数学实验一.docx
《数学实验一.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数学实验一.docx（16页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
数学实验一
重庆大学
学生实验报告
实验课程名称
开课实验室
学院年级专业班
学生姓名学号
开课时间至学年第学期
总成绩
教师签名
数学与统计学院制
开课学院、实验室：
实验时间：
年月日
课程
名称
实验项目
名称
实验项目类型
验证
演示
综合
设计
其他
指导
教师
成绩
实验目的
[1]熟悉MATLAB软件的用户环境；
[2]了解MATLAB软件的一般目的命令；
[3]掌握MATLAB数组操作与运算函数；
[4]掌握MATLAB软件的基本绘图命令；
[5]掌握MATLAB语言的几种循环、条件和开关选择结构。
[6]学习由实际问题去建立数学模型的过程；
[7]训练综合应用物理学、解析几何、高等数学和微分方程的知识分析和解决实际问题；
[8]熟练应用matlab软件的作图，方程求解，微分方程求解等功能来求解其中涉及的数学问题；
[9]提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力
基础实验
一、实验内容
1．在同一个坐标下作出,
这四条曲线的图形,观察、发现、联想、猜想，给出验证及理论证明。
2．用subplot分别在不同的坐标系下作出四条曲线：
1）概率曲线:
2）四叶玫瑰线:
=sin2；（polar函数）
3）叶形线:
4）曳物线:
3．作出曲面1）
2）环面：
的3维图形
4．建立一个命令M-文件：
求所有的“水仙花数”，所谓“水仙花数”是指一个三位数，其各位数字的立方和等于该数本身。
例如，153是一个水仙花数，因为
。
5.利用下面的几个关系式给出几个数学常量的近似值：
欧拉常数＝
圆周率满足：
第一个要求精确到小数点后20位,第二个要求精确到小数点后4位,第三个精确到小数点后6位.并讨论精确度和迭代次数有什么样的关系.
6．求下列方程的根
1）
在[-1，1]上的近似解。
2）判定方程
有几个实根?
3）找出函数
的所有零点。
7.求解线性方程组：
8.求下列方程组的解
使用命令solve（）或fsolve（）。
x0=[-5,-5]
二、实验过程（一般应包括实验原理或问题分析，算法设计、程序、计算、图表等，实验结果及分析）
第一题名字为ex1的M文件：
x=-4:
0.1:
4;
y=1+x;
plot（x,y）
holdon
y=1+x+（x.^2）/2;
plot（x,y）
holdon
y=1+x+x.^2/2+x.^3/6;
plot（x,y）
holdon
y=2.71828.^x;
plot（x,y）
运行结果截图：
第二题名字为ex2的M文件：
x=-2:
0.1:
2;
y=2.71828.^-（x.^2）;
subplot（2,2,1）,plot（x,y）;title（'概率曲线'）
theta=0:
0.01*pi:
2*pi;
rho=sin（2.*theta）;
subplot（2,2,2）,polar（theta,rho）;title（'四叶玫瑰线'）
t=-5:
0.1:
5;
x=（3.*t）./（1+t.^3）;
y=（3.*t.^2）./（1+t.^3）;
subplot（2,2,3）,plot（x,y）;title（'叶形线'）
y=-5:
0.01:
5;
x1=log（（1+（1-y.^2）.^0.5）./y）-（1-y.^2）.^0.5;
x2=log（（1-（1-y.^2）.^0.5）./y）+（1-y.^2）.^0.5;
subplot（2,2,4）,plot（y,x1,y,x2）;title（'曳物线'）
运行结果截图：
第三题第一小题名字为ex3的M文件：
x=-2:
0.01:
2;
y=x;
[X,Y]=meshgrid（x,y）;
Z=sin（pi*（X.^2+4.*Y.^2）.^0.5）;
mesh（X,Y,Z）;
运行结果截图：
第三题第二小题名字为ex4的M文件：
u=0:
0.01*pi:
2*pi;
v=u;
[U,V]=meshgrid（u,v）;
X=（1+cos（U））.*cos（V）;
Y=（1+cos（U））.*sin（V）;
Z=sin（U）;
mesh（X,Y,Z）;
运行结果截图：
第四题名字为ex5的M文件：
forx=100:
999;
a=mod（x,10）;
b=mod（fix（x/10）,10）;
c=fix（x/100）;
ifx==a*a*a+b*b*b+c*c*c
y=x
end
end
运行结果截图：
第五题中，迭代次数越多，所得结果越接近其精确值。
第五题第一小题名字为ex6的M文件：
i=0;e=1;
while1/jiecheng（i+1）>10^-20
i=i+1;
e=e+1/jiecheng（i）;
end
sprintf（'%1.20f',e）
名字为jiecheng的M文件：
functiony=jiecheng（x）
y=1;
fori=x:
-1:
1;
y=y*i;
end
end
运行结果截图：
第五题第二小题名字为ex7的M文件：
i=3;y=1+1/2;
while1/i>=10^-6
y=y+1/i;
i=i+1;
end
y=y-log（i-1）
运行结果截图：
第五题第三小题名字为ex8的M文件：
y=1;i=2;
while1/i^2>=10^-12
y=y+1/i^2;
i=i+1;
end
sprintf（'%1.6f',sqrt（6*y））
运行结果截图：
采用放大法在区间[-1,1]上求近似根。
第六题第一小题名字为ex9的M文件：
x=-1:
0.01:
1;
y=x.*sin（x）+cos（x）-sin（x）-2.*x;
plot（x,y）
gridon
放大后，可以观察到，在0.356与0.3565之间有一根。
第六题第二小题：
该方程左边单调递增，值域为负无穷大到正无穷大，所以有且仅有一个实根。
名字为ex10的M文件：
x=-3:
0.01:
3;
y=x.^7+x.^5+1;
plot（x,y）
gridon
运行结果截图：
缩小区间至[-1,-0.5];
截图如下；
第六题第三小题名字为ex11的M文件：
p=[1,-6,-2,12];
roots（p）
运行结果截图如下：
第七题名字为ex12的M文件：
A=[721-2;9153-2;-2-2115;13213];
B=[4;7;-1;0];
x=A\B
运行结果截图：
第八题第一小题名字为ex13的M文件：
y=fsolve（'qwe',[-5,-5]）
名字为qwe的M文件：
functionf=qwe（x）
f
（1）=2*x
（1）-x
（2）-2.71828^（-x
（1））;
f
（2）=-x
（1）+2*x
（2）-2.71828^-（x
（2））;
运行结果截图：
第八题第二小题名字为ex14_1的M文件：
y=fsolve（'asd',[-100;-100;-100]）
名字为asd的M文件：
functionF=asd（x）;
F
（1）=x
（1）^2-5*x
（2）^2+7*x（3）^2+12;
F
（2）=3*x
（1）*x
（2）+x
（1）*x（3）-11*x
（1）;
F（3）=2*x
（2）*x（3）+40*x
（1）;
运行结果截图；
应用实验（或综合实验）
一、实验内容
1.炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为200m/s，问要击中水平距离360m、垂直距离160m的目标，当忽略空气阻力时，发射角应多大？
进一步思考：
如果要考虑水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1（1/s），结果又如何？
炮弹质量假设为10千克？
2.讨论:
有这样的电视节目,对一件商品要求观众猜价格,主持人对观众所猜的数目的回答是高或者低（相对于实际价格）.现在的问题时,对于价格在1000元之内的商品,寻找一个最好的方法,保证在最少的次数猜中商品价格.试给出竞猜5次得到正确答案的概率位多大.（设商品最小价格单位为元）提示:
利用二分法的思想,可以比较快的得到竞猜次数的最大值.一个更有趣的方法是二叉树,其深度就是对应的解.对于平均次数,可以采用模拟的方法,比如产生10000次随机数,看每次猜中的次数,平均就得到平均次数.
二、问题分析
第一题：
第一小问里面，炮弹的速度可以看成是水平方向的匀速直线运动，竖直方向加速度为g的匀减速直线运动。
第二问中，竖直方向不变，水平方向增加阻力，即水平方向为加速度逐渐减小的减速运动。
可以运用加速度是速度队时间的导数，速度是位移对时间的导数来解决。
第二题：
观众要用最快的方法猜得最终结果，即采用C语言中的二分查找法。
每次折半查找，直到找到最终的商品价格。
三、数学模型的建立与求解（一般应包括模型、求解步骤或思路，程序放在后面的附录中）
第一题：
第一小问：
水平方向初速度×运动时间=水平位移360m。
竖直方向初速度×运动时间-0.5gt^2=竖直位移160m。
水平初速度为vcosθ，竖直方向初速度为vsinθ。
第二小问：
竖直方向方程不变，水平方向由a=-0.01v，将a用dv/dt替换，解出v与时间t的关系，对时间t积分得到水平位移x与时间的关系。
由于水平位移题中规定为160m，得出水平方向方程。
联立即可求得发射角θ与时间t。
第二题：
提示给出运用二叉树模型，二叉树深度即为竞猜者的机会数。
这样分析，二叉树的前面5层的每一个节点，竞猜者均能在主持人给出的提示的帮助下猜中。
也就是1000个商品价格里会有31个价格消费者可以猜中，概率P=0.031。
编写程序模拟该过程时，每次折半时结果都要取整，否则会因为找不到该数而进入死循环。
每次猜中时，如果次数不超过5，计数器t加一，整个循环结束后，t/总实验次数即为概率。
模拟一次猜测过程时，先产生一个随机数key作为该次的中奖数字。
采用二分查找法查找，如果第一次middle的值小于key，则下一次在middle与high之间查找key。
如果middle的值大于key，下一次在low与middle之间查找key，如果恰等于key，则退出循环，并比较查找次数，如果小于等于5，计数器t加一。
四、实验结果及分析
第一题第一问运行结果截图如下：
第一题第二问运行结果截图如下：
第二题运行结果截图如下：
由第一题结果可以看见，增加空气阻力后，角度减小以增加水平方向的速度分量，且运动时间相应延长了。
（注：
运算结果为弧度制）
第二题的结果可以看见，即使增加样本数目，P依旧在0.031附近摆动。
且同样的样本数目概率也不一样，体现了该模拟的随机性。
五、附录（程序等）
1.以下是第一题第一问的名字为ex15_4的M文件:
y=fsolve（'pd1',[0;0]）
以下是名字为pd1的M文件：
functionF=pd1（x）
F
（1）=200*cos（x
（1））*x
（2）-360;
F
（2）=200*sin（x
（1））*x
（2）-9.8/2*x
（2）*x
（2）-160;
以下是第一题第二问名字为ex15_3的M文件：
y=fsolve（'pd',[0;0]）
以下是名字为pd的M文件：
functionF=pd（x）
F
（1）=200*sin（x
（1））*x
（2）-9.8/2*x
（2）*x
（2）-160;
F
（2）=100*200*cos（x
（1））-100*200*cos（x
（1））*exp（-0.01*x
（2））-360;
2.以下是第二题的名字为gailv的M文件：
N=input（'请输入样本数目:
'）;
t=0;
fori=1:
N
low=0;high=1000;
key=rand（1,1）*1000;count=1;
key=ceil（key）;
while1
middle=ceil（（low+high）/2）;
ifmiddle>key
high=middle;count=count+1;continue;
end
ifmiddlelow=middle;count=count+1;continue;
end
ifmiddle==key
break;
end
end
ifcount<=5
t=t+1;
end
end
P=t/N
总结与体会
初次运用matlab软件，还是很不习惯。
虽然有些算法的分析过程和上学期C语言有很多相似之处，但是实现起来却大不一样，很多语法规则都变了，也有很多函数的名字以及用法都不时那么清楚，造成了编写程序上的障碍。
但是，通过这次应用，真的体会到了matlab的强大，很多非常复杂的方程组，以及很多不能直观画出来的图像，可以通过计算机很轻松的解决，为分析很多复杂问题提供了便利。
教师签名
年月日
升级会员 