小学六年级奥数第40讲 不定方程后附答案.docx
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小学六年级奥数第40讲不定方程后附答案
第40讲不定方程
一、知识要点
当方程的个数比方程中未知数的个数少时,我们就称这样的方程为不定方程。
如5x-3y=9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话,它的解有无数个;如果附加一些限制条件,那么它的解的个数就是有限的了。
如5x-3y=9的解有:
x=2.4x=2.7x=3.06x=3.6
y=1y=1.5y=2.1y=3
如果限定x、y的解是小于5的整数,那么解就只有x=3,Y=2这一组了。
因此,研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形,把其中的一个未知数用另一个未知数来表示,然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点,尽量缩小未知数的取值范围,减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组,可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时,要根据题中的限制条件(有时是明显的,有时是隐蔽的)取适当的值。
二、精讲精练
【例题1】求3x+4y=23的自然数解。
先将原方程变形,y=
。
可列表试验求解:
X
1
2
3
4
5
6
7
Y
5
×
×
×
2
×
×
所以方程3x+4y=23的自然数解为
X=1x=5
Y=5y=2
练习1
1、求3x+2y=25的自然数解。
2、求4x+5y=37的自然数解。
3、求5x-3y=16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z=25
3x-y-6z=2
这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话,要先设法消去其中的一个未知数,将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z=25
3x-y-6z=2
由
×2+
,得13x+13y=52
X+y=4
把
式变形,得y=4-x。
因为x、y、z都是正整数,所以x只能取1、2、3.
当x=1时,y=3
当x=2时,y=2
当x=3时,y=1
把上面的结果再分别代入
或
,得x=1,y=3时,z无正整数解。
x=2,y=2时,z也无正整数解。
x=3时,y=1时,z=1.
所以,原方程组的正整数解为x=1
y=1
z=1
练习2
求下面方程组的自然数解。
1、4x+3y-2z=72、7x+9y+11z=68
3x+2y+4z=215x+7y+9z=52
3、5x+7y+4z=26
3x-y-6z=2
【例题3】一个商人将弹子放进两种盒子里,每个大盒子装12个,每个小盒子装5个,恰好装完。
如果弹子数为99,盒子数大于9,问两种盒子各有多少个?
两种盒子的个数都应该是自然数,所以要根据题意列出不定方程,再求出它的自然数解。
设大盒子有x个,小盒子有y个,则
12x+5y=99(x>0,y>0,x+y>9)
y=(99-12y)÷5
经检验,符合条件的解有:
x=2x=7
y=15y=3
所以,大盒子有2个,小盒子有15个,或大盒子有7个,小盒子有3个。
练习3.
1、某校6
(1)班学生48人到公园划船。
如果每只小船可坐3人,每只大船可坐5人。
那么需要小船和大船各几只?
(大、小船都有)
2、甲级铅笔7角钱一枝,乙级铅笔3角钱一枝,小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝?
3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔,他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种,而且小华买来的铅笔比小强多,小华比小强多买来多少枝?
【例题4】买三种水果30千克,共用去80元。
其中苹果每千克4元,橘子每千克3元,梨每千克2元。
问三种水果各买了多少千克?
设苹果买了x千克,橘子买了y千克,梨买了(30-x-y)千克。
根据题意得:
4x+3y+2×(30-x-y)=82
x=10-
由式子可知:
y<20,则y必须是2的倍数,所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。
因此,原方程的解如下表:
苹果
9
8
7
6
5
4
3
2
1
橘子
2
4
6
8
10
12
14
16
18
梨
19
18
17
16
15
14
13
12
11
练习4
1、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只,其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍,蓝皮球有多少只?
2、用10元钱买25枝笔。
已知毛笔每枝2角,彩色笔每枝4角,钢笔每枝9角。
问每种笔各买几枝?
(每种都要买)
3、晓敏在文具店买了三种贴纸;普通贴纸每张8分,荧光纸每张1角,高级纸每张2角。
她一共用了一元两角两分钱。
那么,晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张?
【例题5】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。
原计划一等奖每人发6枝,二等奖每人发3枝,三等奖每人发2枝。
后又改为一等奖每人发9枝,二等奖每人发4枝,三等奖每人发1枝。
问:
一、二、三等奖的学生各有几人?
设一等奖有x人,二等奖有y人,三等奖有z人。
则
6x+3y+2z=22
9x+4y+z=22
由
×2-
,得12x+5y=22
y=
x=1
x只能取1。
Y=2,代入
得z=5,原方程的解为y=2
z=5
所以,一等奖的学生有1人,二等奖的学生有2人,三等奖的学生有5人。
练习5
1、某人打靶,8发打了53环,全部命中在10环、7环和5环。
他命中10环、7环和5环各几发?
2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个,价值24元。
已知煮蛋每个0.60元,茶叶蛋每个1元,皮蛋每个1.20元。
问篮子里最多有几个皮蛋?
3、一头猪卖3
个银币,一头山羊卖1
个银币,一头绵羊买
个银币。
有人用100个银币卖了这三种牲畜100头。
问猪、山羊、绵羊各几头?
第40周不定方程答案解析
一、知识要点
当方程的个数比方程中未知数的个数少时,我们就称这样的方程为不定方程。
如5x-3y=9就是不定方程。
这种方程的解是不确定的。
如果不加限制的话,它的解有无数个;如果附加一些限制条件,那么它的解的个数就是有限的了。
如5x-3y=9的解有:
x=2.4x=2.7x=3.06x=3.6
y=1y=1.5y=2.1y=3
如果限定x、y的解是小于5的整数,那么解就只有x=3,Y=2这一组了。
因此,研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。
解不定方程时一般要将原方程适当变形,把其中的一个未知数用另一个未知数来表示,然后再一定范围内试验求解。
解题时要注意观察未知数的特点,尽量缩小未知数的取值范围,减少试验的次数。
对于有3个未知数的不定方程组,可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。
解答应用题时,要根据题中的限制条件(有时是明显的,有时是隐蔽的)取适当的值。
二、精讲精练
【例题1】求3x+4y=23的自然数解。
先将原方程变形,y=
。
可列表试验求解:
X
1
2
3
4
5
6
7
Y
5
×
×
×
2
×
×
所以方程3x+4y=23的自然数解为
X=1x=5
Y=5y=2
练习1
1、求3x+2y=25的自然数解。
2、求4x+5y=37的自然数解。
3、求5x-3y=16的最小自然数解。
【例题2】求下列方程组的正整数解。
5x+7y+3z=25
3x-y-6z=2
这是一个三元一次不定方程组。
解答的实话,要先设法消去其中的一个未知数,将方程组简化成例1那样的不定方程。
5x+7y+3z=25
3x-y-6z=2
由
×2+
,得13x+13y=52
X+y=4
把
式变形,得y=4-x。
因为x、y、z都是正整数,所以x只能取1、2、3.
当x=1时,y=3
当x=2时,y=2
当x=3时,y=1
把上面的结果再分别代入
或
,得x=1,y=3时,z无正整数解。
x=2,y=2时,z也无正整数解。
x=3时,y=1时,z=1.
所以,原方程组的正整数解为x=1
y=1
z=1
练习2
求下面方程组的自然数解。
1、4x+3y-2z=72、7x+9y+11z=68
3x+2y+4z=215x+7y+9z=52
3、5x+7y+4z=26
3x-y-6z=2
【例题3】一个商人将弹子放进两种盒子里,每个大盒子装12个,每个小盒子装5个,恰好装完。
如果弹子数为99,盒子数大于9,问两种盒子各有多少个?
两种盒子的个数都应该是自然数,所以要根据题意列出不定方程,再求出它的自然数解。
设大盒子有x个,小盒子有y个,则
12x+5y=99(x>0,y>0,x+y>9)
y=(99-12y)÷5
经检验,符合条件的解有:
x=2x=7
y=15y=3
所以,大盒子有2个,小盒子有15个,或大盒子有7个,小盒子有3个。
练习3.
1、某校6
(1)班学生48人到公园划船。
如果每只小船可坐3人,每只大船可坐5人。
那么需要小船和大船各几只?
(大、小船都有)
2、甲级铅笔7角钱一枝,乙级铅笔3角钱一枝,小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝?
3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔,他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种,而且小华买来的铅笔比小强多,小华比小强多买来多少枝?
【例题4】买三种水果30千克,共用去80元。
其中苹果每千克4元,橘子每千克3元,梨每千克2元。
问三种水果各买了多少千克?
设苹果买了x千克,橘子买了y千克,梨买了(30-x-y)千克。
根据题意得:
4x+3y+2×(30-x-y)=82
x=10-
由式子可知:
y<20,则y必须是2的倍数,所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。
因此,原方程的解如下表:
苹果
9
8
7
6
5
4
3
2
1
橘子
2
4
6
8
10
12
14
16
18
梨
19
18
17
16
15
14
13
12
11
练习4
1、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只,其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍,蓝皮球有多少只?
2、用10元钱买25枝笔。
已知毛笔每枝2角,彩色笔每枝4角,钢笔每枝9角。
问每种笔各买几枝?
(每种都要买)
3、晓敏在文具店买了三种贴纸;普通贴纸每张8分,荧光纸每张1角,高级纸每张2角。
她一共用了一元两角两分钱。
那么,晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张?
【例题5】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。
原计划一等奖每人发6枝,二等奖每人发3枝,三等奖每人发2枝。
后又改为一等奖每人发9枝,二等奖每人发4枝,三等奖每人发1枝。
问:
一、二、三等奖的学生各有几人?
设一等奖有x人,二等奖有y人,三等奖有z人。
则
6x+3y+2z=22
9x+4y+z=22
由
×2-
,得12x+5y=22
y=
x=1
x只能取1。
Y=2,代入
得z=5,原方程的解为y=2
z=5
所以,一等奖的学生有1人,二等奖的学生有2人,三等奖的学生有5人。
练习5
1、某人打靶,8发打了53环,全部命中在10环、7环和5环。
他命中10环、7环和5环各几发?
2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个,价值24元。
已知煮蛋每个0.60元,茶叶蛋每个1元,皮蛋每个1.20元。
问篮子里最多有几个皮蛋?
3、一头猪卖3
个银币,一头山羊卖1
个银币,一头绵羊买
个银币。
有人用100个银币卖了这三种牲畜100头。
问猪、山羊、绵羊各几头?
答案:
练1
1、x=1x=3x=5x=7
y=11y=8y=5y=2
2、x=3x=8
y=11y=1
3、x=5
y=3
练2
1、
x=1
y=3
z=3
2、x=3x=4
y=4y=2
z=1z=2
3、x=3
y=1
z=1
练3
1、设需要小船x只,大船y只。
则3x+5y=48,y=
根据题意,x可取1、6、11,
方程的解是x=1x=6x=11
y=9y=6y=3
练4
1、因为三种皮球总共26只,每种皮球最多只能有24只,否则其他颜色都不存在了,如果黄皮球1只,那么蓝皮球9只;如果黄皮球2只,那么蓝皮球18只,不可能黄皮球3只,因为那样蓝皮球就27只了.
2、设全部都是4角一枝的,则总钱数是
元
每只两角的少的钱数刚好是9角的多的钱数
毛笔和钢笔的枝数比是
所以购买枝数分别是:
毛笔5枝,彩色笔18枝,钢笔2枝
毛笔10枝,彩色笔11枝,钢笔4枝
毛笔15枝,彩色笔4枝,钢笔6枝
3、以分做为单位,
普通贴纸每张8分,荧光贴纸每张10分,高级贴纸每张20分.一共用了122分钱.
a,b,
求a+b+c的最小值
希望总数最小,所以买越多贵的,能买到的数量越少,即总数越少.
换句话说,便宜的尽量少买.
普通贴纸最便宜,尽量少买它.能不能不买普通贴纸,不行,因为其他两种贴纸每张价格(以分为单位)都是10的倍数,而总共花了122分钱,不是10的倍数.
那普通贴纸至少买多少张?
末位数与总共花的钱122一样,都为2,所以最少4张普通贴纸.
剩余
分钱怎么花,尽量买贵的,高级贴纸每张20分最多还可以买4张.
最后剩下10分钱,买一张荧光贴纸.
分钱花掉,至少能买9张贴纸,分别为4张普通贴纸,1张荧光贴纸,4张高级贴纸.
练5
1、解:
由打了53环,可知末尾的3环是由7环和5环的倍数构成的,
根据分析可知如果4发7环,3发5环,这时环数为:
4×7+3×5=43(环)
剩下的1发为10环,恰好与题意相符.
答:
他命中10环1发、7环4发、5环3发.
故答案为:
10环1发;7环4发;5环3发.
2、解:
设篮子里有煮蛋x个,茶蛋y个,皮蛋z个,那么煮蛋一共是0.6x元,茶蛋一共有y元,皮蛋1.2z元,列方程得:
x+y+z=30
0.6x+y+1.2z=24
由上可知:
z=2x-30
y=60-3x
由于篮子里有三种蛋,所以三个未知数都大于零.
所以15<x<20,所以符合题意的是当x=19时,z=8.
当三种蛋都存在时,最多有8个皮蛋.
答:
篮子里最多有8个皮蛋.
故答案为:
8个
解析
依题意本题可采用列方程的方法进行解答:
设篮子里有煮蛋x个,茶蛋y个,皮蛋z个,那么煮蛋一共是0.6x元,茶蛋一共有y元,皮蛋1.2z元根据题中三种蛋一共有30个,和总价钱24元列方程.
3、设猪x头,山羊y头,绵羊z头
则
即
得
即
y,z都为正整数
所以当
则
当
则
当
则
即有三种情况:
1、猪5头,山羊42头,绵羊53头
2、猪10头,山羊24头,绵羊66头
3、猪15头,山羊6头,绵羊79头