高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理夯基提能作业本文.docx

高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理夯基提能作业本文.docx

《高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理夯基提能作业本文.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理夯基提能作业本文.docx（13页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理夯基提能作业本文

2019-2020年高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理夯基提能作业本文

1.在△ABC中,若=,则B的值为（　　）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（xx广东,5,5分）设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=2,cosA=且b

A.3B.2C.2D.

3.在△ABC中,∠ABC=,AB=,BC=3,则sin∠BAC=（　　）

A.B.C.D.

4.（xx天津六校联考）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c2=（a-b）2+6,C=,则△ABC的面积为（　　）

A.3B.C.D.3

5.已知△ABC中,内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,若A=,b=2acosB,c=1,则△ABC的面积等于（　　）

A.B.C.D.

6.△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b=2ccosA,c=2bcosA,则△ABC的形状为（　　）

A.直角三角形B.锐角三角形

C.等边三角形D.等腰直角三角形

7.△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c.已知b=c,a2=2b2（1-sinA）.则A=　　　　. 

8.（xx安徽,12,5分）在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC=　　　　. 

9.在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=　　　　. 

10.（xx课标Ⅰ,17,12分）已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC.

（1）若a=b,求cosB;

（2）设B=90°,且a=,求△ABC的面积.

11.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c.已知·=2,cosB=,b=3.求:

（1）a和c的值;

（2）cos（B-C）的值.

B组　提升题组

12.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为S,若S+a2=（b+c）2,则cosA等于（　　）

A.B.-C.D.-

13.如图,在△ABC中,∠C=,BC=4,点D在边AC上,AD=DB,DE⊥AB,E为垂足,若DE=2,则cos∠A=（　　）

A.B.C.D.

14.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c=1,B=45°,cosA=,则b=　　　　. 

15.（xx吉林东北师大附中月考）在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,面积为S,且2acos2+2ccos2=b.

（1）求证:

2（a+c）=3b;

（2）若cosB=,S=,求b.

16.（xx福建厦门南安一中、海沧实验中学联考）如图,△ABC中,已知点D在BC边上,且·=0,sin∠BAC=,AB=3,BD=.

（1）求AD的长;

（2）求cosC.

17.（xx安徽师大附中模拟）已知在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且满足cos2A-

cos2B=2cos·cos.

（1）求角B的值;

（2）若b=且b≤a,求2a-c的取值范围.

答案全解全析

A组　基础题组

1.B　由正弦定理知=,

∴sinB=cosB,∴B=45°.

2.C　由余弦定理b2+c2-2bccosA=a2,得b2-6b+8=0,解得b=2或b=4,∵b

3.C　在△ABC中,由余弦定理得AC2=BA2+BC2-2BA·BC·cos∠ABC=（）2+32-2××3×=5,解得AC=.由正弦定理得sin∠BAC===.故选C.

4.C　∵c2=（a-b）2+6,∴c2=a2-2ab+b2+6,

即a2+b2-c2=2ab-6,∵C=,

∴cos===,得ab=6,

则三角形ABC的面积S=absinC=×6×=.故选C.

5.B　由b=2acosB及正弦定理得sinB=2sinAcosB,

故tanB=2sinA=2sin=,又B∈（0,π）,所以B=,

因为A=B=,

则△ABC是正三角形,

所以S△ABC=bcsinA=×1×1×=.

6.C　由已知及正弦定理得sinB=2sinCcosA,sinC=2sinBcosA,故sin（A+C）=2sinC·cosA

=sinAcosC+cosA·sinC,即sinAcosC-cosAsinC=0,∴sin（A-C）=0,又-π

7.答案　

解析　在△ABC中,由b=c,得cosA==,又a2=2b2（1-sinA）,所以cosA=sinA,即tanA=1,又知A∈（0,π）,所以A=.

8.答案　2

解析　由已知及三角形内角和定理得∠C=60°,由=知AC===2.

9.答案　1

解析　由正弦定理得=,

由余弦定理得cosA=,

∵a=4,b=5,c=6,

∴==2··cosA

=2××=1.

10.解析　

（1）由已知及正弦定理可得b2=2ac.

又a=b,所以b=2c,a=2c.

由余弦定理可得cosB==.（6分）

（2）由

（1）知b2=2ac.

因为B=90°,所以a2+c2=b2.

故a2+c2=2ac,得c=a=.

所以△ABC的面积为1.（12分）

11.解析　

（1）由·=2得c·acosB=2,

又cosB=,所以ac=6.

由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB.

又b=3,所以a2+c2=9+2×2=13.

解

得a=2,c=3或a=3,c=2.

因为a>c,所以a=3,c=2.

（2）在△ABC中,sinB=

==,

由正弦定理,得sinC=sinB=×=.

因a=b>c,所以C为锐角.

因此cosC===.

于是cos（B-C）=cosBcosC+sinBsinC

=×+×=.

B组　提升题组

12.D　由S=bcsinA及S+a2=（b+c）2,

得a2=b2+c2-2bc,由余弦定理可得sinA-1=cosA,结合sin2A+cos2A=1,可得cosA=-或

cosA=-1（舍去）.

13.C　因为DE⊥AB,DE=2,所以AD=,

所以BD=AD=.

因为AD=DB,所以∠A=∠ABD,

所以∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A.

在△BCD中,由=,得

=,整理得cos∠A=.

14.答案　

解析　因为cosA=,所以sinA===,

所以sinC=sin[180°-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=cos45°+sin45°=.

由=,得b=×sin45°=.

15.解析　

（1）证明:

由条件得a（1+cosC）+c（1+cosA）=b,

由于sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB,

即acosC+ccosA=b,所以a+c=b,

即2（a+c）=3b.

（2）在△ABC中,因为cosB=,所以sinB=.

由S=acsinB=ac=,得ac=8,

又b2=a2+c2-2accosB=（a+c）2-2ac（1+cosB）,2（a+c）=3b,

所以=16×,所以b=4.

16.解析　

（1）因为·=0,所以AD⊥AC,所以sin∠BAC=sin=cos∠BAD,

所以cos∠BAD=.

在△ABD中,由BD2=AB2+AD2-2AB·AD·cos∠BAD,

得AD2-8AD+15=0,解之得AD=5或AD=3,

由于AB>AD,所以AD=3.

（2）在△ABD中,由cos∠BAD=,

可知sin∠BAD=,

由正弦定理可知,=,

所以sin∠ADB==,

又因为sin∠ADB=sin（∠DAC+∠C）=sin=cosC,所以cosC=.

17.解析　

（1）∵2coscos

=2

=2=cos2A-sin2A=-2sin2A,

cos2A-cos2B=1-2sin2A-（2cos2B-1）=2-2sin2A-2cos2B,

∴2-2sin2A-2cos2B=-2sin2A,

∴cos2B=,

∴cosB=±,

∴B=或.

（2）∵b=≤a,∴B=,

由====2,

得a=2sinA,c=2sinC,

故2a-c=4sinA-2sinC=4sinA-2sin

=3sinA-cosA=2sin,

因为b≤a,所以≤A<π,所以≤A-<,

所以2a-c=2sin∈[,2）.

2019-2020年高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理夯基提能作业本理

1.（xx兰州实战考试）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若b2=ac,c=2a,则cosC=（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.B.-C.D.-

2.在△ABC中,若a=18,b=24,A=45°,则此三角形有（　　）

A.无解B.两解C.一解D.解的个数不确定

3.（xx河北武邑中学期中）△ABC中,c=,b=1,∠B=,则△ABC的形状为（　　）　　　　　　　　　　　　　　　　　　

A.等腰直角三角形B.直角三角形

C.等边三角形D.等腰三角形或直角三角形

4.（xx课标全国Ⅲ,8,5分）在△ABC中,B=,BC边上的高等于BC,则cosA=（　　）

A.B.C.-D.-

5.已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且（b-c）（sinB+sinC）=（a-c）sinA,则角B的大小为（　　）

A.30°B.45°C.60°D.120°

6.在△ABC中,∠A=,a=c,则=　　　　. 

7.（xx天津,12,5分）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c.已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cosA的值为　　　　. 

8.（xx福建,12,4分）若锐角△ABC的面积为10,且AB=5,AC=8,则BC等于　　　　. 

9.（xx武汉高三测试）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a+=4cosC,b=1.

（1）若A=90°,求△ABC的面积;

（2）若△ABC的面积为,求a,c.

10.（xx浙江,16,14分）在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2acosB.

（1）证明:

A=2B;

（2）若△ABC的面积S=,求角A的大小.

B组　提升题组

11.（xx山东菏泽期中）在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,若acosB+

bcosA=csinC,S=×（b2+c2-a2）,则B=（　　）　　

A.90°B.60°C.45°D.30°

12.已知锐角A是△ABC的一个内角,a,b,c是角A、B、C的对边,若sin2A-cos2A=,则下列各式正确的是（　　）

A.b+c=2aB.b+c<2aC.b+c≤2aD.b+c≥2a

13.（xx临沂模拟）如图,在△ABC中,∠B=45°,D是BC边上的点,AD=5,AC=7,DC=3,则AB的长为　　　　. 

14.（xx十堰模拟）给出下列命题:

①若tanAtanB>1,则△ABC一定是钝角三角形;

②若sin2A+sin2B=sin2C,则△ABC一定是直角三角形;

③若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1,则△ABC一定是等边三角形.

以上命题中正确命题的序号为　　　　. 

15.如图所示,在四边形ABCD中,∠D=2∠B,且AD=1,CD=3,cos∠B=.

（1）求△ACD的面积;

（2）若BC=2,求AB的长.

16.（xx东北育才五模）已知△ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别为a、b、c.若csinA=acosC.

（1）求角C;

（2）若c=,且sinC+sin（B-A）=5sin2A,求△ABC的面积.

答案全解全析

A组　基础题组

1.B　由题意得,b2=ac=2a2,b=a,∴cosC===-,故选B.

2.B　∵=,∴sinB=sinA=·sin45°,∴sinB=.又∵a

3.D　根据余弦定理有1=a2+3-3a,解得a=1或a=2,当a=1时,三角形ABC为等腰三角形,当a=2时,三角形ABC为直角三角形,故选D.

4.C　解法一:

过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,AB=BC,AC=BC,在△ABC中,由余弦定理的推论可知,cos∠BAC===-,故选C.

解法二:

过A作AD⊥BC,垂足为D,由题意知AD=BD=BC,则CD=BC,在Rt△ADC中,AC=BC,sin∠DAC=,cos∠DAC=,又因为∠B=,所以cos∠BAC=cos=cos∠DAC·cos-sin∠DAC·sin=×-×=-,故选C.

5.A　由==及（b-c）·（sinB+sinC）=（a-c）sinA得（b-c）（b+c）=（a-c）a,即b2-c2=a2-ac,所以a2+c2-b2=ac,又因为cosB=,所以cosB=,所以B=30°.

6.答案　1

解析　在△ABC中,∠A=,∴a2=b2+c2-2bccos,即a2=b2+c2+bc.∵a=c,∴3c2=b2+c2+bc,∴b2+bc-2c2=0,∴（b+2c）（b-c）=0,∴b-c=0,∴b=c,∴=1.

7.答案　-

解析　由2sinB=3sinC得2b=3c,即b=c,代入b-c=a,整理得a=2c,故cosA===-.

8.答案　7

解析　设内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.由已知及bcsinA=10得sinA=,因为A为锐角,所以A=60°,cosA=.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccosA=25+64-2×40×=49,故a=7,即BC=7.

9.解析　

（1）∵b=1,∴a+=4cosC=4×=,∴2c2=a2+1.

又A=90°,∴a2=b2+c2=c2+1,

∴2c2=a2+1=c2+2,∴c=,

∴S△ABC=bcsinA=bc=×1×=.

（2）∵S△ABC=absinC=asinC=,

∴sinC=,∵a+=4cosC,sinC=,

∴+=1,化简得（a2-7）2=0,∴a=,则cosC=,利用余弦定理可得c=2.

10.解析　

（1）证明:

由正弦定理及已知条件得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin（A+B）=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin（A-B）.又A,B∈（0,π）,故0

（2）由S=得absinC=,故有sinB·sinC=sin2B=sinBcosB,因sinB≠0,故sinC=cosB.又B,C∈（0,π）,所以C=±B.当B+C=时,A=;当C-B=时,A=.综上,A=或A=.

B组　提升题组

11.C　由acosB+bcosA=csinC及正弦定理得2RsinAcosB+2RsinBcosA=2Rsin2C（R为△ABC外接圆的半径）,即sin（A+B）=sin2C,∴sinC=sin2C,又sinC≠0,∴sinC=1,又C∈（0,π）,∴C=,∴c2=b2+a2,S=ab,又S=×（b2+c2-a2）,∴a=b,∴B=45°,故选C.

12.C　∵sin2A-cos2A=,∴cos2A=-.

∵0

由余弦定理得,a2=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc≥（b+c）2-（b+c）2=,∴4a2≥（b+c）2,∴2a≥b+c（当且仅当b=c时取等）.

13.答案　

解析　在△ADC中,AD=5,AC=7,DC=3,

由余弦定理得cos∠ADC==-,所以∠ADC=120°,∠ADB=60°.在△ABD中,AD=5,∠B=45°,∠ADB=60°,由正弦定理得=,所以AB=.

14.答案　②③

解析　①因为tanA·tanB>1,且A,B为三角形内角,所以tanA>0,tanB>0,所以A,B均为锐角,又因为tan（A+B）=-tanC=<0,所以tanC>0,所以C为锐角,所以△ABC不是钝角三角形,①错.

②由正弦定理及条件,得a2+b2=c2,

所以△ABC一定为直角三角形,②对.

③由cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1及A、B、C为三角形内角,可得cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1,所以A=B=C,③对.

15.解析　

（1）因为∠D=2∠B,cos∠B=,

所以cos∠D=cos2∠B=2cos2∠B-1=-.

因为∠D∈（0,π）,

所以sin∠D==.

因为AD=1,CD=3,所以△ACD的面积

S=AD·CD·sin∠D=×1×3×=.

（2）在△ACD中,AC2=AD2+DC2-2AD·DC·cos∠D=12,所以AC=2.

因为BC=2=AC,=,

所以====,所以AB=4.

16.解析　

（1）根据=,可得csinA=asinC,

又∵csinA=acosC,∴asinC=acosC,

∴sinC=cosC,

∴tanC==,

∵C∈（0,π）,∴C=.

（2）∵sinC+sin（B-A）=5sin2A,sinC=sin（A+B）,∴sin（A+B）+sin（B-A）=5sin2A,

∴2sinBcosA=2×5sinAcosA.

∵△ABC为斜三角形,

∴cosA≠0,∴sinB=5sinA.

由正弦定理可知b=5a,①

∵c2=a2+b2-2abcosC,

∴21=a2+b2-2ab×=a2+b2-ab,②

由①②解得a=1,b=5,

∴S△ABC=absinC=×1×5×=.