高中数学知识梳理及公式要点.docx
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高中数学知识梳理及公式要点
【数学——高中数学知识梳理及公式要点】
第一章 集合与简易逻辑
考试内容：
集合、子集、补集、交集、并集。
逻辑联结词、四种命题、充分条件和必要条件。
考试要求：
（1）理解集合、子集、补集、交集、并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。
（2）理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解四种命题及其相互关系，掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。
一、集合的概念与运算
1．集合
（1）集合是不定义的概念：
①任意性；②确定性；③互异性；④无序性
（2）表示法：
列举法、描述法
（3）特殊符号：
（4）分类：
有限集、无限集、空集（）
2．子集、真子集
（1）对于任意
且存在，
（2），（子集包含空集与本身）
（3）子集个数是，有个真子集，有个非空子集，有个非真空子集。
（4）且
3．交集、并集、补集
（1）且
（2）或
（3）且
（4）
（5）容斥原理card（）=card（A）+card（B）—card（）
（6），
（7）反演律
（8）韦恩图
二、绝对值不等式、二次不等式的解法
1． 或
或
或
2．二次不等式
或， 或 或
3．有理不等式——序轴标根法
4．不等式恒成立
（1）恒成立（对于）或
（2）对于恒成立
（3）恒成立 恒成立
三、逻辑联结词，四种命题，充要条件
1．命题：
可以判断真假的语句
2．逻辑联结词：
或，且，非
3．简单命题：
不含逻辑联结词的命题
4．复合命题：
由简单命题和逻辑联结词构成的命题
5．真值表：
p
q
非p
p且q
p或q
非q
√
√
×
√
√
×
√
×
×
×
√
√
×
√
√
×
√
×
×
×
√
×
×
√
6．正面词：
是 一定是 都是 至多一个 至少一个
否定：
不是 一定不是 不都是 至少2个一个也没有
正面词：
任何所有至多有n个 至少n个任意2个 p或q p且q
否定：
某个 某些 至少有n+1个 至多n-1个某2个 非p且非q 非p或非q
7．四种命题：
原命题：
逆命题：
否命题：
逆否命题：
原命题逆否命题，逆命题否命题
原命题真逆命题真
8．反证法：
至多、至少问题、不可能问题
9．充要条件：
A是B的
（1）充分不必要条件：
AB
（2）必要不充分条件：
AB
（3）充要条件：
（4）既不充分也不必要条件：
AB
注：
①倒装句：
A的充分不必要条件是BB是A的充分不必要条件
A的必要不充分条件是BB是A的必要不充分条件
②集合观点：
ABA是B的充分不必要条件
BAA是B的必要不充分条件
第二章 函数
考试内容：
映射、函数、函数的单调性、奇偶性。
反函数、互为反函数的函数图像间的关系。
指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数。
对数、对数的运算性质、对数函数。
函数的应用。
考试要求：
（1）了解映射的概念，理解函数的概念。
（2）了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。
（3）了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。
（4）理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质。
（5）理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质。
（6）能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。
一、映射与函数
1．映射：
（1）：
一对一或多对一
（2）A中每个元素都有象
（3）B中的某些元素允许没有原象
2．一一映射：
一对一，B中每个元素都有原象
映射 3×3×3 4×4×4
一一映射 无（一对一） 无
满射 无
3．函数：
，，
4．相同函数：
定义域、值域、完全相同
5．求表达式的方法
（1）观察法；
（2）换元法；（3）待定系数法；（4）方程组法
二、定义域
1．求定义域
（1）
（2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9）定义域是或
（10）定义域是或
2．定义域的典型问题
（1）已知定义域是
（2）定义域是D，求定义域
（3）已知定义域是D，则，定义域是E
三、值域
1．图象法 如：
，，，或。
2．配方法：
3．分离法：
4．法
5．换元法
（1），令
（2），令
（3），令
（4），令，
（5） 令=t
（6），令sinx=t
6．反求法：
7．不等式法
8．几何法：
如斜率法，距离法
9．导数法
10．利用单调性，如
11．值域为或
四、函数的奇偶性
1．定义，对于任意定义域
（1）为偶函数
（2）为奇函数
（3）且定义域对称又是奇又是偶函数
（4）是非奇非偶函数
2．奇偶函数定义域必须关于原点对称，即：
定义域不对称的函数必然是非奇非偶函数
3．是奇函数，是奇函数，且在时有意义
4．奇（偶）函数图象关于原点（y轴）对称，反之亦然（前提是函数）
5．奇（偶）函数在对称区间内单调性相同（反）
6．在公共定义域内：
奇±奇＝奇，奇×奇＝偶，奇×偶＝奇，偶±偶＝偶，偶×偶＝偶
7．任一个定义域对称的函数＝偶+奇
8． 当b=0时为偶函数，当a=c=0时为奇函数
9．下列函数都是奇函数
五、周期函数是常数，对于任意,,称为周期函数，若T是周期，则
六，重要结论
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
七、函数的单调性
1．定义，设任意
（1）
（2）
2．证明函数的单调性要用定义
1）设 2）作差 3）变形 4）下结论
3．求函数的单调区间
（1）图象法
（2）复合法
（3）导数法 （4）定义法
4．单调区间是最大范围，不能“并”，如
5．常见函数的单调区间
（1）
（2）
（3）
（4）
（5） （0，），（，0）
八，反函数
1．存在条件：
一对一
2．求反函数的步骤：
1）由 2）交换
3）反函数定义域=原函数值域
3．
4．。
5．的奇偶性相同，单调性一致（但单调区间不一定相同）
6．重要结论
（1）点（a,b）与（b,a）关于直线对称
点（a,b）与（-b,-a）关于直线对称
（2）
（3）
（4）单调函数必有反函数，但反之不然，如
（5）周期函数必然没有反函数
九、二次函数
1．表达式
（1）一般式：
（2）交点式：
（3）顶点式：
2．弦长公式：
3．根的分布，利用图象
4．最值问题
（1）
（2）含参数的最值问题要依据a的符号，是否在内外讨论
十、指数，对数式
1．
2． 3． 4．
十一、指数函数，对数函数
1．图象与性质
定义域
值域
单调性 a＞1
0＜a＜1
图象规律：
（1）同类中 从大到小 从小到大
（2）大大得大，大小得小，小小得大
2．方程
（1）同底法
（2）换元法
（3）取对数法（形如）
（4）方程解的个数图象得交点个数
3．比较大小方法
（1）作差法
（2）单调性（3）插值法（常用0，1）（4）图象法（5）特值法
十二、图象变换
1、平移
（1）
（2）
2、对称
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）关于点（a,b）的对称曲线——反代法
（10）奇（偶）函数图象关于原点（y轴）对称
（11）
（12）
3．伸缩变换
（1）
（2）
第三章 数列
考试内容：
数列。
等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。
等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。
考试要求：
（1）理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。
（2）理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
（3）理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。
一、定义
1．按一定次序排列的一列数2．函数定义：
3．有序性，可重复性
二、表示法
1．通项法 ：
2．递推法 3．图示法：
离散点
三、通项公式
四、求
1．公式法
2．累加法 可求和
3．累乘法 可求积
4．构造法
五、单调数列
1．
2．为增（减）函数
六、等差、等比数列
1．定义：
2.公式
（1）通项
（2）前n项和
也是等差数列
3.性质
（1）是等差数列
（2）是等比数列
（3）三数成等差数列 四数成等差数列
三数成等比数列 四正数成等比
（4）是等比数列是等差数列
是等差数列是等比数列
（5）（等差）.（等比）
（6）是等差数列（等比）..…….是等差数列……也是等差数列（等比）
（7）是等差数列（等比）.则…也是等差（等比）
4.主要题型
（1）用基本量解题,而把问题化归为解题
（2）在等差数列中,已知,求
（3）在等差数列中求
（4）求最值（等差数列中）
：
则最大，：
则最小
（5）奇偶项问题
1.当
七.数列求和
1.公式法
（1）
（2）
2.拆项法
（1）拆项后用公式：
如
（2）拆项消去法
3.错位相减法
4.倒写相加法
第四章 三角函数
考试内容：
角的概念的推广，弧度制。
任意角的三角函数，单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式：
，正弦、余弦的诱导公式。
两角和与差的正弦、余弦、正切；二倍角的正弦、余弦、正切。
正弦函数、余弦函数的图像和性质，周期函数，函数的图像，正切函数的图像和性质，已知三角函数值求角。
正弦定理、余弦定理、斜三角形解法。
考试要求：
（1）了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。
（2）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数与最小正周期的意义。
（3）掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。
（4）能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。
（5）理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解A、ω、φ的物理意义。
（6）会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。
（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。
一、角的概念
1．推广、正负角、任意角、逆向（时针）为正
2．与终边相同的角 ，
3．终边在轴上的角：
，
终边在x轴上的角：
，
终边在坐标轴上的角：
，
4．象限角
5．弧长公式
6．扇形面积公式
7．弧度制
二．三角函数的定义
三、符号
四、比大小
1．同角不同名——三角函数线
2．同名不同角——单调性
3．是锐角
4．右图
五、同角公式
平方 倒数 商数
六、诱导公式：
奇变偶不变，符号看象限
如：
七、特殊角的三角函数值
八、三角公式
1、和差角公式
2、倍角公式 万能公式
3、半角公式，升降幂公式
4、积化和差，和差化积公式
九、三角解题思路
1、遇平方降幂
2、遇升幂
3、遇积化和差
4、遇和差化积
5、遇合一
6、遇弦的齐次式化切
7、遇切切，1切切化弦
8、变角：
9、
十、三角函数图象
1、图象与性质
定义域
R
R
，
值域
[-1，1]
[-1，1]
R
奇偶性
奇
偶
奇
周期
单调区间
2、三角函数图象
（1）五点法作的简图。
0
0
A
0
-A
0
（2）图象变换
①
②
③
十一、三角函数常见题型
1、求定义域
2、求周期（最小正周期）
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
注：
不是周期函数
3、求单调区间：
①确保x系数为正；②让角进入单调区间
4、奇偶性判断：
先看定义域是否对称
5、求对称轴：
令
令
6、求对称中心：
令，
，令，则对称中心是。
7、不等式，利用三角函数图象。
8、比较三角函数值大小，同名用单调性，同角用单位圆（三角函数线）
9、值域、最值问题，解题思路，化成同名同角形式。
（1）利用有界性，
①
②
（2）换元法
③
④关于的函数f（）
令则
⑤遇可令则
⑥ 令 用法
（3）不等式法
⑦
（4）反求法
⑧
（5）斜率法
⑨
（6）利用单调性
十二、已知三角函数值求角
1、步骤
（1）确定角所在的象限。
（2）先找锐角。
（3）根据所在的象限，定角。
Ⅰ，则，Ⅱ，则，Ⅲ，则，Ⅳ，则。
（4）写出通解，再找出适合条件的角。
2、反三角函数
（1） 则
则
则
（2）
（3）等价关系
或
或
第五章 平面向量
考试内容
向量、向量的加法与减法、实数与向量的积、平面向量的坐标表示、线段的定比分点、平面向量的数量积、平面两点间的距离、平移。
考试要求
（1）理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。
（2）掌握向量的加法和减法。
（3）掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。
（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。
（5）掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。
（6）掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。
一、向量
1、即有大小又有方向的量叫向量
2、方向是任意的
3、单位向量=1
4、平行向量共线向量方向相同或相反。
（注意）
5、相反向量
6、相等向量——方向相同，长度相等。
注：
（当不成立）。
二、向量的运算
1．加法
（1）平行四边形法则（共起点、对角线）
（2）三角形法则（首尾相连，起点到终点）
2．减法，共起点，终点指向被减数向量
3．实数与向量的积
（1）仍是一个向量
（2）运算律
（3）与非零向量共线有且只有一个，使
（4）
4．向量的数量积（内积）
（1）（是,夹角）
（2）在上投影
（3）运算律
① ② ③
但 （可能）
（4） （5）
三、平面向量的基本定理
不共线，在平面内任一向量，有且仅有唯一，使。
当为，时，即为直角坐标
四、平面向量的坐标运算
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7.
五、定比分点公式
即为中点 重心 内心
六、平移
1．点P经平移得
2．经平移得曲线
七、三角形的四心
1、外心
2、重心
3、内心
4、垂心
八、解斜三角形
1．中，
（1）
（2）正弦定理 （R是外接圆半径）
（3）余弦定理
（4）
其中为半周长
（5）
（6）锐角中，
2．解题方法
（1） 边角互化 利用正余弦定理化边或化角
（2） 设角
（3） 斯特瓦尔特方法
第六章不等式
考试内容：
不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的解法、含绝对值的不等式。
考试要求：
（1）理解不等式的性质及其证明。
（2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。
（3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。
（4）掌握简单不等式的解法。
（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│
一、比较大小法则
1．
2．
3．
二、不等式的基本性质
1． 2．
3．
4．
5．
6．
7． 8．
三、重要不等式
1．
2．
3．
4．
5．
6．
7．
注：
用不等式求最值要注意一正、二定、三等。
四、不等式证明方法
1．比较法
2．综合法，分析法
3．法
4．换元法
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
法一 法二
令 令
（6）
5．反证法
6．放缩法
五、解不等式
1．一元一次不等式
2．一元二次不等式
3．有理不等式
注意
（1）分母0
（2）
4．无理不等式
（I）
（II）
（III）
5．绝对值不等式
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
六、绝对值不等式的性质
1． 2．
3． 4．
5． 6．
七、不等式恒成立，能成立，恰成立问题
1．
2．
3．
4．
第七章 直线和圆的方程
考试内容：
直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式，直线方程的一般式。
两条直线平行与垂直的条件，两条直线的交角，点到直线的距离。
用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题。
曲线与方程的概念，由已知条件列出曲线方程。
圆的标准方程和一般方程，圆的参数方程。
考试要求：
（1）理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。
（2）掌握两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
（3）了解二元一次不等式表示平面区域。
（4）了解线性规划的意义，并会简单的应用。
（5）了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
（6）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
一、直线的方程
1．倾斜角
2．斜率
当，但是直线是存在的
3．直线的方程 不能表示的直线
（1）点斜式 x=m
（2）斜截式 x=m
（3）两点式 x=m，y=n
（4）截距式 ，过原点
（5）一般式
注意 截距不是距离，截距相等包含过原点的直线
4．直线系
过
二、两直线的位置关系
设，
注：
一般式中
三、距离公式
1．点
2．两平行直线
四．角的公式
1．到角公式：
2．夹角公式：
当
五、求对称点
关于直线
六、简单的线性规划
1．二元一次不等式表示平面区域
（1）表示平面内直线一侧的区域
（2）区域的判定
①特殊点法（取点代入的符号，就是该点所在区域的符号）
②把＞，＜看作，正正得右（上），负负得右（上），正负（负正）得左（下）
③对于不等式组所表示的区域是各个不等式表示平面点集的交集
（4）（<0）区域中，离直线距离越远的点（）代入越大（小）
2．线性规划
（1）求最值
1°先判断可行域是在还是区域
2°大于零区域距离越远Z越大
小于零区域距离越远Z越小
（2）求最值
（3）求范围
（4）整点问题，先求通解，再调整
七、曲线与方程
1．方程的曲线、曲线的方程
（1）曲线上的点的坐标都是方程的解
（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上
2．求轨迹方程的步骤
（1）建系
（2）设点（3）列式（4）化简（5）证明（略）
3．求轨迹方程的方法
（1） 直接法
（2） 几何法
（3） 反代法
（4） 参数法
（5） 五式法
4．弦长通用公式
5．对称性
（1） 则曲线关于y轴对称
（2） 则曲线关于x轴对称
（3） 则曲线关于原点对称
（4） 则曲线关于直线y=x对称
八、圆的方程
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