考研数学三真题及解析.docx
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考研数学三真题及解析
2018年考研数学三真题及答案
一、选择题
1.下列函数中，在x0处不可导的是（）
Afxxsinx
B.fxxsin』x[
C.fxCosx
D.fxcos、x
答案：
D
解析:
方法
应选D.
方法
因为f（x）cosx,f01
1—x
—不存在
x
fx在x0处不可导,选D
对A:
fxxsinx在x0处可导
对C:
f（x）cosx在x0处可导.
2.设函数f
x在[0,1]
1
上二阶可导,且fx
0
dx0,则
0时,f
当f''
当f''
答案D
【解析】
将函数
1
在-处展开可得
2
1rl1
1
f''
1
2
fxf
—f'-
x
—x
22
2
2
2
1
i1
1
1
f''
1
fxdx
f_
f'
x
x
0
02
2
2
2
2
欢当f''（x）
1
0时，0f
x
dx
f1
.从而有f
1
I
0
2
2
0.
2
dx
II
2
1.
xdx,
2
3.设M
2
x
—dx,N
x
x
x—dx,K
2e
A.M?
.M
N.
C.K
N.
D.
答案:
解析:
2
—dx
2x
1
dx
]1dx,
2
1所以
K21.cosxdx,1
2
cosx1
11.cosx
所以由定积分的比较性质KM
N,应选C.
4.设某产品的成本函数CQ可导,其中Q为产量,若产量为Q。
时平均成本
最小，则（）
AC'Qo0BC'QoCQo
答案D
QQo处取最小值，可知QoC'QoO.故选（D）.
解析：
令P
1
QPAP
选项为A
6.设A,B为n阶矩阵,记rX为矩阵X的秩,XY表示分块矩阵,则
C.rABmaxrA,rB
D.rABrATBT
答案：
A
解析:
易知选项C错
1
对于选项B举反例:
取A
1
1
B
1
001
12
001
则BA,A,BA
331
100
133
ArA?
ABrA
B.rABArA
7.设随机变量X的概率密度fx满足
f1x
2
f1x，且0fX
dx0.6，
则PX0.
（A）0.2;（B）0.3;
（C）0.4；（D）
0.6.
解由fixf1x知，概率密度fx关于x1对称，故
PX0PX2，
2
且PX0P0X2PX21，由于POX2fxdx0.6，
所以2PX00.4，即PX00.2，故选项A正确.
nX
（A）
S
・nX
（B）
（C）
（D）
则下列选项正确的是
10.
exarcsin1e2x
故选项B正确.
填空题
9.曲线yx22lnx在其拐点处的切线方程为
答案y4x3
令y''=°,解得x=1,而y'''1°,故点（1,1）为曲线唯一的拐点
曲线在该点处切线的斜率y'14,故切线方程为y4x30
答案exarcsin.1e2x.1e2xC
【解析】令t二ex,则
原式二arcsint^dttarcsint2
tarcsin.1t2
.tdttansin丿1t2V1t2C
1t2
x.2x
earcsin-1e
-,re^c
11.差分方程2yx
Vx5的通解
【答案】
x1
yxc25
答案i2e.
【解析】由x2xxx
可知x可微,且'x=2xx。
这是一个可分离变量微分方程
2
求得其通解为xcex;再由02可得
2es
2ex,
i3.
i>
2,3为线性无关的向量组，若
i,2,3
i>
由于
3线性无关,故A:
二B,从而有相同的特征值。
故A的实特征值为2
i4.设随机事件A,B,C相互独立，且
则P（ACAB）
1
P（A）P（B）P（C）2，
解由条件概率以及事件相互独立性的定义，得
PACAB
P（ACAB）
P（AB）
PAC
P（A）P（B）P（AB）
PAPC
P（A）
1
2
1
2
P（B）
1
2
22
P（A）
P（B）
解答题
15.已知实数a,b,满足lim
x
1
axbex
2,求a,b。
答案a
1,b1
【解析】
1
令t=,可得lim
t0
abtet1
2,
其中lim
to
abtet1
lim
t0
aet1
t
lim
to
bet
lim
t0
aet1
t
可知lim
t0
aet1
t
2b,而要使得
®专存在,必须有
a1。
t
此时,有limae-
t0t
综上,a1,b1。
1=1=2
b,故b
1.
16.设平面区域D由曲线y
1x与直线y'3x及y轴围成。
计算二重积
x2dy。
D
【解析】1。
巳dx
x2dy卢x2..31
2
o^x\31x2dx
莖,—
其中对于02x「31x
2
~Z3
2xdx,
0
2
dx,令xsint,可化为
o4晟i『tco^dt
34~8
2
sin2td2t
o
2
而o^x'dx
£
32
3
16
17.将长为
2m的铁丝分成三段,依次围成圆、
正方形与正三角形•三个图形的面
积之和是否存在最小值？
若存在,求出最小值.
【解析】设分成的三段分别为x，y,乙则有xyz2及x,y,z>0，圆的面积为
S-,—x2，正方形的面积为S2=—y2,正三角形的面积为S3=3z2，总面积为2丄x2+丄y2+3z2,
4163641636
则问题转化为在条件xyz2,x,y,z>0下，求函数丄x2+丄y2+-^z2的最小值。
令
41636
L」x2+丄y2+空z2
41636
「3
4、,3
9
3
4、3
9
18
.3
4、3
9
解得唯一条件极值点为
2、3
x
x
_L=_x_
x=2
l_y
1=8
L、、3
一=—z
z18
L
=xyz
为最小值，最小值为
3+12+9.3
18.已知cos2x丁丄2
1x
anXn1
n0
x1,求an.
答案a2n1
2n2
2n22n2,n0,1,2,L
a2n
n2n
12
2n!
2n1
12n
n2n
12
1
2n!
2n
n
0,1,2,L。
【解析】
将cos2x与-
1
2
1+x2
展成幕级数可得
cos2x
2n
2x
2m
.n2n
12x
02m__
2n
X
1nxn
则
a2n1
2n
1
2n
2n
2,n
0,1,2,L
a2n
19.
lim
n
22n
2n!
设数列Xn
xn.
证明:
①证明
2n1
1
2n
n?
2n
1
2n!
2n
n
0,1,2,L。
满足：
X1
0,XneX11
eXn
1,2,L
.证明
Xn收敛，并求
Xn
0,易证
②再证Xn单减，由
eXn1
eX11
ex
Xn
Xn
e°拉格朗日中值定理
0
0,Xn
Xn1Xn
Xn单减有下界，由此得
limXn存在
X
③设」imxnA,则AeA
20.设实二次型fX1,X2,X3
X1
X2
2
X3
X2X3
X1
ax3
2
其中a是参数.
（1）求f为，X2,X3
0的解；
⑵求fX1.X2.X3的规范形.
21.已知a是常数,且矩阵A
解析：
（1）fX1,X2,X30而X2X30
X2
X1
X3
ax3
0,
0
由
1
11
102
得
A
0
11
011
1
0a
00a2
当a
2时,
rA
3,只有零解X1
X2
X30
当a
2时,
rA
2,方程有无穷多解，
通解为
X1
2为任意常数
■
X
X
k1,k
X3
1
⑵由⑴知,当a2时A可逆,
y1
X1X2X3
令
y2X2X3
即丫AX,则规范形为f
222y1y2y3,
y3X3
当a
2时,rA
2,
y1
X1X2X3
X2X3,则fyy
y3X3
2
y1牡
2
2y12y2詁
令
y2
Z1
2
1
V1-V2
令
Z2
、,则得规范形为f
22
ZZ2・
Z3
y3
1
2
a
1
2
a
1
2
a
QA1
3
0
0
1
a
0
1
a
2
7
a
0
3
3a
0
0
0
rA2
r
B2
1
a
2
1
a
2
1
a
2
由B0
1
1
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0
a
13
0
0
2a
得a=2.
⑵令R
X1.X2.X3
B
bbb
rA
rB
ARA
Xi,X2,X3
AX1,AX2,AX3
1
2
2
M
12
2
12
2
M122
AI\B
1
3
0
M
01
1
01
2
M111
2
7
2
M
11
1
03
6
M333
1
2
2
M
1
2
2
10
6M
3
44
0
1
2
M
1
1
1
01
2M
1
11
0
0
0
M
0
0
0
00
0M
0
00
6
3
6k1
3
AX1
6的通解为X1=k12
1
2k1
1
.K为任意常数
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