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大学高等数学下考试题库附答案

《高等数学》试卷6（下）

•选择题（3分10）

1•点M1

A.3

2.向量a

2,3,1

i

到点M22,7,4

的距离m1m2

D.6

j，则有（

（

）.

）.

B.4

2j

C.5

k,b2i

A.a//b

B

.a丄b

C.

〈a，b）

D.{a,b\—

3

/4

x

1

y5

z8和L

xy

6

3.设有直线J

2:

2yz

c，则L1与L2的夹角为

3

1

2

1

（A）—

;

（B）

;

（C）—

;

（D）—

6

4

3

2

4.两个向量a与b垂直的充要条件是（

）

A.ab

0

B.a

b

0

C.a

b

0

D.a

b0

5屈数z

3x

3y

3xy的极小值是（

）

A.2

B.

2

C

11

D.

1

6.设z

xsiny

，则

z

=

二（

）.

y1,4

2A.

2

、2B.

2

-c.V2

D.-2

7.级数（

n1

1）n（1

cos—）（

n

0）是（）

（A）发散;

（B）

条件收敛；

（C）绝对收敛；

（D）敛散性与有关

8.幕级数

n

—的收敛域为（

）.

n1n

A.1,1

B

1,1

C.1,1

D.1,1

9.幕级数

x

n

在收敛域内的和函数是（

）.

n0

2

1

2

2

1

A.-

B.

C.-

D.-

1x

2x

1x

2x

二填空题（4分

5）

1•一平面过点A0,0,3且垂直于直线AB，其中点B2,1,1，则此平面方程为

2.函数zsinxy的全微分是

zz

y，求一,—

y

n

5..级数（x2）的收敛区间为

n1n

三.计算题（5分6）

1.设zeusinv，而uxy,vx

试卷6参考答案

三.计算题

zxy.

exsinxycosxyy

2y

z1

z

2.—

x

2

2

3.

d

sin

d

0

16

3

4.-

R.

3

5.y

3x

2x

e

e.

四应

用题

31-

1.长、宽、高均为2m时，用料最省

2.y

《高数》试卷

7（下）

一.选择题（3分10）

1.点M14,3,1，M27,1,2

的距离

M[M2

（）

A.B.

c.J14

D.J15

2.设两平面方程分别为x

2y2z

10和xy

50，则两平面的夹角为

A.—B.—

C.—

D.—

64

3

2

3.点P1,2,1到平面x

2y2z

50的距离为（

）.

A.3B.4

C.5

D.6

4.若几何级数arn是收敛的，则（）.

n0

A.r1b.r1c.r1d.r1

8.幕级数n1xn的收敛域为（）.

n0

A.1,1B.1,1C.1,1D.1,1

、仏sinna曰/、

9.级数—是（）.

n1n

A.条件收敛

B.绝对收敛

C.发散

D.不能确定

10.•考虑二元函数f（x,y）的下列四条性质：

（1）f（x,y）在点（xo,yo）连续；

（2）fx（x,y）,fy（x,y）在点（xo,y°）连续

（3）f（x,y）在点（xo,yo）可微分；（4）fx（xo,y°）,fy（xo,y°）存在.

若用

“P

Q”

表示有性质

P推出性质

Q,则有（）

（A）

（2）

⑶

（1）；

（B）

⑶

（2）

（1）

（C）

（3）

⑷

（1）；

（D）

⑶

（1）

（4）

二填空题（4分5）

1.级数（x3）的收敛区间为.

n1n

2.函数zexy的全微分为.

22

3•曲面z2x4y在点2,1,4处的切平面方程为

1

4.」亏的麦克劳林级数是•

1x2

三.计算题（5分6）

1.设a

i2j

k,b

2j

3k,求ab.

2

2一

z

z

2.设z

uvuv

，而

u

xcosy,v

xsiny，求-

—

J■

x

y

3.已知隐函数z

zx,y

由

3小

x3xyz

2确定，求-

z

z

J•

x

y

4.设

是锥面z

x2

y

2（0z

1）下侧，计算

xdydz2ydzdx3（z1）dxdy

四.应用题（10分2）

试用二重积分计算由yx,y2、.X和x4所围图形的面积

试卷7参考答案

.选择题CBABACCDBA.

填空题

x2y2z1

1.

112

2.exyydxxdy.

3.8x8yz4.

n2n

4.1X.

n0

3

5.yx.

三.计算题

1.8i3j2k.

z

2.——

x

3x2sinycosycosy

siny,—

2x3sinycosysinycosy

x3

sin3y

cos3y

3.

z

yz

z

xz

2,

2

x

xyz

y

xyz

32

3

2

4.

—

a—

—

3

2

3

5.

y

小2x

C〔e

x

C2e.

四应用题

16

1.

3.

2.

x

2gt2

V°t

x.

2

《高等数学》试卷3（下）

1、二阶行列式

2-3

的值为（

）

45

A、10B、20C、

24D、

22

2、设a=i+2j-k,b=2j+3k

，则a与b

的向里积为（

）

、选择题（本题共

10小题，每题3分，共30分）

A、i-j+2k

B、8i-j+2k

C、8i-3j+2k

D、8i-3i+k

点P（-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（

函数z=xsiny在点（1，）处的两个偏导数分别为

4

B、

C、

5、设x2+y2+z2=2Rx,

——,——分另"为（

xy

6、设圆心在原点，半径为

R，面密度为

A、R2A

B、2R2A

C、3R2A

7、级数

1）n

n

—的收敛半径为（

n

C、1

8、

cosx的麦克劳林级数为（

2n

no（怙

2n

9、微分方程（y''）4+（y'）5+y'+2=0的阶数是（

A、一阶B、二阶C、三阶

10、微分方程y''+3y'+2y=0的特征根为（

.2

2

D、

1r2a

四阶

的薄板的质量为

2

）（面积A=R）

1）n

2n

x

2n1

1）A

A、-2,-1B、2,1C、-2,1D、1,-2

二、填空题（本题共

5小题，每题4分，共20分）

1、

直线L1:

x=y=z

与直线L2：

2、

x1

2

（0.98）2.03的近似值为

直线L3：

「心z的夹角为

21

-与平面3x2y6z0之间的夹角为

2

sin1O0的近似值为

重积分

d,D:

x2y21的值为

D

幕级数

n

n!

xn的收敛半径为

n

—的收敛半径为

non!

5、微分方程y'=xy的一般解为，微分方程xy'+y=y2的解为

三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）

1、用行列式解方程组「-3x+2y-8z=17

电2x-5y+3z=3

-x+7y-5z=2

2、求曲线x=t,y=t2,z=t3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程

3、计算xyd，其中D由直线y1,x2及yx围成•

D

收敛？

4、问级数

（1）nsin1收敛吗？

若收敛，则是条件收敛还是绝对

n1n

5、将函数f（x）=e3x展成麦克劳林级数

6、用特征根法求y''+3y'+2y=0的一般解

四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分）

1、求表面积为a2而体积最大的长方体体积。

2、放射性元素铀由于不断地有原子放射出微粒子而变成其它元素，铀的含量就不断减小，这种现象叫

做衰变。

由原子物理学知道，铀的衰变速度与当时未衰变的原子的含量M成正比，（已知比例系数为k）

已知t=0时，铀的含量为M。

，求在衰变过程中铀含量M（t）随时间t变化的规律。

参考答案

、选择题

1、D2、C

4、A

5、B6、D

7、C

9、B

10,A

二、填空题

1、

ar

2

cos—

■18

.8

arcsin-

21

2、0.96,0.17365

J!

、0,

X2

ce2,cx

计算题

1、

-32

-8

解：

△=

2-5

（-3）

7-5

-53-2

x

23+

（-8）

2-5=-

7-5

1-5

138

x

172

-8

△x=

-5

3=17

7-5

x-

53-2

x

33+

（-8）x

3-5=-1

7-5

2-5

27

38

同理:

-3

17-8

△y=

3=276

△z=414

2-5

所以,

方程组的解为

2,z

23

2、解：

因为x=t,y=t,z=t,所以xt=1,yt=2t,zt=3t2,

所以Xt11=1=1,yt|t=1=2,zt|t=1=3

故切线方程为:

法平面方程为:

x1y1z1〒~^2

（x-1）+2（y-1）+3（z-1）=0

即x+2y+3z=63、解：

因为D由直线y=1,x=2,y=x围成,

所以

D:

3

（2y中dy

y

22

故：

xyd[xydx]dy

Dy

4、解：

这是交错级数，因为

所以，原级数条件收敛

用2x代x,得:

6、解：

特征方程为r2+4r+4=0

所以，（r+2）2=0

得重根「1=「2=-2，其对应的两个线性无关解为y1=e-2x,y2=xe-2x

所以，方程的一般解为y=（c1+c2x）e-2x

四、应用题

贝y2（xy+yz+zx）=a2

构造辅助函数

2

F（x,y,z）=xyz+（2xy2yz2zxa）

求其对x,y,z的偏导，并使之为0，得：

"yz+2

（y+z）=o

彳xz+2

（x+z）=0

•xy+2

（x+y）=0

与2（xy+yz+zx）-a2=0联立，由于x,y,z均不等于零

6a

6

可得x=y=z

..6a3

36

代入2（xy+yz+zx）-a2=0得x=y=z=

所以，表面积为a2而体积最大的长方体的体积为Vxyz

2、解：

据题意

dMdt其中

M

0为常数

初始条件Mt0M0

对于dMM式

dt

dMdt

M

两端积分得InMtInC

所以，Mcet

又因为MtoMo

所以，M0C

所以，MM0et

由此可知，铀的衰变规律为：

铀的含量随时间的增加而按指数规律衰减

《高数》试卷4（下）

一•选择题：

31030

1.下列平面中过点（1,1,1）的平面是•

（A）x+y+z=0（B）x+y+z=1（C）x=1（D）x=3

2.在空间直角坐标系中，方程x2y22表示.

（A）圆（B）圆域（C）球面（D）圆柱面

3•二元函数z（1x）2（1y）2的驻点是.

（A）（0,0）（B）（0,1）（C）（1,0）（D）（1,1）

4.二重积分的积分区域D是1x2y24，贝dxdy

D

（A）（B）4（C）3（D）15

1x

5.交换积分次序后0dx0f（x,y）dy.

J1111yx1

（A）0dyyf（x,y）dx（b）0dy0f（x,y）dx（C）0dy0f（x,y）dx（D）0dy0f（x,y）dx

6.n阶行列式中所有兀素都是1,其值是

（A）n（B）0（C）n!

（D）1

（D）无法确定

（A）r=n（B）fVn（C）r>n

8.下列级数收敛的是.

（A）

（1）n1n

3n

（B）飞

n12n

（C）

（1）n1

n1n

（D）

1

n1」n

n1

n1

9.正项级数

Un和

Vn满足关系式

UnVn

，则

n1

n

1

（A）

若Ur

1收敛，

则

Vn收敛

（B）若

Vn收敛，

则

Un收敛

n1

n1

n1

n1

（C）

若Vn发散，

则

Un发散

（D）若

Un收敛，

则

Vn发散

n1

n1

n1

n1

10.

已知：

1

1

xx2，则1的幕级数展开式为

1x

1x2

（A）

1x2

x4

（B）1x2

x4

（C）

1x2

x4（D）1x2x4

二•填空题：

45

2Q

1.

数z

•X2

y2

1ln（2x2

y2）的定义域为

2•若f（x,y）xy，贝Vf（£l）.

x

3•已知（xo,yo）是f（x,y）的驻点，若fxx（xo,,yo）3,fyy（xo,yo）12,fxy（xo,yo）a则

当时，（xo,yo）一定是极小点.

4•矩阵A为三阶方阵，则行列式3AA

5•级数Un收敛的必要条件是

n1

三.

计算题（-

）:

6

53o

1.

已知:

zxy

:

求：

-，二•

xy

2.

计算二

重积分

.4x2d，其中D

{（x,y）|o

y

4x2,ox2}.

D

其中A=121

1

2

3

3.

已知：

X

B=A,

B=o

1

2，求未知矩阵X

2o1

o

o

1

4.求幕级数

xn

（1）n1x的收敛区间.n1n

5.求f（x）

ex的麦克劳林展开式（需指出收敛区间）

四•计算题

（二）：

10220

1.求平面x—2y+z=2和2

x+y—z=4的交线的标准方程.

2.

xyz1

设方程组xyz1，试问:

xyz1

分别为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多组解.

参考答案

'一.1.

C;2.D;3.D;4,

.D;5.

二.1.

（x

y）11x

22y

2

2.y

x

四.

1.

解:

-

yxy

1_z

xyiny

x

2dx0

y

2

2.解：

.4x2d

x

0

4x2（

D

127

11

3.解：

B1

01

2

AB

2

00

1

4.解:

R

1,当|x|

〈1时,

级数收敛，当

当x

1时，

得（

1）2n1

—发散,

n1

n

n1

n

5.解:

•因为ex

xn

x

（,:

n

0n!

A；

3

0

4

dy

6.

2

0（4

15

B;7.

B;8.

C；

9.B;10.

D.

x2）dx

x=1时，得

n

所以收敛区间为

），所以e

4.2

4x

x3

5.

16

3

四.1.解：

•求直线的方向向量:

s

limun

n

以交线的标准方程为:

.x2y-

135

（1）n

1n

1

-收敛,

（1,1].

3亠

on!

non!

）.

3j5k,求点：

令z=0,得y=0,x=2,即交点为（2,0.0）,所

2.

⑴

⑵

⑶

、

1、

2、

3、

4、

5、

6、

7、

11

1

111

1

1

1

1

11

解：

A11

1

111

0

1

10

0

110

11

1

111

0

1

121

0

0

（1）

（2）1

当2时,r（A）

2,（A）

3，无解；

当1,2时,

1

Z2;

r（A）

（A）3,有唯一解

:

x

y

x

1C1

C2

当1时，r（A）

^~

（A）

1,有无穷多组解：

y

C1

（C1,C2为任意常数

）

z

C2

选择题（3分/题）

已知aij，b

空间直角坐标系中

x2

1表示（

圆面

二元函数

B

sinxy*/门在（0,

x

B0

圆柱面

球面

交换积分次序后

1

dx

0

0）点处的极限是（

不存在

1

xf（x,y）dy=

11

dy0f（x,y）dx

0

11

dy0f（x,y）dx

x

1

dy

0

1

yf（x,y）dx

1

dy

0

y

0f（x,y）dx

重积分的积分区域D是

1,

A2B1

n阶行列式中所有元素都是

A0B1

C

1,其值为

Cn

dxdy（

D

D

4

）

n!

CABCDABACr时有无穷多组解，则（）

r>nD无法确定

）

B必不等于零

D不会都不等于零

AACBCB

&n元线性方程组，当r（A）r（A）

Ar=nBr

9、在一秩为r的矩阵中，任r阶子式（

A必等于零

C可以等于零，也可以不等于零10、正项级数un和vn满足关系式unvn，则（

n1n1

A若Un收敛，则Vn收敛

n1n1

B若Vn收敛，则Un收敛

n1n1

1、

Vn发散，则

n1

Un发散

n1

Un收敛，则

1

Vn发散

n1

、填空题（4分/题）空间点p（-1，

2,-3）到xoy平面的距离为

22

2、函数f（x,y）x4y6x8y2在点

处取得极小值，极小值为

3、A为三阶方阵，A3，贝UA

0

4、三阶行列式x

y

5、级数Un收敛的必要条件是

n1

三、计算题（6分/题）

1、已知二元函数zy2x，求偏导数—-,—

xy

2、求两平面：

x2yz2与2xyz4交线的标准式方程。

2

3、计算二重积分^ydxdy，其中D由直线x2,yx和双曲线xy1所围成的区域。

□y

4、求方阵A

223

110的逆矩阵。

121

1、判断级数

n1

（1）

n1

np

的收敛性，如果收敛,

请指出绝对收敛还是条件收敛。

四、应用题（10分/题）

X1

X2

X3

1

2、试根据的取值，讨论方程组

X1

X2

X3

1是否有解，指出解的情况。

X1

X2

X3

1

参考答案

、选择题

（3分/题）

DCBDA

ACBCB

、填空题（

4分/题）

1、3

2、（3，-1）-11

3、-34、0

5、limun0

n

、计算题（

6分/题）

1、

z

X

2y2x

lny，

Zc2x1

2xy

y

2、

X

2y

0

z0

1

3

5

9

3、

4

1

4

3

4、

A1

1

5

3

1

6

4

5、收敛半径R=3，收敛区间为（-4，6）四、应用题（10分/题）

1、当p0时，发散;

0p1时条件收敛；

p1时绝对收敛

2、当1且2时，r（A）r（A）3,A0,方程组有唯一解;

当2时，r（A）3r（A）2，方程组无解；

当1时，r（A）r（A）13，方程组有无穷多组解。