小学六年级奥数第40讲 不定方程后附答案.docx

1、小学六年级奥数第40讲 不定方程后附答案第40讲 不定方程一、知识要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x3y9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x3y9的解有：x2.4 x2.7 x3.06 x3.6y1 y1.5 y2.1 y3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x3，Y2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注

2、意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。对于有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。二、精讲精练【例题1】求3x+4y23的自然数解。先将原方程变形，y。可列表试验求解：X1234567Y52所以方程3x+4y23的自然数解为 X=1 x=5 Y=5 y=2练习11、求3x+2y25的自然数解。2、求4x+5y37的自然数解。3、求5x3y16的最小自然数解。【例题2】求下列方程组的正整数解。5x+7y+3z253xy6z2这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先

3、设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。5x+7y+3z25 3xy6z2 由2+，得13x+13y52 X+y4 把式变形，得y4x。因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x1时，y3当x2时，y2当x3时，y1把上面的结果再分别代入或，得x1，y3时，z无正整数解。 x2，y2时，z也无正整数解。 x3时，y1时，z1.所以，原方程组的正整数解为 x1 y1 z1练习2求下面方程组的自然数解。1、4x+3y2z7 2、 7x+9y+11z683x+2y+4z21 5x+7y+9z523、5x+7y+4z263xy6z2【例题3】一个商人将弹子放进两种盒子里

4、，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。设大盒子有x个，小盒子有y个，则 12x+5y99（x0，y0，x+y9） y（9912y）5经检验，符合条件的解有： x2 x7y15 y3所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。练习3.1、某校6（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔

5、共几枝？3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？【例题4】买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30xy）千克。根据题意得： 4x+3y+2（30xy）82 x10由式子可知：y20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：苹果987654321橘子24681012141618梨191817161514131211练习41、

6、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍，蓝皮球有多少只？2、用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角。问每种笔各买几枝？（每种都要买）3、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸每张2角。她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？【例题5】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？设一等奖有x人，二等奖有y人，三等

7、奖有z人。则 6x+3y+2z22 9x+4y+z22 由2，得12x+5y22 y x1x只能取1。Y2，代入得z5，原方程的解为 y2z5所以，一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。练习51、某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。他命中10环、7环和5环各几发？2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。已知煮蛋每个0.60元，茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋？3、一头猪卖3个银币，一头山羊卖1个银币，一头绵羊买个银币。有人用100个银币卖了这三种牲畜100头。问猪、山羊、绵羊各几头？ 第40周不定方程答案解析一、知识

8、要点当方程的个数比方程中未知数的个数少时，我们就称这样的方程为不定方程。如5x3y9就是不定方程。这种方程的解是不确定的。如果不加限制的话，它的解有无数个；如果附加一些限制条件，那么它的解的个数就是有限的了。如5x3y9的解有：x2.4 x2.7 x3.06 x3.6y1 y1.5 y2.1 y3如果限定x、y的解是小于5的整数，那么解就只有x3，Y2这一组了。因此，研究不定方程主要就是分析讨论这些限制条件对解的影响。解不定方程时一般要将原方程适当变形，把其中的一个未知数用另一个未知数来表示，然后再一定范围内试验求解。解题时要注意观察未知数的特点，尽量缩小未知数的取值范围，减少试验的次数。对于

9、有3个未知数的不定方程组，可用削去法把它转化为二元一次不定方程再求解。解答应用题时，要根据题中的限制条件（有时是明显的，有时是隐蔽的）取适当的值。二、精讲精练【例题1】求3x+4y23的自然数解。先将原方程变形，y。可列表试验求解：X1234567Y52所以方程3x+4y23的自然数解为 X=1 x=5 Y=5 y=2练习11、求3x+2y25的自然数解。2、求4x+5y37的自然数解。3、求5x3y16的最小自然数解。【例题2】求下列方程组的正整数解。5x+7y+3z253xy6z2这是一个三元一次不定方程组。解答的实话，要先设法消去其中的一个未知数，将方程组简化成例1那样的不定方程。5x+

10、7y+3z25 3xy6z2 由2+，得13x+13y52 X+y4 把式变形，得y4x。因为x、y、z都是正整数，所以x只能取1、2、3.当x1时，y3当x2时，y2当x3时，y1把上面的结果再分别代入或，得x1，y3时，z无正整数解。 x2，y2时，z也无正整数解。 x3时，y1时，z1.所以，原方程组的正整数解为 x1 y1 z1练习2求下面方程组的自然数解。1、4x+3y2z7 2、 7x+9y+11z683x+2y+4z21 5x+7y+9z523、5x+7y+4z263xy6z2【例题3】一个商人将弹子放进两种盒子里，每个大盒子装12个，每个小盒子装5个，恰好装完。如果弹子数为99

11、，盒子数大于9，问两种盒子各有多少个？两种盒子的个数都应该是自然数，所以要根据题意列出不定方程，再求出它的自然数解。设大盒子有x个，小盒子有y个，则 12x+5y99（x0，y0，x+y9） y（9912y）5经检验，符合条件的解有： x2 x7y15 y3所以，大盒子有2个，小盒子有15个，或大盒子有7个，小盒子有3个。练习3.1、某校6（1）班学生48人到公园划船。如果每只小船可坐3人，每只大船可坐5人。那么需要小船和大船各几只？（大、小船都有）2、甲级铅笔7角钱一枝，乙级铅笔3角钱一枝，小华用六元钱恰好可以买两种不同的铅笔共几枝？3、小华和小强各用6角4分买了若干枝铅笔，他们买来的铅笔中

12、都是5分一枝和7分一枝的两种，而且小华买来的铅笔比小强多，小华比小强多买来多少枝？【例题4】买三种水果30千克，共用去80元。其中苹果每千克4元，橘子每千克3元，梨每千克2元。问三种水果各买了多少千克？设苹果买了x千克，橘子买了y千克，梨买了（30xy）千克。根据题意得： 4x+3y+2（30xy）82 x10由式子可知：y20，则y必须是2的倍数，所以y可取2、4、6、8、10、12、14、16、18。因此，原方程的解如下表：苹果987654321橘子24681012141618梨191817161514131211练习41、有红、黄、蓝三种颜色的皮球共26只，其中蓝皮球的只数是黄皮球的9倍

13、，蓝皮球有多少只？2、用10元钱买25枝笔。已知毛笔每枝2角，彩色笔每枝4角，钢笔每枝9角。问每种笔各买几枝？（每种都要买）3、晓敏在文具店买了三种贴纸；普通贴纸每张8分，荧光纸每张1角，高级纸每张2角。她一共用了一元两角两分钱。那么，晓敏的三种贴纸的总数最少是多少张？【例题5】某次数学竞赛准备例2枝铅笔作为奖品发给获得一、二、三等奖的学生。原计划一等奖每人发6枝，二等奖每人发3枝，三等奖每人发2枝。后又改为一等奖每人发9枝，二等奖每人发4枝，三等奖每人发1枝。问：一、二、三等奖的学生各有几人？设一等奖有x人，二等奖有y人，三等奖有z人。则 6x+3y+2z22 9x+4y+z22 由2，得1

14、2x+5y22 y x1x只能取1。Y2，代入得z5，原方程的解为 y2z5所以，一等奖的学生有1人，二等奖的学生有2人，三等奖的学生有5人。练习51、某人打靶，8发打了53环，全部命中在10环、7环和5环。他命中10环、7环和5环各几发？2、篮子里有煮蛋、茶叶蛋和皮蛋30个，价值24元。已知煮蛋每个0.60元，茶叶蛋每个1元，皮蛋每个1.20元。问篮子里最多有几个皮蛋？3、一头猪卖3个银币，一头山羊卖1个银币，一头绵羊买个银币。有人用100个银币卖了这三种牲畜100头。问猪、山羊、绵羊各几头？答案：练11、 x1 x3 x5 x7 y11 y8 y5 y22、 x3 x8 y11 y13、

15、x5 y3练21、 x1y3z32、 x3 x4y4 y2z1 z23、 x3y1z1练31、设需要小船x只，大船y只。则3x+5y48，y根据题意，x可取1、6、11，方程的解是 x1 x6 x11 y9 y6 y3练41、因为三种皮球总共26只,每种皮球最多只能有24只,否则其他颜色都不存在了，如果黄皮球1只,那么蓝皮球9只;如果黄皮球2只,那么蓝皮球18只，不可能黄皮球3只,因为那样蓝皮球就27只了.2、设全部都是4角一枝的,则总钱数是元每只两角的少的钱数刚好是9角的多的钱数毛笔和钢笔的枝数比是所以购买枝数分别是:毛笔5枝,彩色笔18枝,钢笔2枝毛笔10枝,彩色笔11枝,钢笔4枝毛笔15

16、枝,彩色笔4枝,钢笔6枝3、以分做为单位,普通贴纸每张8分,荧光贴纸每张10分,高级贴纸每张20分.一共用了122分钱.a ,b ,求 a + b + c 的最小值希望总数最小,所以买越多贵的,能买到的数量越少,即总数越少.换句话说,便宜的尽量少买.普通贴纸最便宜,尽量少买它.能不能不买普通贴纸,不行,因为其他两种贴纸每张价格(以分为单位)都是10的倍数,而总共花了122分钱,不是10的倍数.那普通贴纸至少买多少张?末位数与总共花的钱122一样,都为2 ,所以最少 4 张普通贴纸.剩余分钱怎么花,尽量买贵的,高级贴纸每张20分最多还可以买 4 张 .最后剩下10分钱,买一张荧光贴纸.分钱花掉,

17、至少能买9张贴纸,分别为 4张普通贴纸 ,1张荧光贴纸 ,4张高级贴纸 .练51、解：由打了53环，可知末尾的3环是由7环和5环的倍数构成的，根据分析可知如果4发7环，3发5环，这时环数为：47+35=43(环)剩下的1发为10环，恰好与题意相符.答：他命中10环1发、7环4发、5环3发.故答案为：10环1发；7环4发；5环3发.2、解：设篮子里有煮蛋x个，茶蛋y个，皮蛋z个，那么煮蛋一共是0.6x元，茶蛋一共有y元，皮蛋1.2z元，列方程得：xyz=300.6x+y+1.2z=24由上可知：z=2x-30y=60-3x由于篮子里有三种蛋，所以三个未知数都大于零.所以15x20，所以符合题意的是当x=19时，z=8.当三种蛋都存在时，最多有8个皮蛋.答：篮子里最多有8个皮蛋.故答案为：8个解析依题意本题可采用列方程的方法进行解答：设篮子里有煮蛋x个，茶蛋y个，皮蛋z个，那么煮蛋一共是0.6x元，茶蛋一共有y元，皮蛋1.2z元根据题中三种蛋一共有30个，和总价钱24元列方程.3、设猪x头,山羊y头,绵羊z头则即得即,y,z都为正整数所以当则当则当则即有三种情况：1、猪5头,山羊42头,绵羊53头2、猪10头,山羊24头,绵羊66头3、猪15头,山羊6头,绵羊79头