高中常见函数图像及基本性质02966.docx

1、高中常见函数图像及基本性质02966常见函数性质汇总及简单评议对称变换常数函数 f(x)=b (b R)1) 、y=a 和x=a 的图像和走势2) 、图象及其性质：函数 f(x)的图象是平行于x轴或与x轴重合(垂直于y轴)的直线一次函数 f （x）=kx+b 仆工 0, b R）两种常用的一次函数形式：斜截式一一 点斜式 对斜截式而言，k、b的正负在直角坐标系中对应的图像走势: |k|越大，图象越陡；|k|越小，图象越平缓定义域:R 值域：R单调性：当 k0时 ；当k0时 奇 偶 性：当b=0时，函数f(x)为奇函数；当bz 0时，函数f(x)没有奇偶性; 反函 数：有反函数(特殊情况下: K

2、= 1并且b=0的时候)。补充：反函数定义：一般地，如果谒咲于某种对应关系f相竝 y=f(x)-贝ijy=f (x)的反函数为戶X (讥存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的【反函数的性质】 1)互为反M的两个函数的團象关于直线尸册称5馳存在反函数的充要条件島固数的定义域芍值城是一一映射j3) FMt与它的反国数在相应区间上单调性一致,) =0 (x=a这杲一手懈特殊的醐I),奇函数不一定存在反国数。若一个奇国数存在反國数则它的反函数也 罡奇函数。例题：定义在吐的函数y=f (x) ; y=g (x)都有反函数，且 f ( x-1 )和g-1 (x)函数的图像关于y=x

3、对称，若g (5) =2016,求 f (4) = 周期性：无5)、一次函数与其它函数之间的练习1 、常用解题方法： 直线y =热工M y = k2x + i2 (峪工。)的位蓋关系1两直线平行Q &二心且$疋鬼2)点关于直线(点)对称，求点的坐标4两直线垂直O昵=-12、与曲线函数的联合运用k反比例函数 f（x）=k （kM0, k值不相等永不相交；k越大，离坐标轴越远）x图象及其性质：永不相交，渐趋平行；当 k0时，函数f（x）的图象分别在第一、第三象限；当k0 时，函数图象与x轴有两个交点（ ）；当 1时“底大图低” ；0v xv 1时“底大图高”(理解记忆)If(x)=loga x(a

4、 1)x _f(x)= log a x(01)Log 21/x 和 Log2- x In ( x-1 )和 Inx - 1定义域:R 值域:(0,)单调性：当a 0时；当a 0时； 奇偶性：无反函数：指数函数f(x) ax(a 0,a 1) 周期性：无补充：1 、卜钱纠乩人沃乩若融対同一堆數，则可由对數囲的的单调性直接进行利靳. 苦I酬九同一字母，则張魁数国数的单谓悄刈底数遊佇分类対论若翩不同、茸敷相同，测可用按底公式化为同底再进厅比较一 若南氛 肓熾者环丰冃同”测常佶助o. -1等叩间量进行比较双钩函数f(x) x (变形式 /二加 + (jpo.bx)x J最值计算： 奇偶性：奇函数 周期

5、性：无图象及其性质：两条渐近线: 定 义域: 值 域:单调性:反函数：定义域内无反函数 注意：双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多，需特别注意最值得算法幕函数(考察时，一般不会太难)定不经过第四象限。不需要背记，只要能够快速画出n= 1， 1/2， 3,，1/3，0,的图象就行无论n取任何实数，幕函数图象必然经过第一象限，并且一注意：掌握y=x3的图像；掌握y=ax3+bx2+cx+d的图像(当a0,当a0的部分作出，再利用偶函数关于y轴的对称性.、伸缩变换1 y= Af (x) (A0)的图象，可将y = f (x)图象上每一点的纵坐标伸(A 1 )缩(0vAv 1)到原 来的A

6、倍，横坐标不变而得到.2 y= f (ax) (a0)的图象，可将y = f (x)的图象上每一点的横坐标伸(Ov av 1)缩(a 1)到1原来的一，纵坐标不变而得到.a四、函数及图象(大致图象)典型例题精讲例1:已知y= f (x)的图象如图2 7所示，贝U下列式子中能作为f (X)的解析式是( A )E 27A. x22|x|1B . x2-2|x| + 1C . |x2-1| D .x2 2x 1解析:当f(x)=x22|x| 1 时，f(x) ,(|x| 1)2l|x| 1|x1(x1)1x(0x 1)1x(1x 0)(x1)(x1)其图象恰好是上图.例2:画出函数y = lg| x

7、 +1|的图象.解析:丄“ ig(x 1) (x 1)y二 |g| x+11ig( x 1) (x 1)例3:2 x 1要将函数y二 的图象通过平移变换得到y=-的图象，需经过怎样的变换?x 1 x解析：y二丄 -1,先沿x轴方向向左平移1个单位，再沿y轴方向向上平移1个单位，即可得x 11到y二丄的图象.x例 4：方程kx二,1 （X 2）2有两个不相等的实根，求实数 k的取值范围.解析：设kx y2= 1（X 2）2 方程表示过原点的直线，方程表示半圆，其圆心（2, 0）,半径为1,如图29易知当0A与半圆相切时，koA ，故当Ow kv-时，直线与半圆有两个交点，即Ow kv_2时，原方

8、程有两3 3 3个不相等的实根.例 5：作函数f (x)= x + 1的图象.x分析:1(X)= X+ 1不能由已知函数图象变换得到，故需对函数 f (x)的性质进行研究.X解析： 函数的定义域是(X， 0)U( 0，+)，T f (一 X )= f ( X)， f (X)是(一X，0)U( 0，+x)上的奇函数，1 1又|f (x) | = |x + -1 = |x| + 2,当且仅当|x| = 1时等号成立，X |x|当 X0 时 y 2;当 X0时，yw 2;当x (0, 1)时函数为减函数，且急剧递减；当x 1，+x)时函数为增函数，且缓慢递增，又 x丰0, y丰0，图象与坐标轴无交点

9、，且y轴是渐近线，作出第一象限的函数的图象,再利用对称性可得函数在定义域上的图象，如图 210所示.2t11 k 圏2-1 協-2-1 a评述：(1) 熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功；先研究函数的性质，再利用性质作 图则能减少作图的盲目性，提高图象的准确性.(2) 与图象有关的“辅助线”要用虚线作，以起到定形、定性、定位、定量的作用.例 6： f (X)是定义在区间c，c 上的奇函数，其图象如图所示.令g (x)= af (x) + b，则下列关于函数g (x)的叙述正确的是( B )A. 若a0,贝U函数g (x)的图象关于原点对称B. 若a= 1， 2b 1, b0)或

10、向下(b0 , 0n1 (D)m0,0n1则下列结(A)ex 3+ 2 (B)e x+ 3 2 (C)e 例7:(菏泽模拟)如图为函数论正确的是(D )(A)m1 (B)m0 , nl例8：(安庆模拟)函数y = e | x 1丨的图象大致是(D)例 9：在直角坐标系xOy中，已知 AOB三边所在直线的方程分别为 x = 0, y= 0, 2x + 3y = 30,则厶AOB内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是( B )A. 95解析：B. 91 C. 88 D. 75画出图象，补形做出长方形 AOBC共有整点数11X 16= 176,而六点(0, 10), (3, 8),1 (

11、6, 6), (9, 4), (12, 2), (15, 0)在长方形的对角线上，所以符合题意的点数为(176 + 6)X-2=91.L C015 兀例10：将函数y二log存的图象沿x轴方向向右平移一个单位，得到图象 C,图象Ci与C关于原2点对称，图象C2与G关于直线y二x对称，那么C2对应的函数解析式是 解牛析：C：y log 1(X 1)；由y= log 1 ( x 1)得 C： y= log 2 ( x 1)；求 C 的反函数得 y2 2例11 :若函数y 1 x2+ 4x 3|的图象C与直线y kx相交于点M(2, 1),那么曲线C与该 直线有 个交点.解析：(数形结合法)作y I

12、 x2 + 4x 3丨的图象，知其顶点在M(2, 1).过原点与点M(2, 1)作直线y kx，如图.曲线C与直线y kx有四个交点.例12：作函数y ( 1) |x11的图象.解析:(1) y2x(x 1)(x 1)故它在区间1,+x)上的图象, (x 1).2可由y 2x (x0)的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到 在区间(一X, 1) 上的图象，可由y 2x (xo上的部分.把y = x + a代入y2= 2x + 1,得(x+ a) 2= 2x2 2+ 1,即 x + 2 (a- 1) x+ a - 1 = 0,由 = 0 得 a= 1,1此时直线与抛物线相切.又因抛物线顶点是(一 丄，0),21 1可知当直线过点(一1 , 0)时，即a= 1时直线与抛物线有两交点,2 21 一一 一 一 故当1 av 1时直线与此抛物线有两个交点，即原方程有两不同实数解.2