高中数学知识梳理及公式要点.docx

1、高中数学知识梳理及公式要点【数学高中数学知识梳理及公式要点】第一章 集合与简易逻辑考试内容：集合、子集、补集、交集、并集。逻辑联结词、四种命题、充分条件和必要条件。考试要求：(1)理解集合、子集、补集、交集、并集的概念，了解空集和全集的意义，了解属于、包含、相等关系的意义，掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合。(2)理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义，理解四种命题及其相互关系，掌握充分条件、必要条件及充要条件的意义。一、集合的概念与运算1集合（1）集合是不定义的概念：任意性；确定性；互异性；无序性（2）表示法：列举法、描述法（3）特殊符号： （4）分类：有限集、无限集

2、、空集（ ）2子集、真子集（1） 对于任意 且存在 ， （2） ， （子集包含空集与本身）（3） 子集个数是 ，有 个真子集，有 个非空子集，有 个非真空子集。（4） 且 3交集、并集、补集（1） 且 （2） 或 （3） 且 （4） （5）容斥原理card（ ）=card（A）+card（B）card（ ）（6） ， （7）反演律 （8）韦恩图二、绝对值不等式、二次不等式的解法1 或 或 或 2二次不等式 或 ， 或 或 3有理不等式序轴标根法4不等式恒成立（1） 恒成立（对于 ） 或 （2） 对于 恒成立 （3） 恒成立 恒成立 三、逻辑联结词，四种命题，充要条件1命题：可以判断真假的语句2

3、逻辑联结词：或，且，非3简单命题：不含逻辑联结词的命题4复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题5真值表：p q 非p p且q p或q 非q 6正面词： 是 一定是 都是 至多一个 至少一个否定： 不是 一定不是 不都是 至少2个 一个也没有正面词：任何 所有 至多有n个 至少n个任意2个 p或q p且q否定：某个 某些 至少有n+1个 至多n-1个 某2个 非p且非q 非p或非q7四种命题：原命题： 逆命题： 否命题： 逆否命题： 原命题 逆否命题，逆命题 否命题原命题真 逆命题真8反证法：至多、至少问题、不可能问题9充要条件：A是B的（1）充分不必要条件：A B（2）必要不充分条件：A

4、B（3）充要条件： （4）既不充分也不必要条件：A B注：倒装句：A的充分不必要条件是B B是A的充分不必要条件A的必要不充分条件是B B是A的必要不充分条件集合观点：A B A是B的充分不必要条件B A A是B的必要不充分条件第二章 函数考试内容：映射、函数、函数的单调性、奇偶性。反函数、互为反函数的函数图像间的关系。指数概念的扩充、有理指数幂的运算性质、指数函数。对数、对数的运算性质、对数函数。函数的应用。考试要求：(1)了解映射的概念，理解函数的概念。(2)了解函数单调性、奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法。(3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求

5、一些简单函数的反函数。(4)理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，掌握指数函数的概念、图像和性质。(5)理解对数的概念，掌握对数的运算性质，掌握对数函数的概念、图像和性质。(6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题。一、映射与函数1映射： （1） ：一对一或多对一（2）A中每个元素都有象（3）B中的某些元素允许没有原象2一一映射： 一对一，B中每个元素都有原象映射 333 444 一一映射 无（一对一 ） 无满射 无 3函数： ， ， 4相同函数：定义域、值域、 完全相同5求 表达式的方法（1）观察法；（2）换元法；（3）待定系数法；（4）方程组法二、定

6、义域1求定义域（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9） 定义域是 或 （10） 定义域是 或 2定义域的典型问题（1）已知 定义域是 （2） 定义域是D，求 定义域 （3）已知 定义域是D，则 ， 定义域是E三、值域1图象法 如： ， ， ， 或 。2配方法： 3分离法： 4 法5换元法（1） ，令 （2） ，令 （3） ，令 （4） ，令 ，（5） 令 =t（6） ，令sinx=t6反求法： 7不等式法8几何法：如斜率法 ，距离法 9导数法10利用单调性，如 11 值域为 或 四、函数的奇偶性1定义，对于任意 定义域（1） 为偶函数（2） 为奇函数（3） 且定义

7、域对称 又是奇又是偶函数（4） 是非奇非偶函数2奇偶函数定义域必须关于原点对称，即：定义域不对称的函数必然是非奇非偶函数3 是奇函数 ， 是奇函数，且在 时有意义 4奇（偶）函数图象关于原点（y轴）对称，反之亦然（前提是函数）5奇（偶）函数在对称区间内单调性相同（反）6在公共定义域内：奇奇奇，奇奇偶，奇偶奇，偶偶偶，偶偶偶7任一个定义域对称的函数 偶+奇8 当b=0时为偶函数，当a=c=0时为奇函数9下列函数都是奇函数五、周期函数 是常数，对于任意 , ,称 为周期函数，若T是 周期，则 六，重要结论1 2 3 4 5 6 7 七、函数的单调性1定义，设任意 （1） （2） 2证明函数的单调性

8、要用定义1）设 2）作差 3）变形 4）下结论3求函数的单调区间（1）图象法 （2）复合法 （3）导数法 （4）定义法4单调区间是最大范围，不能“并”，如 5常见函数的单调区间（1） （2） （3） （4） （5） （0， ） ，（ ，0） 八，反函数1存在条件： 一对一2求反函数的步骤：1）由 2）交换 3）反函数定义域=原函数值域3 4 。5 的奇偶性相同，单调性一致（但单调区间不一定相同）6重要结论（1）点（a,b）与(b,a)关于直线 对称 点（a,b）与(-b,-a)关于直线 对称（2） （3） （4）单调函数必有反函数，但反之不然，如 （5）周期函数必然没有反函数九、二次函数1表达

9、式（1）一般式 ： （2）交点式 ： （3）顶点式 ： 2弦长公式 ： 3根的分布，利用图象 4最值问题（1） （2）含参数的最值问题要依据a的符号， 是否在 内外讨论十、指数，对数式1 2 3 4 十一、指数函数，对数函数1图象与性质定义域 值域 单调性 a1 0 a1 图象规律：（1）同类中 从大到小 从小到大（2）大大得大，大小得小， 小小得大2方程（1）同底法 （2）换元法 （3）取对数法（形如 ）（4）方程解的个数 图象得交点个数3比较大小方法（1）作差法（2）单调性（3）插值法（常用0，1）（4）图象法（5）特值法十二、图象变换1、平移（1） （2） 2、对称（1） （2） （3）

10、 （4） （5） （6） （7） （8） （9） 关于点（a,b）的对称曲线 反代法（10）奇（偶）函数图象关于原点（y轴）对称（11） （12） 3伸缩变换（1） （2） 第三章 数 列考试内容：数列。等差数列及其通项公式，等差数列前n项和公式。等比数列及其通项公式，等比数列前n项和公式。考试要求：(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义，了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项。(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题。一、定义

11、1按一定次序排列的一列数 2函数定义： 3有序性，可重复性二、表示法1通项法 ： 2递推法 3图示法 ： 离散点三、通项公式 四、求 1公式法 2累加法 可求和3累乘法 可求积4构造法 五、单调数列1 2 为增（减）函数六、等差、等比数列1定义： 2.公式(1)通项 (2)前n项和 也是等差数列3.性质(1) 是等差数列 (2) 是等比数列 (3)三数成等差数列 四数成等差数列 三数成等比数列 四正数成等比 (4) 是等比数列 是等差数列 是等差数列 是等比数列(5) （等差）. （等比）(6) 是等差数列(等比). . .是等差数列 也是等差数列(等比)(7) 是等差数列(等比).则 也是等

12、差(等比)4.主要题型(1)用基本量解题,而把问题化归为 解题(2)在等差数列中,已知 ,求 (3)在等差数列中求 (4)求 最值(等差数列中)： 则 最大， ： 则 最小(5)奇偶项问题1. 当 七.数列求和1.公式法(1) (2) 2.拆项法(1)拆项后用公式：如 (2)拆项消去法 3.错位相减法4.倒写相加法 第四章 三角函数考试内容：角的概念的推广，弧度制。任意角的三角函数，单位圆中的三角函数线，同角三角函数的基本关系式：，正弦、余弦的诱导公式。两角和与差的正弦、余弦、正切；二倍角的正弦、余弦、正切。正弦函数、余弦函数的图像和性质，周期函数，函数 的图像，正切函数的图像和性质，已知三角

13、函数值求角。正弦定理、余弦定理、斜三角形解法。考试要求：(1)了解任意角的概念、弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算。(2)理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义，掌握同角三角函数的基本关系式，掌握正弦、余弦的诱导公式，了解周期函数与最小正周期的意义。(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式，掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。(4)能正确运用三角公式进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明。(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数 的简图，理解A、的物理意义。(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcs

14、in x、arccos x、arctan x表示。(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形。一、角的概念1推广、正负角、任意角、逆向（时针）为正2与 终边相同的角 ， 3终边在 轴上的角： ， 终边在x轴上的角： ， 终边在坐标轴上的角： ， 4象限角5弧长公式 6扇形面积公式 7弧度制 二三角函数的定义三、符号四、比大小1同角不同名三角函数线2同名不同角单调性3 是锐角 4右图五、同角公式平方 倒数 商数 六、诱导公式：奇变偶不变，符号看象限如： 七、特殊角的三角函数值 八、三角公式1、和差角公式2、倍角公式 万能公式3、半角公式，升降幂公式4、积化和差，和差化积公式九、三角

15、解题思路1、遇平方降幂 2、遇 升幂3、遇积化和差4、遇和差化积5、遇 合一 6、遇弦的齐次式化切7、遇切 切，1 切切化弦8、变角： 9、 十、三角函数图象1、图象与性质 定义域 R R ， 值域 -1，1 -1，1 R 奇偶性 奇 偶 奇 周期 单调区间 2、三角函数图象（1）五点法作 的简图。0 0 A 0 -A 0 （2）图象变换 十一、三角函数常见题型1、求定义域2、求周期（最小正周期）（1） （2） （3） （4） （5） （6） 注： 不是周期函数3、求单调区间：确保x系数为正；让角进入单调区间4、奇偶性判断：先看定义域是否对称5、求对称轴： 令 令 6、求对称中心： 令 ，令

16、，则对称中心是 。7、不等式，利用三角函数图象。8、比较三角函数值大小，同名用单调性，同角用单位圆（三角函数线）9、值域、最值问题，解题思路，化成同名同角形式。（1）利用有界性， （2）换元法 关于 的函数f( )令 则 遇 可令 则 令 用 法（3）不等式法 （4）反求法 （5）斜率法 （6）利用单调性十二、已知三角函数值求角1、步骤（1）确定角 所在的象限。（2）先找锐角 。（3）根据 所在的象限，定角。 ，则 ， ，则 ， ，则 ， ，则 。（4）写出通解，再找出适合条件的角。2、反三角函数（1） 则 则 则 （2） （3）等价关系 或 或 第五章 平面向量考试内容向量、向量的加法与减法

17、、实数与向量的积、平面向量的坐标表示、线段的定比分点、平面向量的数量积、平面两点间的距离、平移。考试要求(1)理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。(2)掌握向量的加法和减法。(3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件。(4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。(5)掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。(6)掌握平面两点间的距离公式，以及线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。一、向量1、即有大小又有方向的量叫向量2、 方向是任意的3

18、、单位向量 =14、平行向量 共线向量 方向相同或相反。（注意 ）5、相反向量 6、相等向量方向相同，长度相等。注： （当 不成立）。二、向量的运算1加法（1）平行四边形法则（共起点、对角线）（2）三角形法则（首尾相连，起点到终点） 2减法，共起点，终点指向被减数向量3实数与向量的积（1） 仍是一个向量 （2）运算律 （3） 与非零向量 共线 有且只有一个 ，使 （4） 4向量的数量积（内积）（1） （ 是 , 夹角） （2） 在 上投影 （3）运算律 但 （可能 ）(4) (5) 三、平面向量的基本定理 不共线，在平面内任一向量 ，有且仅有唯一 ，使 。当 为 ， 时， 即为直角坐标四、平面

19、向量的坐标运算1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 五、定比分点公式 即为中点 重心 内心 六、平移1点P经 平移得 2 经 平移得曲线 七、三角形的四心1、外心 2、重心 3、内心 4、垂心 八、解斜三角形1 中， （1） （2）正弦定理 (R是 外接圆半径)（3）余弦定理 （4） 其中 为半周长（5） （6）锐角 中， 2解题方法（1） 边角互化 利用正余弦定理化边或化角（2） 设角（3） 斯特瓦尔特方法 第六章 不等式考试内容：不等式、不等式的基本性质、不等式的证明、不等式的解法、含绝对值的不等式。考试要求：(1)理解不等式的性质及其证明。(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均

20、数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用。(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式。(4)掌握简单不等式的解法。(5)理解不等式a-ba+ba+b一、比较大小法则1 2 3 二、不等式的基本性质1 2 3 4 5 6 7 8 三、重要不等式1 2 3 4 5 6 7 注：用不等式求最值要注意一正、二定、三等。四、不等式证明方法1比较法 2综合法，分析法3 法4换元法（1） （2） （3） （4） （5） 法一 法二令 令 （6） 5反证法6放缩法五、解不等式1一元一次不等式 2一元二次不等式 3有理不等式注意（1）分母 0 （2） 4无理不等式（I） （II） （III） 5绝对

21、值不等式（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 六、绝对值不等式的性质1 2 3 4 5 6 七、不等式恒成立，能成立，恰成立问题1 2 3 4 第七章 直线和圆的方程考试内容：直线的倾斜角和斜率，直线方程的点斜式和两点式，直线方程的一般式。两条直线平行与垂直的条件，两条直线的交角，点到直线的距离。用二元一次不等式表示平面区域，简单的线性规划问题。曲线与方程的概念，由已知条件列出曲线方程。圆的标准方程和一般方程，圆的参数方程。考试要求：(1)理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式，并能根据条件熟练地求出直线方程。(2)掌握

22、两条直线平行与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。(3)了解二元一次不等式表示平面区域。(4)了解线性规划的意义，并会简单的应用。(5)了解解析几何的基本思想，了解坐标法。(6)掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。一、直线的方程1倾斜角 2斜率 当 ，但是直线是存在的3直线的方程 不能表示的直线（1）点斜式 x=m（2）斜截式 x=m（3）两点式 x=m，y=n （4）截距式 ，过原点（5）一般式 注意 截距不是距离，截距相等包含过原点的直线4直线系过 二、两直线的位置关系设 ， 注：一般式中 三、距离公式1

23、点 2两平行直线 四角的公式1到角公式： 2夹角公式： 当 五、求对称点关于直线 六、简单的线性规划1二元一次不等式表示平面区域（1） 表示平面内直线 一侧的区域（2） 区域的判定特殊点法（取点代入的符号，就是该点所在区域的符号）把，看作 ，正正得右（上），负负得右（上），正负（负正）得左（下）对于不等式组所表示的区域是各个不等式表示平面点集的交集（4） （0）区域中，离直线 距离越远的点（ ）代入 越大（小）2线性规划（1）求 最值1先判断可行域是在 还是 区域2大于零区域距离越远Z越大小于零区域距离越远Z越小（2）求 最值（3）求 范围（4）整点问题，先求通解，再调整七、曲线与方程1方程的曲线、曲线的方程（1）曲线上的点的坐标都是方程的解（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上2求轨迹方程的步骤（1）建系（2）设点（3）列式（4）化简（5）证明（略）3求轨迹方程的方法（1） 直接法（2） 几何法（3） 反代法（4） 参数法（5） 五式法4弦长通用公式 5对称性（1） 则曲线关于y轴对称（2） 则曲线关于x轴对称（3） 则曲线关于原点对称（4） 则曲线关于直线y=x对称八、圆的方程