．
22．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：
方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．
23．数学活动﹣旋转变换
（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
（Ⅰ）猜想：
直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；[来源:
学科网ZXXK]
（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：
角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）[来源:
Z.xx.k.Com]
24．如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．
（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式；
（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC，记S=S四边形MAOC﹣S△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值；
（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与
（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2016年湖南省岳阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题8道小题，每小题3分，满分24分）
1．C2．B．3．D．4．B．5．A．6．D． 7．C．8．B
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分）
9．如图所示，数轴上点A所表示的数的相反数是 2 ．
10．因式分解：
6x2﹣3x= 3x（2x﹣1） ．
11．在半径为6cm的圆中，120°的圆心角所对的弧长为 4π cm．
12．为加快“一极三宜”江湖名城建设，总投资124000万元的岳阳三荷机场及交通产业园，预计2016年建好主体工程，将124000万元用科学记数法表示为 1.24×109 元．
13．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，已知∠BCD=110°，则∠BAD= 70 度．
14．如图，一山坡的坡度为i=1：
，小辰从山脚A出发，沿山坡向上走了200米到达点B，则小辰上升了 100 米．
15．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数y=（x＞0）的图象交于A、B两点，利用函数图象直接写出不等式＜kx+b的解集是 1＜x＜4 ．
16．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长，P1，P2，P3，…，均在格点上，其顺序按图中“→”方向排列，如：
P1（0，0），P2（0，1），P3（1，1），P4（1，﹣1），P5（﹣1，﹣1），P6（﹣1，2）…根据这个规律，点P2016的坐标为 P2016 ．
三、解答题（本大题共8道小题，满分64分）
17．计算：
（）﹣1﹣+2tan60°﹣（2﹣）0．
解：
原式=3﹣2+2﹣1
=2．
18．已知：
如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，点F在边BC上，且BE=CF，EF⊥DF，求证：
BF=CD．
证明：
∵四边形ABCD是矩形，[来源:
Zxxk.Com]
∴∠B=∠C=90°，
∵EF⊥DF，
∴∠EFD=90°，
∴∠EFB+∠CFD=90°，
∵∠EFB+∠BEF=90°，
∴∠BEF=∠CFD，
在△BEF和△CFD中，
，
∴△BEF≌△CFD（ASA），
∴BF=CD．
19．已知不等式组
（1）求不等式组的解集，并写出它的所有整数解；
（2）在不等式组的所有整数解中任取两个不同的整数相乘，请用画树状图或列表的方法求积为正数的概率．
解：
（1）由①得：
x＞﹣2，
由②得：
x≤2，
∴不等式组的解集为：
﹣2＜x≤2，
∴它的所有整数解为：
﹣1，0，1，2；
（2）画树状图得：
∵共有12种等可能的结果，积为正数的有2种情况，
∴积为正数的概率为：
=．
20．我市某学校开展“远是君山，磨砺意志，保护江豚，爱鸟护鸟”为主题的远足活动．已知学校与君山岛相距24千米，远足服务人员骑自行车，学生步行，服务人员骑自行车的平均速度是学生步行平均速度的2.5倍，服务人员与学生同时从学校出发，到达君山岛时，服务人员所花时间比学生少用了3.6小时，求学生步行的平均速度是多少千米/小时．
解：
设学生步行的平均速度是每小时x千米．[来源:
学科网]
服务人员骑自行车的平均速度是每小时2.5x千米，
根据题意：
﹣=3.6，
解得：
x=3，
经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意．
答：
学生步行的平均速度是每小时3千米．
21．某学校环保志愿者协会对该市城区的空气质量进行调查，从全年365天中随机抽取了80天的空气质量指数（AQI）数据，绘制出三幅不完整的统计图表．请根据图表中提供的信息解答下列问题：
AQI指数
质量等级
天数（天）[来源:
Z|xx|k.Com]
0﹣50
优
m
51﹣100
良
44
101﹣150
轻度污染
n
151﹣200
中度污染
4
201﹣300
重度污染
2
300以上
严重污染
2
（1）统计表中m= 20 ，n= 8 ．扇形统计图中，空气质量等级为“良”的天数占 55 %；
（2）补全条形统计图，并通过计算估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共多少天？
（3）据调查，严重污染的2天发生在春节期间，燃放烟花爆竹成为空气污染的一个重要原因，据此，请你提出一条合理化建议．
解：
（1）∵m=80×25%=20，n=80﹣20﹣44﹣4﹣2﹣2=8，
∴空气质量等级为“良”的天数占：
×100%=55%．
故答案为：
20，8，55；
（2）估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共：
365×（25%+55%）=292（天），
答：
估计该市城区全年空气质量等级为“优”和“良”的天数共292天；
补全统计图：
（3）建议不要燃放烟花爆竹．
22．已知关于x的方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
（1）求证：
方程总有两个不相等的实数根；
（2）已知方程的一个根为x=0，求代数式（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5的值（要求先化简再求值）．
解：
（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m（m+1）=0．
∴△=（2m+1）2﹣4m（m+1）=1＞0，
∴方程总有两个不相等的实数根；
（2）∵x=0是此方程的一个根，
∴把x=0代入方程中得到m（m+1）=0，
∴m=0或m=﹣1，
把m=0或m=﹣1代入（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=4m2﹣4m+1+9﹣m2+7m﹣5=3m2+3m+5，
可得：
（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=5，或（2m﹣1）2+（3+m）（3﹣m）+7m﹣5=3﹣3+5=5．
23．数学活动﹣旋转变换
（1）如图①，在△ABC中，∠ABC=130°，将△ABC绕点C逆时针旋转50°得到△A′B′C，连接BB′，求∠A′B′B的大小；
（2）如图②，在△ABC中，∠ABC=150°，AB=3，BC=5，将△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△A′B′C，连接BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆．
（Ⅰ）猜想：
直线BB′与⊙A′的位置关系，并证明你的结论；
（Ⅱ）连接A′B，求线段A′B的长度；
（3）如图③，在△ABC中，∠ABC=α（90°＜α＜180°），AB=m，BC=n，将△ABC绕点C逆时针旋转2β角度（0°＜2β＜180°）得到△A′B′C，连接A′B和BB′，以A′为圆心，A′B′长为半径作圆，问：
角α与角β满足什么条件时，直线BB′与⊙A′相切，请说明理由，并求此条件下线段A′B的长度（结果用角α或角β的三角函数及字母m、n所组成的式子表示）
解；
（1）如图①中，∵△A′B′C是由△ABC旋转得到，
∴∠A′B′C=∠ABC=130°，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=50°，
∴∠CBB′=∠CB′B=65°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=65°．
（2）（Ⅰ）结论：
直线BB′、是⊙A′的切线．
理由：
如图②中，∵∠A′B′C=∠ABC=150°，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=60°，
∴∠CBB′=∠CB′B=60°，
∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=90°．
∴AB′⊥BB′，
∴直线BB′、是⊙A′的切线．
（Ⅱ）∵在RT△ABB′中，∵∠AB′B=90°，BB′=BC=5，AB′=AB=3，
∴A′B==．
（3）如图③中，当α+β=180°时，直线BB′、是⊙A′的切线．
理由：
∵∠A′B′C=∠ABC=α，CB=CB′，
∴∠CBB′=∠CB′B，∵∠BCB′=2β，
∴∠CBB′=∠CB′B=，
∴∠A′B′B=∠A′B′C﹣∠BB′C=α﹣90°+β=180°﹣90°=90°．
∴AB′⊥BB′，
∴直线BB′、是⊙A′的切线．
在△CBB′中∵CB=CB′=n，∠BCB′=2β，
∴BB′=2•nsinβ，
在RT△A′BB′中，A′B==．
24．如图①，直线y=x+4交于x轴于点A，交y轴于点C，过A、C两点的抛物线F1交x轴于另一点B（1，0）．
（1）求抛物线F1所表示的二次函数的表达式；
（2）若点M是抛物线F1位于第二象限图象上的一点，设四边形MAOC和△BOC的面积分别为S四边形MAOC和S△BOC，记S=S四边形MAOC﹣S△BOC，求S最大时点M的坐标及S的最大值；
（3）如图②，将抛物线F1沿y轴翻折并“复制”得到抛物线F2，点A、B与
（2）中所求的点M的对应点分别为A′、B′、M′，过点M′作M′E⊥x轴于点E，交直线A′C于点D，在x轴上是否存在点P，使得以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似？
若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
解：
（1）令y=0代入y=x+4，
∴x=﹣3，
A（﹣3，0），
令x=0，代入y=x+4，
∴y=4，
∴C（0，4），
设抛物线F1的解析式为：
y=a（x+3）（x﹣1），
把C（0，4）代入上式得，a=﹣，
∴y=﹣x2﹣x+4，
（2）如图①，设点M（a，﹣a2﹣a+4）
其中﹣3＜a＜0
∵B（1，0），C（0，4），
∴OB=1，OC=4
∴S△BOC=OB•OC=2，
过点M作MD⊥x轴于点D，
∴MD=﹣a2﹣a+4，AD=a+3，OD=﹣a，
∴S四边形MAOC=AD•MD+（MD+OC）•OD
=AD•MD+OD•MD+OD•OC
=+
=+
=×3（﹣a2﹣a+4）+×4×（﹣a）
=﹣2a2﹣6a+6
∴S=S四边形MAOC﹣S△BOC
=（﹣2a2﹣6a+6）﹣2
=﹣2a2﹣6a+4
=﹣2（a+）2+
∴当a=﹣时，
S有最大值，最大值为
此时，M（﹣，5）；
（3）如图②，由题意知：
M′（），B′（﹣1，0），A′（3，0）
∴AB′=2
设直线A′C的解析式为：
y=kx+b，
把A′（3，0）和C（0，4）代入y=kx+b，
得：
，
∴
∴y=﹣x+4，
令x=代入y=﹣x+4，
∴y=2
∴
由勾股定理分别可求得：
AC=5，DA′=
设P（m，0）
当m＜3时，
此时点P在A′的左边，
∴∠DA′P=∠CAB′，
当=时，△DA′P∽△CAB′，
此时，=（3﹣m），
解得：
m=2，
∴P（2，0）
当=时，△DA′P∽△B′AC，
此时，=（3﹣m）
m=﹣，
∴P（﹣，0）
当m＞3时，
此时，点P在A′右边，
由于∠CB′O≠∠DA′E，
∴∠AB′C≠∠DA′P
∴此情况，△DA′P与△B′AC不能相似，
综上所述，当以A′、D、P为顶点的三角形与△AB′C相似时，点P的坐标为（2，0）或（﹣，0）．
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