立体几何第七讲空间角距离练习题含答案.docx
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立体几何第七讲空间角距离练习题含答案
第七节空间角距离
（一）线面角
•选择题
1•把正方形沿对角线AC折起，当以A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直
线BD和平面ABC所成的角的大小为（）
A•90B•60C•45D•30
2.把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以
A,B,C,D四点为顶点的三棱锥体积最大时,
直线BD和平面ABC所成的角的大小为（）.
60o,则直线PC与平面PAB
12条面对角线中，与截面
D•6
E为PC中点，则直线AC与截面BDE所成的角
则对角线AiC与侧面
3•PA,PB,PC是从P引出的三条射线，每两条的夹角都是所成的角的余弦值为（）
Co
4•设E,F是正方体ACi的棱AB和DiCi的中点，在正方体的AiECF成60。
角的对角线的数目是（）
A•0B•2C•4
二，填空题
5•正四棱锥P-ABCD的所有棱长都相等,
6•已知正三棱柱ABC-AiBiCi的所有棱长都相等，D是AiCi的中点，则直线AD与平面BiDC所成角的正弦值为.
7•棱长都为2的直平行六面体ABCD—AiBiCiDi中，/BAD=60
DCCiDi所成角的余弦值为.
三.简答题&如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA-
底面ABCD,AC,PA=2,E是PC上的一点，
PE=2ECo
（I）证明：
PC_平面BED;
（n）设二面角A-PB-C为90，求PD与平面PBC所成角的
大小。
9.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形,
AD丄PD,BC=1,PC=2.3,PD=CD=2.
（I）求异面直线PA与BC所成角的正切值；
（II）证明平面PDCL平面ABCD
（III）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值。
10.如图，在侧棱锥垂直底面的四棱锥ABCD-AiBiCiDi中，AD//BC,AD丄AB,
AB=.2oAD=2,BC=4,AAi=2,E是DDi的中点，F是平面BQiE与直线AAi的交点。
（1）证明：
（i）EF/AiDi；
（ii）BA」平面BiCiEF;
（2）求BCi与平面BiCiEF所成的角的正弦值。
（■MU）
ii.如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD_底面ABCD,
点E在棱PB上.
（I）求证：
平面AEC_平面PDB;
（n）当PD二..2AB且E为PB的中点时，求AE与平面PDB所成的角的大小.
（二）面面角
（1）求证：
BC丄AD;
（2）若点D到平面ABC的距离等于3,求二面角A—BC—D的正弦值；
（3）设二面角A—BC—D的大小为r猜想二为何值时，四面体A—BCD的体积最大.（不要求证明）
3.如图，在长方体ABCD—AiBiCiDi中，AB=2,BB1=BC=1,E为DQi的中点，连结
ED,EC,EB和DB.
（1）求证：
平面EDB丄平面EBC;
（2）求二面角E—DB—C的正切值.
4.
如图，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中,
1
SA丄面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=
2
（1）求四棱锥S—ABCD的体积；
（2）求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值.
（提示：
延长BA,CD相交于点E,则直线SE是所求二面角的棱.）
5.如图，三棱锥P—ABC中，PC_平面ABC,PC=AC=2,AB=BC,D是PB上一点,且CD_平面PAB.
（1）求证：
AB_平面PCB;
（2）求异面直线AP与BC所成角的大小;
（3）
求二面角C-PA-B的大小的余弦值.
6•如图所示，已知在矩形
ABCD中，AB=1,BC=a（a>0）,
PA丄平面AC，且PA=1.
（1）试建立适当的坐标系，并写出点P、B、D的坐标;
（2）
问当实数a在什么范围时，BC边上能存在点Q,使得PQ丄QD?
（3）当BC边上有且仅有一个点Q使得PQ丄QD时,求二面角Q-PD-A的余弦值大小.
7.
如图，在底面是棱形的四棱锥p_ABCD中，
在PD上，且pE:
ed=2：
1.
（1）证明PA_平面ABCD；
⑵求以AC为棱，EAC与DAC为面的二面角
（3）在棱PC上是否存在一点F,使BF//平面
&已知四棱锥S—ABCD的底面ABCD是正方形，SA丄底面
ABCD,E是SC上的任意一点.
（1）求证：
平面EBD丄平面SAC;
（2）设SA=4,AB=2,求点A到平面SBD的距离；
（3）当SA的值为多少时，二面角B—SC—D的大小为120°?
9•如图，在三棱锥P-ABC中，APB=90,PAB=60,AB=BC=CA，点P在平面ABC内的射影O在AB上。
（I）求直线PC与平面ABC所成的角的大小;
（n）求二面角B-AP-C的大小。
10.已知直三棱柱ABC-A^G中，AB=4,AC=BC=3,D为AB的中点。
（I）
求异面直线CC1和AB的距离；（H）若AB1_AC，求二面角A-CD-耳的平面角的余弦值。
ADS
第七节空间角距离答案
（一）线面角
一。
选择题
1,C解析：
当三棱锥D—ABC体积最大时，平面DAC丄ABC,取AC的中点0,则
△DB0是等腰直角三角形，即/DB0=45°
2.C当三棱锥D-ABC体积最大时，平面DAC_ABC，取AC的中点0,
则厶DBC是等要直角三角形，即•DB0=45°
3,
D4,
C
-一二
。
填空题
4
.3
5.
45°
6.-
7.-
5
4
三
简答题
8,【命题意图】本试题主要是考查了四棱锥中关于线面垂直的证明以及线面角的求解的运
用。
从题中的线面垂直以及边长和特殊的菱形入手得到相应的垂直关系和长度，并加以证明
和求解。
解：
设ACBD=0,以0为原点，0C为x轴，0D为y轴建立空间直角坐标系，则
A（-'、2,0,0）,CC，2,0,0）,P（-'、2,0,2）,设B（o,-a,0）,D（0,a,0）,E（x,y,z）。
PCBD=（2屁0,-2）（0,2a,0）=0。
所以PC丄BE,PC丄BD，所以PC_平面BED；
（n）设平面PAB的法向量为n=（x,y,z），又AP=（0,0,2）,AB=2,a,0）由
于一面角a-pb_C为90，所以mn=0，解得a='、2。
所以PD=（72,J2,-2）,平面PBC的法向量为m=（1,—1,J2）,所以pd与平面ppc
所成角的正弦值为
，所以pD与平面pbc所成角为一.
|PD||m|2PBC6
【点评】试题从命题的角度来看，整体上题目与我们平时练习的试题和相似，底面也是特殊
的菱形，一个侧面垂直于底面的四棱锥问题，那么创新的地方就是点E的位置的选择是一
般的三等分点，这样的解决对于学生来说就是比较有点难度的，因此最好使用空间直角坐标
系解决该问题为好。
9,【解析】（I）AD//BC=.PAD是PA与BC所成角
在：
ADP中，AD_PD,AD=BC=1,PD=2
PD
tan一PAD2
AD
异面直线PA与BC所成角的正切值为2
（II）AD_PD,AD_DC,PDDC=D-AD_面PDC
AD面ABCD平面PDC_平面ABCD
（III）过点P作PE_CD于点E，连接BE
平面PDC—平面ABCD=PE_面ABCD=.PBE是直线PB与平面ABCD所成角
CD二PD=2,PC=2..3二.PDC=120二PE3,DE=1
在RtBCE中，BE二BC2CE2二10二PB二BE2PE2二13
pea/39
在Rt.BPE中，sin•PBE二
PB13
平面ADD1A1，所以C1B1//平面ADD1
10,【解析】
（1）（i）因为C1B1//A1D1，C1B1=
A1.
又因为平面B1C1EF平面ADD1A仁EF，所以C1B1//EF.所以
AD//EF.
（ii）因为BB^A1B1C1D1，所以BB1_B1C1,
又因为BB1_B1A，所以B1C1一ABB1A1，
在矩形ABB1A中，F是AA的中点，即tan.A1B1F=tan.ARB•即
2
ABiF=•AA|B，故BA]IBiF.
所以BA1_平面B1C1EF.
⑵设BA与BiF交点为H，连结CiH.
由
（1）知BiCiEF，所以.BCiH是BCi与平面BGEF所成的角•在矩形ABBiA中,
旦，所以BC与平面BiCiEF所成角的正弦值是
I5
ii,证明：
（I）T四边形ABCD是正方形，•••AC丄BD,
•/PD_底面ABCD,
•PD丄AC,•AC丄平面PDB,
•平面AEC_平面PDB.
（H）设ACnBD=O，连接OE,由（I）知AC丄平面PDB于O,
•••/AEO为AE与平面PDB所的角，
•O,E分别为DB、PB的中点，
1宀工
•OE//PD,OEPD，又•••PD_底面ABCD,
2
•OE丄底面ABCD,OE_LAO,
1逅
在Rt△AOE中，OEPDAB=AO,
22
••AOE=45，即AE与平面PDB所成的角的大小为45.,
（二）面面角
1,【解】（I）*PA—平面ABCD,
.AB是PB在平面ABCD上的射影，又AB_AC,AC平面ABCD,
.AC—PB.
（n）连接BD，与AC相交与O,连接EO,
又PB二平面AEC,EO平面AEC,
.PB平面AEC,
（川）如图，取AD的中点F,连EF,F0,则
EF是厶PAD的中位线，.EF//PA又PA_平面ABCD,.EF_平面ABCD
同理F0是厶ADC的中位线，.FO//AB.FO_AC由三垂线定理可知..EOF是二面角
11
E-AC—D的平面角.又FO=—AB=-PA=EF。
22
ZEOF=45而二面角E-AC-B与二面角故所求二面角E-AC-B的大小为135.
2,证明：
（1）取BC中点O,连结AO,DO.
•••△ABC,^BCD都是边长为4的正三角形,
•••AO丄BC,DO丄BC,且AOADO=O,
•••BC丄平面AOD.又AD平面AOD,
E—AC—D互补,
•BC丄AD.
DE丄AD，垂足为E.
•/BC丄平面ADO，且BC二平面ABC,
•平面ADO丄平面ABC.又平面ADO门平面
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