勾股定理经典例题含答案2.docx
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勾股定理经典例题含答案2
勾股定理经典例题（含答案）（word版可编辑修改）
编辑整理：
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勾股定理经典例题
类型一：
勾股定理的直接用法
1、在Rt△ABC中,∠C=90°
（1）已知a=6，c=10，求b，
（2）已知a=40，b=9，求c;（3）已知c=25,b=15，求a。
思路点拨:
写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
举一反三
【变式】：
如图∠B=∠ACD=90°,AD=13,CD=12，BC=3，则AB的长是多少？
类型二：
勾股定理的构造应用
2、如图，已知：
在
中，
，
.求:
BC的长.
1、某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要（ ）
A、450a元B、225a元C、150a元D、300a元
举一反三【变式1】如图,已知：
，
，
于P.求证：
.
【变式2】已知：
如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。
求：
四边形ABCD的面积。
类型三：
勾股定理的实际应用
（一）用勾股定理求两点之间的距离问题
3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了
到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。
（1）求A、C两点之间的距离。
（2）确定目的地C在营地A的什么方向。
举一反三
【变式】一辆装满货物的卡车,其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?
（二）用勾股定理求最短问题
4、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
类型四：
利用勾股定理作长为
的线段
5、作长为
、
、
的线段。
作法：
如图所示
举一反三【变式】在数轴上表示
的点。
解析：
可以把
看作是直角三角形的斜边,
，
为了有利于画图让其他两边的长为整数，
而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。
作法：
如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC⊥OA且截取AC=1,以OC为半径，
以O为圆心做弧,弧与数轴的交点B即为
。
类型五：
逆命题与勾股定理逆定理
6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确
1．原命题：
猫有四只脚．（正确）
2．原命题：
对顶角相等（正确）
3．原命题:
线段垂直平分线上的点,到这条线段两端距离相等．（正确）
4．原命题：
角平分线上的点，到这个角的两边距离相等．（正确）
7、如果ΔABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断ΔABC的形状。
。
举一反三【变式1】四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积。
【变式2】已知：
△ABC的三边分别为m2－n2，2mn,m2+n2（m，n为正整数,且m＞n），判断△ABC是否为直角三角形。
【变式3】如图正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且BF=
AB。
请问FE与DE是否垂直？
请说明.
【答案】答：
DE⊥EF。
证明：
设BF=a,则BE=EC=2a,AF=3a,AB=4a,
∴EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；
DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。
连接DF（如图）
DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。
∴DF2=EF2+DE2，
∴FE⊥DE.
练习
一、判断直角三角形问题：
1、。
满足下列条件的△ABC,不是直角三角形的是
A.b2=c2－a2B.a∶b∶c=3∶4∶5C.∠C=∠A－∠BD.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15
2、若一个三角形的三边长的平方分别为：
32，42，x2则此三角形是直角三角形的x2的值是
A.42B.52C。
7D.52或7
3、如果△ABC的三边分别为m2－1，2m，m2+1（m＞1）那么
A。
△ABC是直角三角形，且斜边长为m2+1B.△ABC是直角三角形,且斜边长2为m
C。
△ABC是直角三角形,但斜边长需由m的大小确定D.△ABC不是直角三角形
4、已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ ）
A、24cm2B、36cm2C、48cm2D、60cm2
5、下面几组数:
①7，8，9；②12，9,15;③m2+n2,m2–n2,2mn（m，n均为正整数，m
n）；④
，
。
其中能组成直角三角形的三边长的是（）A。
①②；B.①③；C.②③;D.③④
6、三角形的三边长为
则这个三角形是（）
A.等边三角形;B。
钝角三角形；C.直角三角形;D。
锐角三角形。
7、已知
，则由此
为三边的三角形是三角形。
9、已知a，b，c为△ABC三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.试判断△ABC的形状。
10、若△ABC的三边长为a,b，c，根据下列条件判断△ABC的形状.
（1）a2+b2+c2+200=12a+16b+20c
（2）a3－a2b+ab2－ac2+bc2－b3=0
11、已知，△ABC中，AB=17cm,BC=16cm，BC边上的中线AD=15cm，试说明△ABC是等腰三角形。
经典例题精析
类型一：
勾股定理及其逆定理的基本用法
1、若直角三角形两直角边的比是3:
4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。
注:
等边三角形面积公式:
若等边三角形边长为a,则其面积为
a.
【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。
【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n.
总结升华：
注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边,直角边。
【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）
A、8,15，17B、4,5，6C、5，8，10D、8,39，40
类型二:
勾股定理的应用
2、如图,公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°,点A处有一所中学，AP＝160m。
假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？
请说明理由，如果受影响,已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
总结升华：
勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法,构造直角三角形以便利用勾股定理。
举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园,有极少数人为了避开拐角而走“捷径"，在花园内走出了一条“路”。
他们仅仅少走了__________步路（假设2步为1m），却踩伤了花草.
【答案】4
【变式2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形，这样的三角形称为单位正三角形。
（1）直接写出单位正三角形的高与面积。
（2）图中的平行四边形ABCD含有多少个单位正三角形？
平行四边形ABCD的面积是多少？
（3）求出图中线段AC的长（可作辅助线）。
类型三：
数学思想方法
方程的思想方法
4、如图所示,已知△ABC中，∠C=90°,∠A=60°,
，求
、
、
的值。
思路点拨：
由
，再找出
、
的关系即可求出
和
的值。
解:
在Rt△ABC中，∠A=60°，∠B=90°—∠A=30°，
则
，由勾股定理，得
。
因为
，所以
，
，
.
总结升华：
在直角三角形中，30°的锐角的所对的直角边是斜边的一半.
举一反三：
【变式】如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
解：
因为△ADE与△AFE关于AE对称,所以AD=AF,DE=EF。
因为四边形ABCD是矩形,所以∠B=∠C=90°，
在Rt△ABF中，AF=AD=BC=10cm,AB=8cm，
所以
。
所以
。
设
则
.
在Rt△ECF中,
即
，解得
。
即EF的长为5cm。
三、折叠问题
1、已知，如图长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm,将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF,则△ABE的面积为（ ）A、6cm2B、8cm2C、10cm2D、12cm2
2、如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上,且与AE重合，你能求出CD的长吗？
3、已知，如图,折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长
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