考研数学三真题及解析.docx

1、考研数学三真题及解析2018年考研数学三真题及答案一、 选择题1.下列函数中，在x 0处不可导的是（）A f x x sin xB.f x xsinxC.f x CosxD.f x cos、x答案：D解析:方法应选D .方法因为 f (x) cos x , f 0 11 x不存在xf x在x 0处不可导,选D对A : f x xsinx在x 0处可导对C : f (x) cosx在x 0处可导.2.设函数fx 在0,11上二阶可导,且 f x0dx 0,则0 时,f当f当f答案D【解析】将函数1在-处展开可得21 rl 11f 12f x ff-xx2 22221i 111f 1f x dxf

2、 _fxx00 22222欢当f (x)10时，0fxdxf 1.从而有f1I0220.2dxII21 .x dx,23.设M2xdx, Nxxxdx, K2 eA.M ?.MN.C. KN.D.答案:解析:2dx2x1dx1dx,21所以K 2 1 . cosx dx,12cosx 11 1 .cosx所以由定积分的比较性质K MN ,应选C .4.设某产品的成本函数C Q可导,其中Q为产量,若产量为Q。时平均成本最小，则()AC Qo 0 B C Qo C Qo答案DQ Qo处取最小值，可知QoC Qo O.故选(D).解析：令P1Q P AP选项为A6.设A,B为n阶矩阵,记r X为矩阵

3、X的秩,XY表示分块矩阵,则C.r AB max r A ,r BD.r AB r AT BT答案：A解析:易知选项C错1对于选项B举反例:取A11B10 0 11 20 0 1则 BA , A, BA3 3 11 0 01 3 3Ar A?AB r AB.r ABA r A7.设随机变量X的概率密度f x满足f 1 x2f 1 x，且 0 f Xdx 0.6，则 P X 0 .(A) 0.2 ; (B) 0.3 ;(C) 0.4 ； (D)0.6 .解 由fix f 1 x知，概率密度f x关于x 1对称，故P X 0 P X 2，2且 P X 0 P 0 X 2 P X 2 1，由于 PO

4、X 2 fxdx0.6，所以2P X 0 0.4，即P X 0 0.2，故选项A正确.n X(A)Sn X(B)(C)(D)则下列选项正确的是10.exarcs in 1 e2x故选项B正确.填空题9.曲线y x2 2ln x在其拐点处的切线方程为答案y 4x 3令y=,解得x=1,而y1 ,故点(1,1)为曲线唯一的拐点曲线在该点处切线的斜率y1 4,故切线方程为y 4x 30答案 ex arcs in .1 e2x .1 e2x C【解析】令t二ex,则原式二 arcsi n tdt t arcsi n t2t arcs in .1 t2.t dt tan sin丿1 t2 V1 t2 C

5、1 t2x . 2xe arcs in -1 e-,re c11.差分方程2yxVx 5的通解【答案】x 1yx c 2 5答案 i 2e.【解析】由 x 2x x x,可知 x可微,且x =2x x 。这是一个可分离变量微分方程2,求得其通解为 x cex ;再由 0 2可得2es2ex,i3.i2, 3为线性无关的向量组，若i, 2, 3i由于3线性无关,故A:二B,从而有相同的特征值。故A的实特征值为2i4.设随机事件A,B,C相互独立，且则 P(AC A B) 1P(A) P(B) P(C) 2，解 由条件概率以及事件相互独立性的定义，得P AC A BP(AC A B)P(A B)P

6、 ACP(A) P(B) P(AB)P A P CP(A)1212P(B)122 2P(A)P(B)解答题15.已知实数a,b,满足limx1ax b ex2,求a,b。答案a1,b 1【解析】1令t=,可得limt 0a bt et 12,其中limt oa bt et 1limt 0aet 1tlimt obetlimt 0aet 1t可知limt 0aet 1t2 b,而要使得专存在,必须有a 1。t此时,有lim ae-t 0 t综上,a 1,b 1。1=1=2b,故b1.16.设平面区域D由曲线y1 x与直线y 3x及y轴围成。计算二重积x2dy。D【解析】1 。巳dxx2dy 卢

7、x2 . 3 12ox 3 1 x 2dx莖 ,其中对于02 x3 1 x2Z 32 x dx,02 dx,令x si nt,可化为o4 晟itcodt3 4 82sin 2td 2to2而 oxdx3231617.将长为2m的铁丝分成三段,依次围成圆、正方形与正三角形三个图形的面积之和是否存在最小值？若存在,求出最小值.【解析】设分成的三段分别为 x，y,乙则有x y z 2及x,y,z0，圆的面积为S-, x2，正方形的面积为S2= y2,正三角形的面积为S3= 3 z2，总面积为2丄x2 +丄y2+ 3z2,4 16 36 4 16 36则问题转化为在条件x y z 2,x,y,z0下，

8、求函数 丄x2+丄y2+-z2的最小值。令4 16 36Lx2 +丄y2 +空z24 16 3634、, 3934、3918.34、39,解得唯一条件极值点为2、3xx_L =_x_x = 2l_ y1 = 8L 、3一 =zz 18L=x y z为最小值，最小值为3 +12+9.318.已知 cos2x 丁丄21 xanXn 1n 0x 1 ,求 an.答案 a2n 12n 22n 2 2n 2,n 0,1,2,La2nn 2n1 22n !2n 11 2nn 2n1 212n !2n,n0,1,2,L 。【解析】将cos2x与-121+x 2展成幕级数可得cos2x2n2x2m.n 2n1

9、 2x0 2m_2nX1 nxn则a2n 12n12n2n2,n0,1,2,La2n19.limn22n2n !设数列Xnxn.证明:证明2n 112nn ?2n12n !2n,n0,1,2,L。满足：X10,XneX11eXn1,2,L.证明Xn收敛，并求Xn0,易证再证Xn单减，由eXn1eX1 1exXnXne拉格朗日中值定理00,XnXn 1 XnXn单减有下界，由此得lim Xn存在X设imxn A,则AeA20.设实二次型 f X1,X2, X3X1X22X3X2 X3X1ax32,其中a是参数.(1)求 f 为，X2,X30的解；求f X1.X2.X3的规范形.21.已知a是常数

10、,且矩阵A解析：(1) f X1,X2,X3 0 而 X2 X3 0X2X1X3ax30,0由11 11 0 2得A01 10 1 110 a0 0 a 2当a2时,r A3,只有零解X1X2X3 0当a2时,r A2,方程有无穷多解，通解为X12 为任意常数XXk 1 ,kX31由知,当a 2时A可逆,y1X1 X2 X3令y2 X2 X3,即丫 AX,则规范形为f2 2 2 y1 y2 y3,y3 X3当a2 时,r A2,y1X1 X2 X3X2 X3 ,则 f y yy3 X32y1 牡22 y1 2 y2 詁令y2Z121V1 -V2令Z2、,则得规范形为f2 2Z Z2Z3y312a12a12aQ A 13001a01a27a033a000r A 2rB 21a21a21a2由B 0110110111110a1 3002 a得 a=2.令RX1.X2.X3,Bbbbr Ar BAR AXi,X2,X3AX1, AX2, AX3122M1 221 22M 1 2 2AIB130M0 110 12M 1 1 1272M1 110 36M 3 3 3122M1221 06 M34 4012M1110 12 M11 1000M0000 00 M00 0636k13AX16的通解为X1=k1 212k11.K为任意常数