旋转问题锦集.docx

旋转问题锦集.docx

《旋转问题锦集.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《旋转问题锦集.docx（11页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

旋转问题锦集

结论：

旋转后可将四边形转化为三角形

旋转一拖二之全等此模型有个形象的名字，可以称为“手拉手模型”。

旋转一拖二之相似

简析：

由BA=BC，可绕B转90度，可证得

逆时针顺时针

将左面的△D’CE单独抽离出来，如图所示：

共定点等腰直角三角形手拉手。

由“等腰直角△ABC”可构造“共顶点的双等腰直角三角形模型”，如图所示，求出AD。

上述辅助线，忽略次要因素，抽离出右边的基本模式，还有一个动听的名字，构造“隐形的翅膀”。

数学就是这么美妙而神奇！

其中DE=10，DF=3，BF=3，EF=13，

故CD=BE=14。

再次构造“隐形的翅膀”，充分利用好120°构造特殊直角三角形，用勾股定理解决问题。

推广：

共顶点的相似三角形，“等线段、共顶点；造旋转、一拖二”。

一、半角模型及其常见结论

在正方形ABCD中，已知E、F分别是边BC、CD上的点，且满足,∠EAF=45°，AE、AF分别与对角线交于点M、N（△AEF满足定角定高为‘唐三角模型’）

求证：

（1）BE+DF=EF

（2）S△ABE+S△ADF=S△AEF

（3）AH=AB

（4）C△ECF=2AB

（5）BM2+DN2=MN2

（6）△AMN∽△DNF∽△BEM∽△AEF∽△BNA∽△DAM

（7）S△AMN=S四边形MNEF

（8）△AOM∽△ADF,△AON∽△ABE

（9）△AEN为等腰直角三角形且∠AEN=45°；△AEN为等腰直角三角形

且∠AEN=45°

（10）A、M、F、D四点共圆；A、B、E、N四点共圆；M、N、F、C、E

五点共圆；

练习

（1）如图1，在△ABC中，∠ACE=45°，CD为AB上的高，若CD=4，试判断AB是否存在最小值？

并求出最小值。

（2）如图2，在四边形ABCD中，∠A=45°，∠B=∠D=90°，BC=CD=

，点E、F分别为AB、AD上的点，若保持CE⊥CF，那么四边形AECF的面积是否存在最大值？

若存在，求出最大面积；若不存在请说明理由。

二、路径旋缩模型（捆绑旋转）

概念:

在平面内，如果两个动点（I、J、H）到一个定点（点F）的距离之比为定值且夹角不变，相当于主动点绕定点进行旋转和位似变换得到从动点，所以从动点（H）的轨迹与主动点（I、J）的路径是相似。

像这样根据主动点和从动点之间的旋转缩放关系，对主动点的路径做相同变换以确定从动点轨迹的这一类题目称之为路径旋缩模型。

满足如下特征：

（1）包含两个动点（主动点与从动点）一个定点

（2）从动点是由主动点绕定点旋缩而成，其中，旋转角和缩放比均为定值（3）主动点的路径为一个确定的几何图形（如圆弧、线段等）

1、例题

如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，AB=BC=10,P是⊙O上一动点，连接PC，以PC为边作△PCD,使∠PDC=90°。

tan∠DPC=3/4，P,C,D三点为逆时针顺序，连接OD，则线段OD长的最小值为_____

分析与解：

由图可知点C为定点，从动点满足D满足∠PDC=90°，tan∠DPC=3/4

所以CD/PC=3/5,从动点可以看作主动点P关于定点C缩小为原来的3/5，再绕着点C旋转∠PCD的大小得到从动点D，主动点P的路径为⊙O，所以由路径旋缩模型可知从动点的轨迹也为一个圆，且他们的路径相似，△OO”C∽△PDC进一步可知O”D/OP=3/5,所以OO”=OCsin∠OCO”=12,O”D=3

所以OD长的最小值为OO”-O”D=9

尝试练习

1．如图，AB=4，O为AB的中点，⊙O的半径为1，点P是⊙O上一动点，以PB为直角边的等腰直角三角形PBC（点P、B、C按逆时针方向排列），则线段AC的长的取值范围为　　．

2如图，点O在线段AB上，OA=1，OB=2，以点O为圆心，OA长为半径的圆为⊙O。

在⊙O上取一点P，以PB为边作△PBC,使∠PBC等于90°，tan∠PCB=1/2,P,B,C为逆时针方向，连接AC，求AC的取值范围

3．如图，已知点A是第一象限内横坐标为2

的一个定点，AC⊥x轴于点M，交直线y=﹣x于点N．若点P是线段ON上的一个动点，∠APB=30°，BA⊥PA，则点P在线段ON上运动时，A点不变，B点随之运动．求当点P从点O运动到点N时，点B运动的路径长是　　．