高中常见函数图像及基本性质02966.docx
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高中常见函数图像及基本性质02966
常见函数性质汇总及简单评议对称变换
常数函数f（x）=b（b€R）
1）、y=a和x=a的图像和走势
2）、图象及其性质：
函数f（x）的图象是平行于x轴或与x轴重合（垂直于y轴）的直线
一次函数f（x）=kx+b仆工0,b€R）
两种常用的一次函数形式：
斜截式一一
点斜式——
对斜截式而言，k、b的正负在直角坐标系中对应的图像走势:
|k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓
定义域:
R值域：
R
单调性：
当k>0时~；当k<0时
奇偶性：
当b=0时，函数f（x）为奇函数；当bz0时，函数f（x）没有奇偶性;反函数：
有反函数（特殊情况下:
K=±1并且b=0的时候）。
补充：
反函数定义：
一般地，如果谒咲于某种对应关系f⑴相竝y=f（x）-贝ijy=f（x）的反函数为戶X（讥
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的（不一定是整个数域内的〕
【反函数的性质】
<1）互为反M的两个函数的團象关于直线尸册称5
⑵馳存在反函数的充要条件島固数的定义域芍值城是一一映射j
<3）FMt与它的反国数在相应区间上单调'性一致,
<4）一般的傅酬一定不存在反圈数（但一种特殊的偶函数存在反函数仙⑴=a（x=0）它的反®数是r（>）=0（x=a^这杲一手懈特殊的醐I）,奇函数不一定存在反国数。
若一个奇国数存在反國数‘则它的反函数也罡奇函数。
例题：
定义在「吐的函数y=f（x）;y=g（x）都有反函数，且f（x-1）和g-1（x）函数的图像关于y=x对称，若
g（5）=2016,求f（4）=
周期性：
无
5）、一次函数与其它函数之间的练习
1、常用解题方法：
直线y=热工M^y=k2x+i>2（峪工。
）的位蓋关系
1>两直线平行Q&二心且$疋鬼
2）点关于直线（点）对称，求点的坐标
4>两直线垂直O昵=-1
2、与曲线函数的联合运用
k
反比例函数f（x）=k（kM0,k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远）
x
图象及其性质：
永不相交，渐趋平行；当k>0时，函数f（x）的图象分别在第一、第三
象限；当k<0时，函数f（x）的图象分别在第二、第四象限;双曲线型曲线，x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线；既是中心对成图形也是轴对称图形
4.在一个反比例函曲图第上任取购点PQ,过点P・Q分别花x抽.y轴的平存编与坐标轴围成的矩聃西积为SJ.睁则Sl=S2MK|
2、与曲线函数的联合运用（常考查有无交点、交点围城图行的面积）一一入手点常有两个一一⑴直接带入,利用二次函数判别式计算未知数的取值；⑵利用斜率，数形结合判断未知数取值（计算面积基本方法也基于此）
3、反函数变形（如右图）
1）、y=1/（x-2）和y=1/x-2的图像移动比较
2）、y=1/（-x）和y=-（1/x）图像移动比较
3）、f（x）=-ax一b（cm0且dm0）（补充一下分离常数）cxd
（对比标准反比例函数，总结各项内容）
二次函数
图象及其性质：
①图形为抛物线，对称轴为_，顶点坐标为_
2当a0时，开口向上，有最低点当a0时。
oooo
3当_=_>0时，函数图象与x轴有两个交点
（）；当<0时，函数图象与x轴有一个交点（）；当=0时，函数图象与x轴没有交点。
4f（x）ax2bxc（a0）斗关系#f（x）ax2（a0）
定义域:
R值域：
当a0时，值域为（）；当a0时，值域为（）
单调性：
当a0时；当a0时•奇偶性:
b=/工0
反函数：
定义域范围内无反函数，在单调区间内有反函数
周期性：
无
补充：
1、a的正/负；大/小与和函数图象的大致走向（所以，a决定二次函数的）
2、二次函敷解听大的确磁=
根蝎己知祭件璃定二冷産戯醉析武"逼常利用持走系數法-用待定弟埶法求二孜國蝕的岛斤式宓页很提幽自的将煖，选择适刍萌彤式，村能便解黜窗便、一绥来说.育如下ZL丰中怕况乂
1-总加拋物纷上三虽的坐栋n—般选用一段式*
2.巳MJ脳韧纹頫点或刈略谄型锻大（©_•—般选用顷由式］
a.已划拋物纱屿宝轴的円个交哥的笹性标，
1已肆拋悯綁I■级坐标柞im的两岚，：
电0用顶点武.
3、二次函数的对称问题：
关于x轴对称；关于y轴对称；关于原点对称；关于（m,n）对称
4、二次函数常见入题考法：
⑴交点（交点之间的距离）⑵值域、最值、极值、单调性⑶数形结合判断图形走
势（选择题）
指数函数
f（x）ax（a0,a1），系数只能为1。
图象及其性质：
1、恒过（0,1），无限靠近x轴；
1
2、f（x）ax与f（x）（―）xax关于y轴对称；但均不
a
具有奇偶性。
3、在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”——靠近关系
定义域:
R值域:
（0,）
奇偶性：
无
0,a1）周期性：
无
单调性：
当a0时；当a0时。
反函数：
对数函数f（x）logax（a
补充:
比较慕式大小的方法：
1.当底鸵相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；
2.当底数中含有字母时要注意分类i寸论i
3.当鹿数不同，指数也不同时，则需製引入中间量进行比较;
4.对梦个数逬行比较'可用0或1作为中间量进行比较
2、图形变换
对数函数（和指数函数互为反函数）
f（x）logax（a0,a1）
图象及其性质：
①恒过（1,0），无限靠近y轴；
2f（X）logax与f（x）log!
xlogax关于x轴对称；
a
3x>1时“底大图低”；0vxv1时“底大图高”（理解记忆）
I
f（x）=logax（a1）
x
■_
f（x）=logax（0
1）
Log21/x和Log2-xIn（x-1）和Inx-1
定义域:
R值域:
（0,）
单调性：
当a0时；当a0时；奇偶性：
无
反函数：
指数函数f（x）ax（a0,a1）周期性：
无
补充：
1、〔卜钱纠乩人•沃乩
若融対同一堆數，则可由对數囲的的单调性直接进行利靳.㈡苦I酬九同一字母，则張魁数国数的单谓悄刈底数遊佇分类対论
若翩不同、茸敷相同，测可用按底公式化为同底再进厅比较一⑴若南氛肓熾者环丰冃同”测常佶助・o.-1等叩间量进行比较
双钩函数
f（x）x—（变形式/二加+—（jpo.bx）））
xJ
②最值计算：
奇偶性：
奇函数周期性：
无
图象及其性质：
①两条渐近线:
定义域:
值域:
单调性:
反函数：
定义域内无反函数注意：
双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多，需特别注意最值得算法
幕函数（考察时，一般不会太难）
定不经过第四象限。
不需要背记，只要能够快速画出
n=±1，±1/2，±3,，1/3，0,的图象就行
无论n取任何实数，幕函数图象必然经过第一象限，并且一
注意：
掌握y=x3的图像；
掌握y=ax3+bx2+cx+d的图像（当a>0,当a<0时）；
补充:
利用数形结合，判断非常规方程的根的取值范围。
例：
P393，例题10
函数yf（x）图象变换
'•平移变换
y=f（x）+b
二•对称变换
1y=f（-x）与y=f（x）关于y轴对称；
2y=—f（x）与y=f（x）关于x轴对称；
3y=—f（—x）与y=f（x）关于原点对称；
4y=f—1（x）与y=f（x）关于直线y=x对称;
y=f（x+a）朋左平移a个单位y=f（x）.向右a平移个单位-y=f（x-a）
向下平移b个单位
y=f（x）-b
向上平移b个单位
5y=|f（x）|的图象可将y=f（x）的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变.
6y=f（|x|）的图象：
可将y=f（x）,x>0的部分作出，再利用偶函数关于y轴的对称性.
、伸缩变换
1y=Af（x）（A>0）的图象，可将y=f（x）图象上每一点的纵坐标伸（A>1）缩（0vAv1）到原来的A倍，横坐标不变而得到.
2y=f（ax）（a>0）的图象，可将y=f（x）的图象上每一点的横坐标伸（Ovav1）缩（a>1）到
1
原来的一，纵坐标不变而得到.
a
四、函数及图象（大致图象）
典型例题精讲
例1:
已知y=f（x）的图象如图2—7所示，贝U下列式子中能作为f（X）的解析式是（A）
E2—7
A.x2
2|
x|
1
B.x2-
-2|x|+1
C.|x2-1|D.
x22x1
解析:
当
f
（x）
=x2
2|x|1时，
f（x）,（|x|1）2
l|x|1|
x
1
（x
1）
1
x
（0
x1）
1
x
（1
x0）
（x
1）
（x
1）
其图象恰好是上图.
例2:
画出函数y=lg|x+1|的图象.
解析:
「丄“ig（x1）（x1）
y二|g|x+11
ig（x1）（x1）
例3:
2x1
要将函数y二的图象通过平移变换得到y=-的图象，需经过怎样的变换?
x1x
解析：
y二丄-1,先沿x轴方向向左平移1个单位，再沿y轴方向向上平移1个单位，即可得
x1
1
到y二丄的图象.
x
例4：
方程kx二,1（X2）2有两个不相等的实根，求实数k的取值范围.
解析：
设kx①
y2=1（X2）2②
方程①表示过原点的直线，方程②表示半圆，其圆心（2,0）,半径为1,如图2—9•易知当0A与半
圆相切时，koA—，故当Owkv-^时，直线与半圆有两个交点，即Owkv_2时，原方程有两
333
个不相等的实根.
例5：
作函数f（x）=x+1的图象.
x
分析:
1
（X）=X+1不能由已知函数图象变换得到，故需对函数f（x）的性质进行研究.
X
解析：
函数的定义域是（—X，0）U（0，+^），
Tf（一X）=—f（X），
•••f（X）是（一X，0）U（0，+x）上的奇函数，
11
又|f（x）|=|x+-1=|x|+>2,当且仅当|x|=1时等号成立，
X|x|
•••当X>0时y>2;当X<0时，yw—2;
当x€（0,1）时函数为减函数，且急剧递减；
当x€［1，+x）时函数为增函数，且缓慢递增，又x丰0,y丰0，
•图象与坐标轴无交点，且y轴是渐近线，作出第一象限的函数的图象,
再利用对称性可得函数在定义域上的图象，如图2—10所示.
2
t
1
1
k
圏2-
1協
-2
-1a
评述：
（1）熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功；先研究函数的性质，再利用性质作图则能减少作图的盲目性，提高图象的准确性.
（2）与图象有关的“辅助线”要用虚线作，以起到定形、定性、定位、定量的作用.
例6：
f（X）是定义在区间［—c，c］上的奇函数，其图象如图所示.
令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是（B）
A.若a<0,贝U函数g（x）的图象关于原点对称
B.若a=—1，—2C.若az0,b=2,则方程g（x）=0有两个实根
D.若a>1,b<2,则方程g（x）=0有三个实根
解析：
将f（x）图象上每点的纵坐标变为原来的a倍，横坐标不变，再将所得图象向上（b>0）
或向下（b<0）平移|b|个单位，得g（x）=af（x）+b的图象.
例6：
（全国U）把函数y二ex的图象按向量a二（2,3）平移，得到尸f（x）的图象，贝Uf（x）二
x—2+3（D）ex+2—3
y=iognx的图象，其中m
（C）m>0,00则下列结
（A）ex—3+2（B）ex+3—2（C）e例7:
（菏泽模拟）如图为函数
论正确的是（D）
（A）m<0,n>1（B）m>0,n>l
例8：
（安庆模拟）函数y=e—|x—1丨的图象大致是（D）
例9：
在直角坐标系xOy中，已知△AOB三边所在直线的方程分别为x=0,y=0,2x+3y=30,
则厶AOB内部和边上整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（B）
A.95
解析：
B.91C.88D.75
画出图象，补形做出长方形AOBC共有整点数11X16=176,而六点（0,10）,（3,8）,
1（6,6）,（9,4）,（12,2）,（15,0）在长方形的对角线上，所以符合题意的点数为（176+6）X-
2
=91.
L
C
0
15兀
例10：
将函数y二log存的图象沿x轴方向向右平移一个单位，得到图象C,图象Ci与C关于原
2
点对称，图象C2与G关于直线y二x对称，那么C2对应的函数解析式是
解牛析：
C：
y—log1（X—1）；由—y=log1（—x—1）得C：
y=log2（—x—1）；求C的反函数得y
22
例11:
若函数y—1—x2+4x—3|的图象C与直线y—kx相交于点M（2,1）,那么曲线C与该直线有个交点.
解析：
（数形结合法）作y—I—x2+4x—3丨的图象，知其顶点在M（2,1）.过原点与点M（2,1）
作直线y—kx，如图.
•••曲线C与直线y—kx有四个交点.
例12：
作函数y—
（1）|x—11的图象.
解析:
（1）y—
2x
（x1）
（x1）
故它在区间］1,+x）上的图象,（x1）.
2
可由y—2—x（x>0）的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到在区间（一X,1）上的图象，可由y—2x（x<0）的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到.
例13：
已知函数y—f（x）（x€R）满足f（a+x）—f（a—x）,求证y—f（x）的图象关于直线
x—a对称.
证明:
设p（xo,yo）是y=f（x）图象上的任一点，则有yo=f（xo）,
yo
rXo
2ax
由yo=f（Xo）
即°
yo
y
y
f（2a
x）f[a（ax）]f（ax）
y'=f[a-（a—x'）]=
f（x'）.
又f（
ax）
即点p'
（x',
y'）也在y=f（x）
的图象上.
•••y=f（x）的图象关于直线x=a对称.
例14：
画出函数y=2x1的图象，并利用此图象判定方程、2x1=x+a有两个不同的实数解时，实数a所满足的条件.
解析：
图象是抛物线y2=2x+1在y>o上的部分.把y=x+a代入y2=2x+1,得（x+a）2=2x
22
+1,即x+2（a-1）x+a-1=0,由△=0得a=1,
1
此时直线与抛物线相切.又因抛物线顶点是（一丄，0）,
2
11
可知当直线过点（一1,0）时，即a=1时直线与抛物线有两交点,
22
1一一一一故当12
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