一元二次方程的解练习1.docx

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一元二次方程的解练习1

【一元二次方程的解】练习1

一．选择题（共22小题）

1．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1B．﹣1C．1或﹣1D．

2．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+

ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（　　）

A．﹣1或4B．﹣1或﹣4C．1或﹣4D．1或4

3．若关于x的方程x2+（m+1）x+

=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（　　）

A．﹣

B．

C．﹣

或

D．1

4．方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（　　）

A．0B．1C．2D．3

5．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　）

A．1B．﹣1C．0D．﹣2

6．满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有几个（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

7．若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）

A．M＞NB．M=NC．M＜ND．不确定

8．若0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，则m值为（　　）

A．1B．0C．1或2D．2

9．一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（　　）

A．﹣2B．

C．﹣4D．2

10．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（　　）

A．﹣1B．1C．1或﹣1D．﹣1或0

11．关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（　　）

A．2B．3C．1D．4

12．若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（　　）

A．1B．0C．﹣1D．2

13．若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣

ax+a2=0的一个根，则a的值为（　　）

A．1或4B．﹣1或﹣4C．﹣1或4D．1或﹣4

14．关于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一个根是1，则m的值是（　　）

A．0B．﹣

C．

D．0或

，

15．已知方程a3﹣5a2+3a=0三个根分别为a1，a2，a3，则计算a1（a2+a3）+a2（a1+a3）+a3（a1+a2）的值（　　）

A．﹣5B．6C．﹣6D．3

16．若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+3n=0的一个根，则m+n的值是（　　）

A．﹣3B．﹣1C．1D．3

17．已知x=1是关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的一个根，则a的值是（　　）

A．2B．﹣2C．1D．﹣1

18．关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．2B．﹣2C．2或﹣2D．0

19．已知a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则a3+8β+6的值为（　　）

A．﹣1B．2C．22D．30

20．设a是方程x2+2x﹣2=0的一个实数根，则2a2+4a+2016的值为（　　）

A．2016B．2018C．2020D．2021

21．关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为（　　）

A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1

22．一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（　　）

A．1B．2C．﹣1D．﹣2

二．填空题（共15小题）

23．若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b=　　．

24．已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=　　．

25．三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为　　．

26．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一个根是0，则m的值是　　．

27．若x=1是一元二次方程x2+2x+m=0的一个根，则m的值为　　．

28．方程2x﹣4=0的解也是关于x的方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为　　．

29．已知关于x的一元二次方程2x2﹣3mx﹣5=0的一个根是﹣1，则m=　　．

30．若正数a是一元二次方程x2﹣5x+m=0的一个根，﹣a是一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根，则a的值是　　．

31．关于m的一元二次方程

nm2﹣n2m﹣2=0的一个根为2，则n2+n﹣2=　　．

32．若x=1是一元二次方程x2+2x+a=0的一个根，那么a=　　．

33．已知关于x的方程x2+x+2a﹣1=0的一个根是0，则a=　　．

34．若a是方程x2﹣2x﹣2015=0的根，则a3﹣3a2﹣2013a+1=　　．

35．若x=a是方程x2﹣x﹣2015=0的根，则代数式2a2﹣2a﹣2015值为　　．

36．关于x的两个方程x2﹣x﹣2=0与

有一个解相同，则a=　　．

37．已知x=﹣1是一元二次方程ax2+bx﹣10=0的一个解，且a≠﹣b，则

的值为　　．

三．解答题（共3小题）

38．先化简，再求值：

，其中a是方程

的解．

39．若0是关于x的方程（m﹣2）x2+3x+m2+2m﹣8=0的解，求实数m的值，并讨论此方程解的情况．

40．阅读下列材料：

（1）关于x的方程x2﹣3x+1=0（x≠0）方程两边同时乘以

得：

即

，

，

（2）a3+b3=（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）．

根据以上材料，解答下列问题：

（1）x2﹣4x+1=0（x≠0），则

=　　，

=　　，

=　　；

（2）2x2﹣7x+2=0（x≠0），求

的值．

【一元二次方程的解】练习1

参考答案与试题解析

一．选择题（共22小题）

1．（2017•博山区校级一模）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．1B．﹣1C．1或﹣1D．

【分析】根据方程的解的定义，把x=0代入方程，即可得到关于a的方程，再根据一元二次方程的定义即可求解．

【解答】解：

根据题意得：

a2﹣1=0且a﹣1≠0，

解得：

a=﹣1．

故选B．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，特别需要注意的条件是二次项系数不等于0．

2．（2016•攀枝花）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2+

ax﹣a2=0的一个根，则a的值为（　　）

A．﹣1或4B．﹣1或﹣4C．1或﹣4D．1或4

【分析】把x=﹣2代入已知方程，列出关于a的新方程，通过解新方程可以求得a的值．

【解答】解：

根据题意，将x=﹣2代入方程x2+

ax﹣a2=0，得：

4﹣3a﹣a2=0，即a2+3a﹣4=0，

左边因式分解得：

（a﹣1）（a+4）=0，

∴a﹣1=0，或a+4=0，

解得：

a=1或﹣4，

故选：

C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

3．（2016•包头）若关于x的方程x2+（m+1）x+

=0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m的值是（　　）

A．﹣

B．

C．﹣

或

D．1

【分析】由根与系数的关系可得：

x1+x2=﹣（m+1），x1•x2=

，又知一个实数根的倒数恰是它本身，则该实根为1或﹣1，然后把±1分别代入两根之和的形式中就可以求出m的值．

【解答】解：

由根与系数的关系可得：

x1+x2=﹣（m+1），x1•x2=

，

又知一个实数根的倒数恰是它本身，

则该实根为1或﹣1，

若是1时，即1+x2=﹣（m+1），而x2=

，解得m=﹣

；

若是﹣1时，则m=

．

故选：

C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义和一元二次方程根与系数的关系．解此类题目要会把代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可．

4．（2015•泰安模拟）方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（　　）

A．0B．1C．2D．3

【分析】因为方程有一个公共根，两方程联立，解得x与a的关系，故可以解得公共解x，然后求出a．

【解答】解：

∵方程x2+ax+1=0和x2﹣x﹣a=0有一个公共根，

∴（a+1）x+a+1=0，且a+1≠0，

解得x=﹣1，

当x=﹣1时，

a=2，

故选C．

【点评】本题主要考查根与系数的关系的知识点，掌握两根之和两根之积与方程系数的关系．

5．（2014•菏泽）已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（　　）

A．1B．﹣1C．0D．﹣2

【分析】由于关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，那么代入方程中即可得到b2﹣ab+b=0，再将方程两边同时除以b即可求解．

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，

∴b2﹣ab+b=0，

∵﹣b≠0，

∴b≠0，

方程两边同时除以b，得b﹣a+1=0，

∴a﹣b=1．

故选：

A．

【点评】此题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是把已知方程的根直接代入方程进而解决问题．

6．（2012•浙江校级自主招生）满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有几个（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【分析】因为1的任何次幂为1，﹣1的偶次幂为1，非0数的0次幂为1，所以应分三种情况讨论n的值．

【解答】解：

（1）n2﹣n﹣1=1，解得：

n=2或n=﹣1；

（2）

，解得：

n=0；

（3）

，解得：

n=﹣2．

故选：

A．

【点评】本题比较复杂，解答此题时要注意1的任何次幂为1，﹣1的偶次幂为1，非0数的0次幂为1，三种情况，不要漏解．

7．（2016•大庆）若x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，设M=1﹣ac，N=（ax0+1）2，则M与N的大小关系正确的为（　　）

A．M＞NB．M=NC．M＜ND．不确定

【分析】把x0代入方程ax2+2x+c=0得ax02+2x0=﹣c，作差法比较可得．

【解答】解：

∵x0是方程ax2+2x+c=0（a≠0）的一个根，

∴ax02+2x0+c=0，即ax02+2x0=﹣c，

则N﹣M=（ax0+1）2﹣（1﹣ac）

=a2x02+2ax0+1﹣1+ac

=a（ax02+2x0）+ac

=﹣ac+ac

=0，

∴M=N，

故选：

B．

【点评】本题主要考查一元二次方程的解得概念及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解是根本，利用作差法比较大小是解题的关键．

8．（2015•陕西模拟）若0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，则m值为（　　）

A．1B．0C．1或2D．2

【分析】把方程的一个根0直接代入方程即可求出m的值．

【解答】解：

∵0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0的一根，

∴（m﹣1）×0+5×0+m2﹣3m+2=0，即m2﹣3m+2=0，

解方程得：

m1=1（舍去），m2=2，

∴m=2，

故选D．

【点评】本题考查了一元二次方程的解，解题的关键是直接把方程的一根代入方程，此题比较简单，易于掌握．

9．（2016•微山县校级一模）一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（　　）

A．﹣2B．

C．﹣4D．2

【分析】将x=﹣2代入方程ax2+bx+c=0中的左边，得到4a﹣2b+c，由4a﹣2b+c=0得到方程左右两边相等，即x=﹣2是方程的解．

【解答】解：

将x=﹣2代入ax2+bx+c=0的左边得：

a×（﹣2）2+b×（﹣2）+c=4a﹣2b+c，

∵4a﹣2b+c=0，

∴x=﹣2是方程ax2+bx+c=0的根．

故选A．

【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．

10．（2016•济宁二模）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，则a的值是（　　）

A．﹣1B．1C．1或﹣1D．﹣1或0

【分析】将x=0代入关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0即可求得a的值．注意，二次项系数a﹣1≠0．

【解答】解：

∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0的一个根是0，

∴（a﹣1）×0+0+a2﹣1=0，且a﹣1≠0，

解得a=﹣1；

故选A．

【点评】本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

11．（2016•九龙坡区模拟）关于x的方程ax2+bx+c=3的解与（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，则a+b+c的值为（　　）

A．2B．3C．1D．4

【分析】首先利用因式分解法求出方程（x﹣1）（x﹣4）=0的解，再把x的值代入方程ax2+bx+c=3即可求出a+b+c的值．

【解答】解：

∵方程（x﹣1）（x﹣4）=0，

∴此方程的解为x1=1，x2=4，

∵关于x的方程ax2+bx+c=3与方程（x﹣1）（x﹣4）=0的解相同，

∴把x1=1代入方程得：

a+b+c=3，

故选B．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的知识，解答本题的关键是求出方程（x﹣1）（x﹣4）=0的两根，此题难度不大．

12．（2017•鄞州区模拟）若关于x的一元二次方程x2﹣x﹣m=0的一个根是x=1，则m的值是（　　）

A．1B．0C．﹣1D．2

【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x=1代入一元二次方程可得到关于m的一元一次方程，然后解一次方程即可．

【解答】解：

把x=1代入x2﹣x﹣m=0得1﹣1﹣m=0，

解得m=0．

故选B．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

13．（2014•陕西）若x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣

ax+a2=0的一个根，则a的值为（　　）

A．1或4B．﹣1或﹣4C．﹣1或4D．1或﹣4

【分析】将x=﹣2代入关于x的一元二次方程x2﹣

ax+a2=0，再解关于a的一元二次方程即可．

【解答】解：

∵x=﹣2是关于x的一元二次方程x2﹣

ax+a2=0的一个根，

∴4+5a+a2=0，

∴（a+1）（a+4）=0，

解得a1=﹣1，a2=﹣4，

故选：

B．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，解题关键是把x的值代入，再解关于a的方程即可．

14．（2015•石河子校级模拟）关于x的方程（3m2+1）x2+2mx﹣1=0的一个根是1，则m的值是（　　）

A．0B．﹣

C．

D．0或

，

【分析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．

【解答】解：

把1代入方程得3m2+1+2m﹣1=0，解得m=0或

，

故选：

D．

【点评】本题的关键是把x的值代入原方程，得到一个关于待定系数的一元二次方程，然后求解．

15．（2012•富顺县校级模拟）已知方程a3﹣5a2+3a=0三个根分别为a1，a2，a3，则计算a1（a2+a3）+a2（a1+a3）+a3（a1+a2）的值（　　）

A．﹣5B．6C．﹣6D．3

【分析】首先解方程a3﹣5a2+3a=0即a（a2﹣5a+3）=0，发现它有一个根是0，不妨设a1=0，则a2，a3是一元二次方程a2﹣5a+3=0的两个根，由一元二次方程根与系数的关系，可知a2a3=3，a2+a3=5并把a1=0代入所求代数式即可求出结果．

【解答】解：

解方程a3﹣5a2+3a=0，得a（a2﹣5a+3）=0，

令a1=0，则a2，a3是一元二次方程a2﹣5a+3=0的两个根，

∴a2a3=3，a2+a3=5

∴a1（a2+a3）+a2（a1+a3）+a3（a1+a2）=0+a2a3+a2a3=2a2a3=6．

故选B．

【点评】考查了高次方程的解法思路及一元二次方程根与系数的关系．本题如果将方程a3﹣5a2+3a=0三个根求出来，再代入所求代数式，则显得繁琐．

16．（2015•岳池县模拟）若n（n≠0）是关于x的方程x2+mx+3n=0的一个根，则m+n的值是（　　）

A．﹣3B．﹣1C．1D．3

【分析】根据一元二次方程的解的定义得到n2+mn+3n=0，然后两边除以n即可得到m+n的值．

【解答】解：

把x=n代入x2+mx+3n=0得n2+mn+3n=0，

∵n≠0，

∴n+m+3=0，

即m+n=﹣3．

故选A．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

17．（2016•山西模拟）已知x=1是关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的一个根，则a的值是（　　）

A．2B．﹣2C．1D．﹣1

【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=1代入关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0，列出关于a的方程，通过解该方程求得a值即可．

【解答】解：

∵x=1是关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0的一个根，

∴x=1满足关于x的一元二次方程2x2﹣x+a=0，

∴2×12﹣1+a=0，即1+a=0，

解得，a=﹣1；

故选D．

【点评】本题考查了一元二次方程的解．一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的解均满足该方程的解析式．

18．（2015•诏安县校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a的值为（　　）

A．2B．﹣2C．2或﹣2D．0

【分析】由一元二次方程的定义，可知a﹣2≠0；一根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0可得a2﹣4=0．a的值可求．

【解答】解：

∵（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0是关于x的一元二次方程，∴a﹣2≠0，即a≠2①

由一个根是0，代入（a﹣2）x2+x+a2﹣4=0，可得a2﹣4=0，解之得a=±2；②

由①②得a=﹣2．故选B．

【点评】本题考查一元二次方程的定义应用，二次项系数不为0．解题时须注意，此为易错点．否则选C就错了．

19．（2015秋•万州区校级月考）已知a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，则a3+8β+6的值为（　　）

A．﹣1B．2C．22D．30

【分析】根据求根公式x=

求的α、β的值，然后将其代入所求，并求值．

【解答】解：

方程x2﹣2x﹣4=0解是x=

，即x=1±

，

∵a、β是方程x2﹣2x﹣4=0的两个实数根，

∴①当α=1+

，β=1﹣

时，

a3+8β+6，

=（1+

）3+8（1﹣

）+6，

=16+8

+8﹣8

+6，

=30；

②当α=1﹣

，β=1+

时，

a3+8β+6，

=（1﹣

）3+8（1+

）+6，

=16﹣8

+8+8

+6，

=30．

故选D．

【点评】本题主要考查了一元二次方程的解．解答本题时，采用了“公式法”．

20．（2016•本溪一模）设a是方程x2+2x﹣2=0的一个实数根，则2a2+4a+2016的值为（　　）

A．2016B．2018C．2020D．2021

【分析】首先由已知可得a2+2a﹣2=0，即a2+2a=2．然后化简代数式，注意整体代入，从而求得代数式的值．

【解答】解：

把x=a代入得到a2+2a﹣2=0，

则a2+2a=2．

又∵2a2+4a=2（a2+2a），

把a2+2a=2代入2a2+4a+2016=2（a2+2a）+2016=2×2+2016=2020，

故选：

C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．注意解题中的整体代入思想的应用．

21．（2011•乌鲁木齐）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为（　　）

A．﹣1B．0C．1D．﹣1或1

【分析】先把x=0代入方程求出a的值，然后根据二次项系数不能为0，把a=1舍去．

【解答】解：

把x=0代入方程得：

|a|﹣1=0，

∴a=±1，

∵a﹣1≠0，

∴a=﹣1．

故选：

A．

【点评】本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程得到a的值，再由二次项系数不为0，确定正确的选项．

22．（2014•甘孜州）一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，则p的值为（　　）

A．1B．2C．﹣1D．﹣2

【分析】把x=2代入已知方程，列出关于p的一元一次方程，通过解该方程来求p的值．

【解答】解：

∵一元二次方程x2+px﹣2=0的一个根为2，

∴22+2p﹣2=0，

解得p=﹣1．

故选：

C．

【点评】本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

二．填空题（共15小题）

23．（2015•兰州）若一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0有一根为x=﹣1，则a+b=　2015　．

【分析】由方程有一根为﹣1，将x=﹣1代入方程，整理后即可得到a+b的值．

【解答】解：

把x=﹣1代入一元二次方程ax2﹣bx﹣2015=0得：

a+b﹣2015=0，

即a+b=2015．

故答案是：

2015．

【点评】此题考查了一元二次方程的解的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，关键是把方程的解代入方程．

24．（2016•菏泽）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m=　6　．

【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，本题得以解决．

【解答】解：

∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，

∴m2﹣2m﹣3=0，

∴m2﹣2m=3，

∴2m2﹣4m=6，

故答案为：

6．

【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

25．（2016•临夏州）三角形的两边长分别是3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40=0的根，则该三角形的周长为　12　．

【分析】先利用因式分解法解方程得到x1=5，x2=8，再根据三角形三边的关系确定三角形第三边的长为5，然后计算三角形的周长．

【解答】解：

x2﹣13x+40=0，

（x﹣5）（x﹣8）=0，

所以x1=5，x2=8，

而三角形的两边长分别是3和4，

所以三角形第三边的长为5，

所以三角形的周长为3+4+5=12．

故答案为12．

【点评】本题考查了一元二次方程的解：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．

26．（20