全章四边形的学案和章节练习doc1.docx
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全章四边形的学案和章节练习doc1
19.1平行四边形及其性质
（1）
你能再举出一些例子吗？
如：
__________、____________
2.平行四边形：
有___________分别_________的_________叫做平行四边形,用符号________表示。
如图2，∵AD//BC,AB//CD，∴四边形ABCD是________四边形,记作_________,读作____________________。
D
（注意：
表示时一定要按顺时针或逆时针方向依次注明各个顶点，若写成ACBD等都是错误的）
（图2）
（1）面积=底╳高
（2）平行四边形属于四边形，所以具有四边形的性质：
______________
平行四边形还有哪些性质呢？
我们先来认识一下与其相关的概念。
①邻边：
有公共顶点的边。
②对边：
不相邻的，没有公共顶点的边。
③邻角：
有公共边的两个角。
④对角：
没有公共边的两个角，也就是相对的两个角。
3.探究：
根据定义画一个平行四边形，观察除了“两组对边分别平行”外，它的边、角之间还有什么关系？
度量一下，是不是和你的猜想一致？
平行四边形具有以下性质：
性质一：
；性质二：
（邻角___）。
性质三：
性质四
∵ABCD
D
∴AD_____BC,AB____DC;∠A___∠C,∠B____∠D
你能证明你发现的上述结论吗？
（提示：
连接对角线把未知问题转化为已知的三角形问题）
已知：
（图3）
求证：
证明：
（图4）
例1:
如图4，小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四
边形的场地，其中AB边长为10m，其他三边的长各是多少？
平行四边形性质应用
1.ABCD中，AB=5,BC=3,则它的周长为_________。
2.已知ABCD中，∠A=30°,求∠B、∠C、∠D的度数
3.一个平行四边形的一个外角是38°，这个平行四边形的每个内角的度数分别是____________.
A
4.如图6，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合的部分构成了一个四边形。
线段AD和BC的长度有什么关系？
D
（图6）
5.已知，如图7，∠BAD的平分线交BC边于点E。
求证：
BE=CD.
（图7）
1.ABCD中，若∠A+∠C=100°，则∠B,∠A的度数是多少?
2.ABCD中,两邻边之比AB∶BC=2∶3，周长为30cm,求它的各边长。
3.已知一个平行四边形的周长为28cm，相邻两边的差为4cm，则相邻两边的长分别为_______.
4.已知一个平行四边形的面积为112，相邻两边上的高分别为7和8，则它的周长为________.
5.ABCD中，∠DAB的平分线交DC于E，∠DEA=30°,DE=5,EC=3.
（8）
⑴求∠D的度数
⑵求ABCD周长
A
D
6.在平行四边形ABCD中，CE⊥AB，E为垂足。
如果∠A=125°则∠BCE等于多少度？
E
B
C
7.已知，平行四边形ABCD中，点E为BC的中点，分别延长DE、AB相交于点F。
求证：
CD=BF
F
19.1平行四边形
1．平行四边形ABCD中，∠A的余角与∠B的和是120°，则∠A=_____，∠B=______．
2．平行四边形的周长等于56cm，两邻边的长的比为3：
1，那么这个平行四边形较长的边长为_________．、
3．平行四边形ABCD的周长为60cm，对角线交于O，△AOB的周长比△BOC的周长大8cm，则AB、BC的长分别是
4．平行四边形ABCD中，周长为50cm，AB=15cm，∠A=30°，则此平行四边形的面积为______．
5．在平行四边形ABCD中，若∠A-∠B=70°，则∠A=_______，∠B=_______，
∠C=_______，∠D=_________．
1.□ABCD中,∠CBE＝38°,四边形ABCD的各内角度数依次为（）
A.48°132°48°132°B.142°142°38°38°
C.38°38°142°142°D.38°142°38°142°
2．在□ABCD中，若∠A：
∠B=5：
4，则∠C的度数为（）．
A．80°B．120°C．100°D．110°
3.在□ABCD中，BC=10cm,AC=8cm,BD=14cm,△AOD的周长是（）
A.32cmB.23cmC.21cmD.33cm
4.□ABCD的对角线相交于点O,AO=4,OD=7,△DBC的周长
比△ABC的周长（）
A.短6B.长6C.短3D.长3
5．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，AB=13，AD=5，AC⊥BC，求S□ABCD（）．
A.60B.65C.30D.37.5
6．如图所示，在□ABCD中，AB=10cm，AB边上的高DH=4cm，BC=6cm，
求BC边上的高DF的长（）．
A.15cmB.10cmC.17cmD.
cm】
7．如图所示，在□ABCD中，E，F分别是AC，CA的延长线上的点，
且CE=AF.下列结论不正确的是（）
A.BF∥DEB.BF=DEC.∠F=∠ED.∠FBC=∠ADC
8．如图所示，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，
过O作直线EF分别交AD，BC于点E，F，那么（）
A.OE不一定等于OFB.OE=OFC.AE=BFD.AO=OD
9．已知平行四边形的周长为28cm，相邻两边的差为4cm，求AB和BC的长
10．如图所示，在□ABCD中，∠D-∠A=∠1=60°，AD=5cm，求EC的长
11.已知：
如下图□ABCD中，平行于对角线AC的直线MN分别交
DA、DC的延长线于点M、N，交BA、BC于点P、Q，
MQ＝5,求NP
12．如图所示，点E是□ABCD的对角线AC上任意一点，则S△BEC=S△DEC是否正确？
请说明理由．
13．如图，已知平行四边形ABCD，AD、BC的距离AE=15cm，AB、DC的距离AF=30cm，且∠EAF=30°，求AB、BC、及平行四边形ABCD面积．
14．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，且与BC、AD分别相交于点E、F，求证：
OE=OF．
15．（2004年江苏省南京市中考题）如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．
求证：
（1）△ABE≌△CDF；
（2）BE∥DF．
16．如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠EAF=30°，AE=4cm，AF=3cm，求ABCD周长．
9.1.2平行四边形的判定
（一）
【课前预习】
活动1：
知识准备
1、平行四边形的概念：
2、平行四边形的性质：
12：
3：
4：
3、思考：
对边相等或对角相等或对角线互相平分的四边形是不是平行四边形呢？
活动2：
探究
从探究中得到：
判定1：
判定2：
已知：
AB=CD,AD=BC已知：
OA=OC,OB=OD
求证：
四边形ABCD是平行四边形求证：
四边形ABCD是平行四边形
证明：
证明：
判定3：
判定4：
已知：
∠A=,∠B=已知：
AD=BC,AD//BC,
求证：
四边形ABCD是平行四边形求证：
四边形ABCD是平行四边形
D
证明：
证明：
概括：
判定1表达式
判定2表达式
判定3表达式
判定4表达式
活动4：
例习题分析
例1已知：
如图
ABCD的对角线AC、BD交于点O，
E、F是AC上的两点，并且AE=CF．
求证：
四边形BFDE是平行四边形．
证明：
*变式1：
若E、F移至OA、OC的延长线上，且AE=CF，结论有改变吗？
为什么？
*变式2：
如图,
ABCD的对角线AC、BD交于点O，
且E、F、G、H分别是AO,BO,CO,DO的中点，
求证：
四边形EFGH是平行四边形．
2、如图，
，图中有哪些互相平行的线段？
【课后巩固】
1、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（）．
（A）对角线互相垂直（B）对角线相等
（C）对角线互相垂直且相等（D）对角线互相平分
2、如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，
（1）若AD=8cm，AB=4cm，那么当BC=____cm，CD=____cm时，四边形ABCD为平行四边形；
（2）若AC=10cm，BD=8cm，那么当AO=___cm，DO=___cm时，四边形ABCD为平行四边形．
4.如图，已知在
ABCD中，AE、CF分别是
、
的
角平分线，试说明四边形AFCE是平行四边形．
5.如图，平行四边形ABCD中，E、F为边AD、BC上的点，且AE=CF，
连结AF、EC、BE、DF交于M、N，试说明：
MFNE是平行四边形．
总结归纳：
判定
定理4
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
∵AB=CD，AB∥CD∴…是平行四边形
平行四边形的性质与判定
学习要求
能综合运用平行四边形的判定定理和平行四边形的性质定理进行证明和计算．
课堂学习检测
一、填空题：
1．平行四边形长边是短边的2倍，一条对角线与短边垂直，则这个平行四边形各角的度数分别为______．
2．从平行四边形的一个锐角顶点作两条高线，如果这两条高线夹角为135°，则这个平行四边形的各内角的度数为______．
3．在□ABCD中，BC＝2AB，若E为BC的中点，则∠AED＝______．
4．在□ABCD中，如果一边长为8cm，一条对角线为6cm，则另一条对角线x的取值范围是______．
5．□ABCD中，对角线AC、BD交于O，且AB＝AC＝2cm，若∠ABC＝60°，则△OAB的周长为______cm．
6．如图，在□ABCD中，M是BC的中点，且AM＝9，BD＝12，AD＝10，求□ABCD的面积
7．□ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠BOC＝120°AD＝7，BD＝10，则□ABCD的面积为______．
8．如图，在□ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，AF＝5，
，求△CEF的周长
9．如图，BD为□ABCD的对角线，M、N分别在AD、AB上，且MN∥BD，S△DMC______
S△BNC．（填“＜”、“＝”或“＞”）
二、解答题
10．已知：
如图，△EFC中，A是EF边上一点，AB∥EC，AD∥FC，若∠EAD＝∠FAB．AB＝a，AD＝b．
（1）求证：
△EFC是等腰三角形；
（2）求EC＋FC．
11．已知：
如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F．求证：
BE＝FC．
12．已知：
如图，在□ABCD中，E为AD的中点，CE、BA的延长线交于点F．若BC＝2CD，求证：
∠F＝∠BCF．
13．如图，已知：
在□ABCD中，∠A＝60°，E、F分别是AB、CD的中点，且AB＝2AD．求证：
BF∶BD＝
∶3．
14．已知：
如图，△ABC中，AB＝AC＝10，D是BC边上的任意一点，分别作DF∥AB交AC于F，DE∥AC交AB于E，求DE＋DF的值．
15．已知：
如图，在等边△ABC中，D、F分别为CB、BA上的点，且CD＝BF，以AD为边作等边三角形ADE．
求证：
（1）△ACD≌△CBF；
（2）四边形CDEF为平行四边形．
知识巩固：
图形
名称
文字语言
图形
符号语言
平
行
四
边
形
定
义
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
四边形ABCD是平行四边形
性
质
判
定
3.三角形的中位线
例1如图，点D、E、分别为△ABC边AB、
AC的中点，求证：
DE∥BC且DE=
BC．
定义：
连接三角形___________的______叫做三角形的中位线。
思考：
（1）想一想：
①一个三角形的中位线共有几条？
②三角形的中位线与中线有什么区别？
（2）三角形的中位线与第三边有怎样的关系？
三角形中位线定理：
_______________________________________________________________
4.两条平行线间的距离：
两条平行线间__________的______叫做两条平行线间的距离。
b
如图，a、b是两条平行线。
从直线a上的任意一点A向直线b作垂线l,垂足为点B,得到线段AB。
按同样的作法，作出线段CD。
线段AB与CD有怎样的关系？
结论：
两条平行线间的距离_______________
1.如图，在
ABCD的一组对边AD、BC上截取EF=MN，连接EM，FN。
EM和MN有什么关系？
为什么？
2.如图，点D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点，以这些点为顶点的平行四边形有多少个？
写出它们的名称。
3.已知：
如图，
ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，求证：
BE=DF．
4．已知：
如图，在
ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线．求证：
四边形AFCE是平行四边形．
8.已知：
如图
（1），在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：
四边形EFGH是平行四边形．
课堂学习检测
一、填空题：
1．
（1）三角形的中位线的定义：
连结三角形两边____________叫做三角形的中位线．
（2）三角形的中位线定理是三角形的中位线____________第三边，并且等于______________．
2.已知：
三角形的各边分别为8cm、10cm和12cm，连结各边中点所成三角形的周长为_________．
3．△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，若DE＝4，AD＝3，AE＝2，则△ABC的周长为______．
二．判断题：
（1）相邻的两个角都互补的四边形是平行四边形；（ ）
（2）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；（ ）
（3）一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形（）（4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（ ）
（5）对角线相等的四边形是平行四边形；（ ）（6）对角线互相平分的四边形是平行四边形．（ ）
三、解答题
4．已知：
如图，四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．
求证：
四边形EFGH是平行四边形．
5．已知：
△ABC的中线BD、CE交于点O，F、G分别是OB、OC的中点．
求证：
四边形DEFG是平行四边形．
6．已知：
如图，E为□ABCD中DC边的延长线上的一点，且CE＝DC，连结AE分别交BC、BD于点F、G，连结AC交BD于O，连结OF．求证：
AB＝2OF．
7．已知：
如图，在□ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于G．求证：
GF＝GC．
8．已知：
如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E、F分别是DC、AB边的中点，FE的延长线分别与AD、BC的延长线交于H、G点．
2.
（1）矩形的定义：
__________________的平行四边形叫做矩形．
3.矩形的性质：
矩形是一个特殊的平行四边形，它除了具有四边形和平行四边形所有的性质，还有：
矩形的四个角______；矩形的对角线______；矩形是轴对称图形，它的对称轴是____________．
4．矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠AOB＝60°，AC＝10cm，则AB＝______cm，BC＝______cm．
5．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB边上的中线CD＝______．
6，ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=
，7，如果矩形的一条对角线长为8cm，两条对角线
AB=4cm，求矩形对角线的长。
的一个夹角为
求矩形的边长
8.在矩形ABCD中，对角线AC,BD相交于O,9.在Rt△ABC中，∠C=
周长为12，斜边上的
∠AOB=2∠BOC,AC=20cm，则AD的长是？
中线长为2.5，则Rt△ABC的面积是？
10、如果矩形的一条对角线长为8cm,两条对角线的一个交角为120。
，求矩形的边长。
11、在Rt△ABC中，∠C=90°,AB=2AC,求∠A,∠B的度数。
探究：
一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。
一天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。
甲的理由是：
“我用直尺量这个门的两条对角线，发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩形”。
乙的理由是：
“我用角尺量我的门任意三个角，发现它们都是直角。
所以我这个四边形门就是矩形”。
根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形。
通过讨论得到矩形的判定方法．
矩形判定方法1：
（）．
矩形判定方法2：
（）．
判定方法的证明
判定1：
判定2：
已知：
在
ABCD中,AC=BD已知：
∠A=∠B=∠C=90
求证：
四边形ABCD是矩形求证：
四边形ABCD是矩形
证明：
证明：
4．概括矩形的判定方法：
定义：
表达式：
判定1：
表达式：
判定2：
表达式：
课堂练习。
1，在ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）
A.AB=BC，B.AC=BDC.AC⊥BD，D.AB⊥BD
2，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，若在添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是
（有几种可能，说出你的依据）
（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，周长为12，斜边中线为
，则Rt△ABC的面积。
（2）矩形的一个角的平分线分矩形的一边长为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为。
3.矩形的判定：
一个角是直角的____是矩形；对角线_____的平行四边形是矩形；有____个角是直角的四边形是矩形
4.下列说法正确是否
A、有一个角是直角的四边形是矩形（）B、两条对角线相等的四边形是矩形（）
C、两条对角线互相垂直的四边形是矩形（）D、三个角都是直角的四边形是矩形（）
E、对角线互相平分且相等的四边形是矩形（）F、四个角都相等的四边形是矩形（）
G、对角线相等且互相垂直的四边形是矩形（）H、对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形（）
5.在矩形ABCCD中，对角线AC、BD相交于O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AC=8，则EF=_________
6．已知：
如图，□ABCD中，AC与BD交于O点，∠OAB＝∠OBA．
（1）求证：
四边形ABCD为矩形；
（2）作BE⊥AC于E，CF⊥BD于F，求证：
BE＝CF．
2.直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是（）
A.26B.13C.8.5D.6.5
第4题图
4.如图所示，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，
使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF．若CD＝6，
则AF等于（ ）
A.
B.
C.
D.８
第8题图
6.已知矩形的周长为40
，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长
的差为8
，则较大的边长为.
8.如图所示，E为□ABCD外，AE⊥CE,BE⊥DE，
求证：
□ABCD为矩形
6．下列命题中不正确的是（）．
（A）直角三角形斜边中线等于斜边的一半
（B）矩形的对角线相等
（C）矩形的对角线互相垂直
（D）矩形是轴对称图形
13．已知：
如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．
求证：
AE平分∠BAD．
11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．
（1）求证：
D是BC的中点；
（2）如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
第3题图
1、下列说法错误的是（）
A.矩形的对角线互相平分B.矩形的对角线相等C.有一个角是直角的四边形是矩形
D.有一个角是直角的平行四边形是矩形
2.直角三角形中，两直角边长分别为12和5，则斜边中线长是（）
A.26B.13C.8.5D.6.5
3.如图所示，四边形ABCD为矩形纸片．把纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的
中点E处，折痕为AF．若CD＝6，则AF等于（ ）A.
B.
C.
D.８
4.已知矩形的周长为40
，被两条对角线分成的相邻两个三角形的周长的差为8
，则较大的边长为.
5．下列命题中不正确的是（）．
（A）直角三角形斜边中线等于斜边的一半（B）矩形的对角线相等（C）矩形的对角线互相垂直（D）矩形是轴对称图形
第8题图
6.如图所示，E为□ABCD外，AE⊥CE,BE⊥DE，
求证：
□ABCD为矩形
7．已知：
如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．
求证：
AE平分∠BAD．
8．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的
平行线交BE的延长线于F，且AF＝DC，连结CF．
（1）求证：
D是BC的中点；
（2）如果AB＝AC，试猜测四边形ADCF的形状，并证明你的结论．、
5、一矩形的周长是
，相邻两边之比是
，那么这个矩形的面积是多少？
7、如图，在矩形
中，
，
，
.
（1）求出
的长度；
（2）求矩形
的周长.
8、已知：
如图，
是矩形
对角线的交点，
平分
，
，求
的度数．（提示：
）
解：
9．如图，BD、CE是的高，G、F分别是BC、DE的中点，
求证：
FG⊥DE
10＊．如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P是AD上一点，
PE⊥AC于E点，PF⊥BD于F点，则PE+PF的值为？
11＊．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点E为AB的中点，连接CE，过点E作
ED⊥BC于D，在DE的延长线上取一点F，使AF=CE．
求证：
四边形ACEF为平行四边形．
菱形的性质
1.准备知识
平行四边形性质：
矩形性质：
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