高中数学基本不等式的证明I.docx
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高中数学基本不等式的证明I
2019-2020年高中数学基本不等式的证明（I）
教学目标
（1）进一步掌握基本不等式；
（2）会运用基本不等式求某些函数的最值，求最值时注意一正二定三相等。
教学重点，难点
基本不等式的灵活运用。
教学过程
一．问题情境
1．情境：
（1）复习：
基本不等式；
（2）练习：
已知，求证：
2．基本不等式除了常用于证明不等式外，还经常用于求某些函数的最大值或最小值。
二．建构数学
已知都是正数，
①如果积是定值，那么当时，和有最小值；
②如果和是定值，那么当时，积有最大值．
证明：
∵，∴，
①当（定值）时，∴，
∵上式当时取“”，∴当时有；
②当（定值）时，∴，
∵上式当时取“”∴当时有．
说明：
①最值的含义（“”取最小值，“”取最大值）；
②用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：
一“正”、二“定”、三“相等”。
三．数学运用
1．例题：
例1．
（1）求的最值，并求取最值时的的值。
解：
∵∴
于是
，
当且仅当，即时，等号成立，
∴的最小值是，此时．
（2）若上题改成，结果将如何？
解：
∵，于是，
从而，∴的最大值是，此时．
例2．求的最大值，并求取时的的值。
解：
∵，∴，∴
则，当且仅当，即时取等号。
∴当时，取得最大值4。
例3．若，则为何值时有最小值，最小值为多少？
解：
∵，∴，∴，∴=
，当且仅当即时
例4．若，求的最小值。
解：
∵，∴
当且仅当
，即
时取等号，
∴当时，取最小值
2．练习：
（1）若，求的最值；
（2）下列函数中，最小值是的是（）
，
四．回顾小结：
1．用基本不等式求最值的必须具备的三个条件：
一“正”、二“定”、三“相等”，当给出的函数式不具备条件时，往往通过对所给的函数式及条件进行拆分、配凑变形来创造利用基本不等式的条件进行求解；
2．运用基本不等式求最值常用的变形方法有：
（1）运用拆分和配凑的方法变成和式和积式；
（2）配凑出和为定值；（3）配凑出积为定值；（4）将限制条件整体代入。
五．课外作业：
课本4，习题3.44
补充：
1．已知，求的最大值，并求相应的值。
2．已知，求的最大值，并求相应的值。
3．已知，求函数的最大值，并求相应的值。
4．已知求的最小值，并求相应的值。
2019-2020年高中数学基本知识基本思想基本方法
一、集合与简易逻辑
1.必须弄清集合的元素是什么，是函数关系中自变量的取值？
还是因变量的取值？
还是曲线上的点？
如：
{x|y=lgx}，{y|y=lgx}，{（x，y）|y=lgx}.…；
2.数形结合是解集合问题的常用方法，解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具，将抽象的代数问题具体化、形象化、直观化，然后利用数形结合的思想方法解决；
3.一个语句是否为命题，关键要看能否判断真假，陈述句、反诘问句都是命题，而祁使句、疑问句、感叹句都不是命题；
4.判断命题的真假要以真值表为依据。
原命题与其逆否命题是等价命题，逆命题与其否命题是等价命题，一真俱真，一假俱假，当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假；
5.判断命题充要条件的三种方法：
（1）定义法；
（2）利用集合间的包含关系判断，若，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件；（3）等价法：
即利用等价关系判断，对于条件或结论是不等关系（或否定式）的命题，一般运用等价法；
6.
（1）含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集（非空子集）个数为2n－1；
（2）
（3）
二、函数:
研究函数的问题一定要注意定义域优先的原则。
1.复合函数的有关问题
（1）复合函数定义域求法：
若已知f（x）的定义域为［a，b］,其复合函数f[g（x）]的定义域由不等式a≤g（x）≤b解出即可；若已知f[g（x）]的定义域为[a,b],求f（x）的定义域，相当于x∈[a,b]时，求g（x）的值域（即f（x）的定义域）；
（2）复合函数的单调性由“同增异减”判定；
2.函数的奇偶性
（1）若f（x）是偶函数，那么f（x）=f（－x）=;
（2）定义域含零的奇函数必过原点（可用于求参数）；
（3）判断函数奇偶性可用定义的等价形式：
f（x）±f（-x）=0或（f（x）≠0）;
（4）若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性；
（5）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反的单调性；
3.函数图像（或方程曲线的对称性）
（1）证明函数图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；
（2）证明图像C1与C2的对称性，即证明C1上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在C2上，反之亦然；
（3）曲线C1：
f（x,y）=0,关于y=x+a（y=－x+a）的对称曲线C2的方程为f（y－a,x+a）=0（或f（－y+a,－x+a）=0）;
（4）曲线C1:
f（x,y）=0关于点（a,b）的对称曲线C2方程为：
f（2a－x,2b－y）=0;
（5）若函数y=f（x）对x∈R时，f（a+x）=f（a－x）恒成立，则y=f（x）图像关于直线x=a对称；
（6）函数y=f（x－a）与y=f（b－x）的图像关于直线x=对称；
4.函数的周期性
（1）y=f（x）对x∈R时，f（x+a）=f（x－a）或f（x－2a）=f（x）（a>0）恒成立,则y=f（x）是周期为2a的周期函数；
（2）若y=f（x）是偶函数，其图像又关于直线x=a对称，则f（x）是周期为2︱a︱的周期函数；
（3）若y=f（x）奇函数，其图像又关于直线x=a对称，则f（x）是周期为4︱a︱的周期函数；
（4）若y=f（x）关于点（a,0）,（b,0）对称，则f（x）是周期为2的周期函数；
（5）y=f（x）的图象关于直线x=a,x=b（a≠b）对称，则函数y=f（x）是周期为2的周期函数；
（6）y=f（x）对x∈R时，f（x+a）=－f（x）（或f（x+a）=，则y=f（x）是周期为2的周期函数；
5.方程k=f（x）有解k∈D（D为f（x）的值域）；
6.a≥f（x）a≥［f（x）］max,;a≤f（x）a≤［f（x）］min;
7.
（1）（a>0,a≠1,b>0,n∈R+）;
（2）logaN=（a>0,a≠1,b>0,b≠1）;
（3）logab的符号由口诀“同正异负”记忆;
（4）alogaN=N（a>0,a≠1,N>0）;
8.能熟练地用定义证明函数的单调性，求反函数，判断函数的奇偶性。
9.判断对应是否为映射时，抓住两点：
（1）A中元素必须都有象且唯一；
（2）B中元素不一定都有原象，并且A中不同元素在B中可以有相同的象；
10.对于反函数，应掌握以下一些结论：
（1）定义域上的单调函数必有反函数；
（2）奇函数的反函数也是奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数;（4）周期函数不存在反函数；（5）互为反函数的两个函数具有相同的单调性；（5）y=f（x）与y=f-1（x）互为反函数，设f（x）的定义域为A，值域为B，则有f[f-1（x）]=x（x∈B）,f-1[f（x）]=x（x∈A）.
11.处理二次函数的问题勿忘数形结合；二次函数在闭区间上必有最值，求最值问题用“两看法”：
一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系；
12.恒成立问题的处理方法：
（1）分离参数法；
（2）转化为一元二次方程的根的分布列不等式（组）求解；
13.依据单调性，利用一次函数在区间上的保号性可解决求一类参数的范围问题：
；
14.掌握函数
的图象和性质；
函
数
（b–ac≠0）
）
定义域
值域
奇偶性
非奇非偶函数
奇函数
单
调
性
当b-ac>0时:
分别在上单调递减；
当b-ac<0时:
分别在上单调递增；
在上单调递增；
在上单调递增；
图
象
y
X
o
X=-c
Y=a
x
y
o
三、数列
1.由Sn求an，an={注意验证a1是否包含在后面an的公式中，若不符合要单独列出。
一般已知条件中含an与Sn的关系的数列题均可考虑用上述公式；
2.等差数列
；
3.等比数列
4.首项为正（或为负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；
5.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；
6.等差数列中,am=an+（n－m）d,;等比数列中，an=amqn-m;q=;
7.当m+n=p+q（m、n、p、q∈N＊）时，对等差数列｛an｝有：
am+an=ap+aq；对等比数列｛an｝有：
aman=apaq；
8.若{an}、{bn}是等差数列，则{kan+bbn}（k、b、a是非零常数）是等差数列；若{an}、{bn}是等比数列，则｛kan｝、{anbn}等也是等比数列；
9.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9…）仍是等差（或等比）数列；
10.对等差数列｛an｝,当项数为2n时，S偶—S奇＝nd；项数为2n－1时，S奇－S偶＝a中（n∈N*）；
11.若一阶线性递归数列an=kan－1+b（k≠0,k≠1）,则总可以将其改写变形成如下形式:
（n≥2），于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；
四、三角函数
1.三角函数符号规律记忆口诀：
一全正，二正弦，三是切，四余弦；
2.对于诱导公式，可用“奇变偶不变，符号看象限”概括；
3.记住同角三角函数的基本关系，熟练掌握三角函数的定义、图像、性质；
4.熟知正弦、余弦、正切的和、差、倍公式，正余弦定理，处理三角形内的三角函数问题勿忘三内角和等于1800，一般用正余弦定理实施边角互化；
5.正弦型函数的对称轴为；对称中心为；类似可得余弦函数型的对称轴和对称中心；
6.
（1）正弦平方差公式：
sin2A－sin2B=sin（A+B）sin（A－B）;
（2）三角形的内切圆半径r=；（3）三角形的外接圆直径2R=
五、平面向量
1.两个向量平行的充要条件,设a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,为实数。
（1）向量式：
a∥b（b≠0）a=b;
（2）坐标式：
a∥b（b≠0）x1y2－x2y1=0;
2.两个向量垂直的充要条件,设a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,
（1）向量式：
a⊥b（b≠0）ab=0;
（2）坐标式：
a⊥bx1x2+y1y2=0;
3.设a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,则ab==x1x2+y1y2;其几何意义是ab等于a的长度与b在a的方向上的投影的乘积；
4.设A（x1,x2）、B（x2,y2），则S⊿AOB＝；
5.平面向量数量积的坐标表示：
（1）若a=（x1,y1）,b=（x2,y2）,则ab=x1x2+y1y2;
;
（2）若a=（x,y）,则a2=aa=x2+y2,;
六、不等式
1.掌握不等式性质，注意使用条件；
2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法，尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法；
3.掌握用均值不等式求最值的方法，在使用a+b≥（a>0,b>0）时要符合“一正二定三相等”；注意均值不等式的一些变形，如
；
七、直线和圆的方程
1.设三角形的三个顶点是A（x1,y1）、B（x2,y2）、C（x
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