小学六年级奥数第40讲 不定方程后附答案.docx
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小学六年级奥数第40讲不定方程后附答案
第40讲不定方程
一、知识要点
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：
x＝2.4x＝2.7x＝3.06x＝3.6
y＝1y＝1.5y＝2.1y＝3
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练
【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝
。
可列表试验求解：
X
1
2
3
4
5
6
7
Y
5
×
×
×
2
×
×
所以方程3x+4y＝23的自然数解为
X=1x=5
Y=5y=2
练习1
1、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
由
×2+
，得13x+13y＝52
X+y＝4
把
式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.
当x＝1时，y＝3
当x＝2时，y＝2
当x＝3时，y＝1
把上面的结果再分别代入
或
，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.
所以，原方程组的正整数解为x＝1
y＝1
z＝1
练习2
求下面方程组的自然数解。
1、4x+3y－2z＝72、7x+9y+11z＝68
3x+2y+4z＝215x+7y+9z＝52
3、5x+7y+4z＝26
3x－y－6z＝2
【例题3】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。
如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。
设大盒子有x个，小盒子有y个，则
12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）
y＝（99－12y）÷5
经检验，符合条件的解有：
x＝2x＝7
y＝15y＝3
所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。
练习3.
1、某校6
（1）班学生48人到公园划船。
如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。
那么需要小船和大船各几只？
（大、小船都有）
2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？
3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？
【例题4】买三种水果30千克，共用去80元。
其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。
问三种水果各买了多少千克？
设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。
根据题意得：
4x+3y+2×（30－x－y）＝82
x＝10－
由式子可知：
y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。
因此，原方程的解如下表：
苹果
9
8
7
6
5
4
3
2
1
橘子
2
4
6
8
10
12
14
16
18
梨
19
18
17
16
15
14
13
12
11
练习4
1、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？
2、用10元钱买25枝笔。
已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角。
问每种笔各买几枝？
（每种都要买）
3、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸每张2角。
她一共用了一元两角两分钱。
那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？
【例题5】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。
原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。
后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。
问：
一、二、三等奖的学生各有几人？
设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。
则
6x+3y+2z＝22
9x+4y+z＝22
由
×2－
，得12x+5y＝22
y＝
x＝1
x只能取1。
Y＝2，代入
得z＝5，原方程的解为y＝2
z＝5
所以，一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。
练习5
1、某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。
他命中10环、7环和5环各几发？
2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。
已知煮蛋每个0.60元，茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。
问篮子里最多有几个皮蛋？
3、一头猪卖3
个银币，一头山羊卖1
个银币，一头绵羊买
个银币。
有人用100个银币卖了这三种牲畜100头。
问猪、山羊、绵羊各几头？
第40周不定方程答案解析
一、知识要点
当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。
如5x－3y＝9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。
如5x－3y＝9的解有：
x＝2.4x＝2.7x＝3.06x＝3.6
y＝1y＝1.5y＝2.1y＝3
如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x＝3，Y＝2这一组了。
因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。
二、精讲精练
【例题1】求3x+4y＝23的自然数解。
先将原方程变形，y＝
。
可列表试验求解：
X
1
2
3
4
5
6
7
Y
5
×
×
×
2
×
×
所以方程3x+4y＝23的自然数解为
X=1x=5
Y=5y=2
练习1
1、求3x+2y＝25的自然数解。
2、求4x+5y＝37的自然数解。
3、求5x－3y＝16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z＝25
3x－y－6z＝2
由
×2+
，得13x+13y＝52
X+y＝4
把
式变形，得y＝4－x。
因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.
当x＝1时，y＝3
当x＝2时，y＝2
当x＝3时，y＝1
把上面的结果再分别代入
或
，得x＝1，y＝3时，z无正整数解。
x＝2，y＝2时，z也无正整数解。
x＝3时，y＝1时，z＝1.
所以，原方程组的正整数解为x＝1
y＝1
z＝1
练习2
求下面方程组的自然数解。
1、4x+3y－2z＝72、7x+9y+11z＝68
3x+2y+4z＝215x+7y+9z＝52
3、5x+7y+4z＝26
3x－y－6z＝2
【例题3】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。
如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？
两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。
设大盒子有x个，小盒子有y个，则
12x+5y＝99（x＞0，y＞0，x+y＞9）
y＝（99－12y）÷5
经检验，符合条件的解有：
x＝2x＝7
y＝15y＝3
所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。
练习3.
1、某校6
（1）班学生48人到公园划船。
如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。
那么需要小船和大船各几只？
（大、小船都有）
2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？
3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？
【例题4】买三种水果30千克，共用去80元。
其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。
问三种水果各买了多少千克？
设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30－x－y）千克。
根据题意得：
4x+3y+2×（30－x－y）＝82
x＝10－
由式子可知：
y<20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。
因此，原方程的解如下表：
苹果
9
8
7
6
5
4
3
2
1
橘子
2
4
6
8
10
12
14
16
18
梨
19
18
17
16
15
14
13
12
11
练习4
1、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？
2、用10元钱买25枝笔。
已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角。
问每种笔各买几枝？
（每种都要买）
3、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸每张2角。
她一共用了一元两角两分钱。
那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？
【例题5】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。
原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。
后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。
问：
一、二、三等奖的学生各有几人？
设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。
则
6x+3y+2z＝22
9x+4y+z＝22
由
×2－
，得12x+5y＝22
y＝
x＝1
x只能取1。
Y＝2，代入
得z＝5，原方程的解为y＝2
z＝5
所以，一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。
练习5
1、某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。
他命中10环、7环和5环各几发？
2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。
已知煮蛋每个0.60元，茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。
问篮子里最多有几个皮蛋？
3、一头猪卖3
个银币，一头山羊卖1
个银币，一头绵羊买
个银币。
有人用100个银币卖了这三种牲畜100头。
问猪、山羊、绵羊各几头？
答案：
练1
1、x＝1x＝3x＝5x＝7
y＝11y＝8y＝5y＝2
2、x＝3x＝8
y＝11y＝1
3、x＝5
y＝3
练2
1、
x＝1
y＝3
z＝3
2、x＝3x＝4
y＝4y＝2
z＝1z＝2
3、x＝3
y＝1
z＝1
练3
1、设需要小船x只，大船y只。
则3x+5y＝48，y＝
根据题意，x可取1、6、11，
方程的解是x＝1x＝6x＝11
y＝9y＝6y＝3
练4
1、因为三种皮球总共26只,每种皮球最多只能有24只,否则其他颜色都不存在了，如果黄皮球1只,那么蓝皮球9只;如果黄皮球2只,那么蓝皮球18只，不可能黄皮球3只,因为那样蓝皮球就27只了.
2、设全部都是4角一枝的,则总钱数是
元
每只两角的少的钱数刚好是9角的多的钱数
毛笔和钢笔的枝数比是
所以购买枝数分别是:
毛笔5枝,彩色笔18枝,钢笔2枝
毛笔10枝,彩色笔11枝,钢笔4枝
毛笔15枝,彩色笔4枝,钢笔6枝
3、以分做为单位,
普通贴纸每张8分,荧光贴纸每张10分,高级贴纸每张20分.一共用了122分钱.
a,b,
求a+b+c的最小值
希望总数最小,所以买越多贵的,能买到的数量越少,即总数越少.
换句话说,便宜的尽量少买.
普通贴纸最便宜,尽量少买它.能不能不买普通贴纸,不行,因为其他两种贴纸每张价格（以分为单位）都是10的倍数,而总共花了122分钱,不是10的倍数.
那普通贴纸至少买多少张?
末位数与总共花的钱122一样,都为2,所以最少4张普通贴纸.
剩余
分钱怎么花,尽量买贵的,高级贴纸每张20分最多还可以买4张.
最后剩下10分钱,买一张荧光贴纸.
分钱花掉,至少能买9张贴纸,分别为4张普通贴纸,1张荧光贴纸,4张高级贴纸.
练5
1、解：
由打了53环，可知末尾的3环是由7环和5环的倍数构成的，
根据分析可知如果4发7环，3发5环，这时环数为：
4×7+3×5=43（环）
剩下的1发为10环，恰好与题意相符.
答：
他命中10环1发、7环4发、5环3发.
故答案为：
10环1发；7环4发；5环3发.
2、解：
设篮子里有煮蛋x个，茶蛋y个，皮蛋z个，那么煮蛋一共是0.6x元，茶蛋一共有y元，皮蛋1.2z元，列方程得：
x＋y＋z=30
0.6x+y+1.2z=24
由上可知：
z=2x-30
y=60-3x
由于篮子里有三种蛋，所以三个未知数都大于零.
所以15＜x＜20，所以符合题意的是当x=19时，z=8.
当三种蛋都存在时，最多有8个皮蛋.
答：
篮子里最多有8个皮蛋.
故答案为：
8个
解析
依题意本题可采用列方程的方法进行解答：
设篮子里有煮蛋x个，茶蛋y个，皮蛋z个，那么煮蛋一共是0.6x元，茶蛋一共有y元，皮蛋1.2z元根据题中三种蛋一共有30个，和总价钱24元列方程.
3、设猪x头,山羊y头,绵羊z头
则
即
得
即
y,z都为正整数
所以当
则
当
则
当
则
即有三种情况：
1、猪5头,山羊42头,绵羊53头
2、猪10头,山羊24头,绵羊66头
3、猪15头,山羊6头,绵羊79头
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