九年级上《242直角三角形的性质》同步练习含答案解析.docx

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九年级上《242直角三角形的性质》同步练习含答案解析

华师大版数学九年级上册第24章解直角三角形24.2直角三角形的性质同步练习

一、选择题

1、将一副直角三角尺如图放置，若∠AOD=20°，则∠BOC的大小为（　　）

A、140°

B、160°

C、170°

D、150°

2、Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=46°，则∠A=（　　）

A、44°

B、34°

C、54°

D、64°

3、若一个三角形的三条高线交点恰好是此三角形的一个顶点，则此三角形一定是（　　）

A、等腰三角形

B、等边三角形

C、等腰直角三角形

D、直角三角形

4、在一个直角三角形中，有一个锐角等于60°，则另一个锐角的度数是（　　）

A、120°

B、90°

C、60°

D、30°

5、直角三角形的一个锐角是23°，则另一个锐角等于（　　）

A、23°

B、63°

C、67°

D、77°

6、在直角三角形中，其中一个锐角是另一个锐角的2倍，则此三角形中最小的角是（　　）

A、15°

B、30°

C、60°

D、90°

7、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（　　）

A、∠C=∠A+∠B

B、a：

b：

c=3：

4：

5

C、∠C=∠A-∠B

D、∠A：

∠B：

∠C=3：

4：

5

8、在直角三角形中，两个锐角的度数比为2：

3，则较小锐角的度数为（　　）

A、20°

B、32°

C、36°

D、72°

9、已知△ABC是直角三角形，且∠C=Rt∠，若∠A=34°，则∠B=（　　）

A、66°

B、56°

C、46°

D、146°

10、若直角三角形中的两个锐角之差为16°，则较大的一个锐角的度数是（　　）

A、37°

B、53°

C、26°

D、63°

11、如果直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个直角三角形中一个锐角的度数是（　　）

A、9°

B、18°

C、27°

D、36°

12、△ABC中，∠C=90°，∠A：

∠B=2：

3，则∠A的度数为（　　）

A、18°

B、36°

C、54°

D、72°

13、若直角三角形中的两个锐角之差为22°，则较小的一个锐角的度数是（　　）

A、24°

B、34°

C、44°

D、46°

14、Rt△ABC中，∠A=90°，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是（　　）

A、AH＜AE＜AD

B、AH＜AD＜AE

C、AH≤AD≤AE

D、AH≤AE≤AD​

15、直角三角形两锐角的平分线相交得到的钝角为（　　）

A、150o

B、135o

C、120o

D、120o或135o​

二、填空题

16、如图所示的三角板中的两个锐角的和等于________度.

17、Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=35°30′，则∠B=________.

18、如图所示，在△ABC中，∠C=90°，EF∥AB，∠1=50°，则∠B的度数是________度.

19、如图所示，BD⊥AC于点D，DE∥AB，EF⊥AC于点F，若BD平分∠ABC，则与∠CEF相等的角（不包括∠CEF）的个数是________.

​

20、已知Rt△ABC的两直角边长分别为3cm，4cm，斜边长为5cm，则斜边上的高等于________cm.

三、综合题

21、如图，在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，D是AB上一点，且∠ACD=∠B.

求证：

CD⊥AB.

​

22、在直角三角形中，有一个锐角是另一个锐角的4倍，求这个直角三角形各个角的度数.

23、如图所示，在△ACB中，∠ACB=90゜，CD⊥AB于D.

（1）求证：

∠ACD=∠B；

（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：

∠CEF=∠CFE.​

24、如图，△ABC中，AD是BC边上的高线，BE是一条角平分线，它们相交于点P，已知∠EPD=125°，求∠BAD的度数.

​

25、在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，CD⊥AB于D，CE是△ABC的角平分线.

（1）求∠DCE的度数.​

（2）若∠CEF=135°，求证：

EF∥BC.

答案解析部分

一、选择题

1、【答案】B

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】∵将一副直角三角尺如图放置，

∠AOD=20°，

∴∠COA=90°-20°=70°，

∴∠BOC=90°+70°=160°.

故选：

B.

【分析】利用直角三角形的性质以及互余的关系，进而得出∠COA的度数，即可得出答案.​

2、【答案】A

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】∵∠C=90°，∠B=46°，

∴∠A=90°-46°=44°.

故选A.

【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.​

3、【答案】D

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】A、等腰三角形，三条高线交点在三角形内或外或某一顶点处，故A错误；

B、等边三角形，三条高线交点在三角形内，故B错误；

C、因为已知无法确定其两腰相等，而只要是直角三角形就行了，不一定非得是等腰直角三角形，故C错误；

D、因为直角三角形的直角所在的顶点正好是三条高线的交点，所以可以得出这个三角形是直角三角形，故D正确.

故选：

D.

【分析】根据直角三角形的判定方法，对选项进行一一分析，排除错误答案.​

4、【答案】D

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】∵直角三角形中，一个锐角等于60°，

∴另一个锐角的度数=90°-60°=30°.

故选：

D.

【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.​

5、【答案】C

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】∵直角三角形的一个锐角是23°，

∴另一个锐角是：

90°-23°=67°.

故选：

C.

【分析】直角三角形的两个锐角互余.​

6、【答案】B

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】设较小的锐角是x，则另一个锐角是2x，

由题意得，x+2x=90°，

解得x=30°，

即此三角形中最小的角是30°.

故选B.

【分析】设较小的锐角是x，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求解即可.​

7、【答案】D

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】A.∵∠C=∠A+∠B，

∴∠C=90°，是直角三角形，故本选项错误；

B.∵32+42=25=52，

∴△ABC是直角三角形，故本选项错误；

C.∵∠C=∠A-∠B，

∴∠C+∠B=∠A，

∴∠A=90°，是直角三角形，故本选项错误；

D.∵∠A：

∠B：

∠C=3：

4：

5，

∴最大的角∠C=180°×

＜90°，是锐角三角形，故本选项正确.

故选D.

【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解.​

8、【答案】C

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】设两锐角分别为2k、3k，

由题意得，2k+3k=90°，

解得k=18，

所以，较小锐角的度数为18×2=36°.

故选C.

【分析】根据比例设两锐角分别为2k、3k，然后利用直角三角形两锐角互余列方程求解即可.​

9、【答案】B

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】∵∠C=Rt∠，∠A=34°，

∴∠B=90°-∠A=90°-34°=56°.

故选B.

【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解.​

10、【答案】B

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】设两个锐角分别为x、y，

根据题意得，x+y＝90°①

x−y＝16°②

①+②得，2x=106°，

解得x=53°，

①-②得，2y=74°，

解得y=37°，

所以方程组的解为

x＝53°

y＝37°

故较大的一个锐角的度数是53°.

故选B.

【分析】设两个锐角分别为x、y，然后根据直角三角形两锐角互余列出一个方程，再根据题意列出方程另一个方程，解方程组即可.​

11、【答案】B

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】设较小的锐角是x度，则另一角是4x度.

则x+4x=90，

解得：

x=18°.

故选B.

【分析】根据直角三角形的两个角互余即可求解.​

12、【答案】B

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】∵∠A：

∠B=2：

3，

∴设∠A=2k，∠B=3k，

∵∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°，

即2k+3k=90°，

解得k=18°，

∴∠A=36°.

故选B.

【分析】根据比例设∠A=2k，∠B=3k，然后根据直角三角形两锐角互余列出方程求出k，即可得解.​

13、【答案】B

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】∵两个锐角和是90°，

∴一个直角三角形两个锐角的差为22°，

设一个锐角为x，则另一个锐角为90°-x，

得：

90°-x-x=22°，

得：

x=34°.

故选B.

【分析】根据直角三角形中两锐角和为90°，再根据两个锐角之差为22°，设其中一个角为x，则另一个为90°-x，即可求出最小的锐角度数.​

14、【答案】D

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】①Rt△ABC中，AB=AC；（图①）

根据等腰三角形三线合一的性质知：

AD、AH、AE互相重合，此时AD=AH=AE；

②Rt△ABC中，AB≠AC；（设AC＞AB，如图②）

在Rt△AHE中，由于AE是斜边，故AE＞AH；

同理可证AD＞AH；

∵∠AED＞∠AHD=90°，∠ADH＜∠AHE=90°

∴∠AED＞∠ADE；

根据大角对大边知：

AD＞AE；

即AD＞AE＞AH；

综上所述，角平分线AE、中线AD、高线AH的大小关系是AH≤AE≤AD；

故选D.

【分析】此题应分两种情况讨论：

①等腰直角三角形，②普通的直角三角形.然后根据各边所对角的大小来判断各线段的大小关系.​

15、【答案】B

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】直角三角形中，两锐角三角形度数和为90°，则两锐角的各一半度数和为45°，

根据三角形内角和为180°，可得钝角度数为135°，

故选B.

【分析】本题可根据直角三角形内角的性质和三角形内角和为180°进行求解.​

二、填空题

16、【答案】90

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】直角三角板中的两个锐角的和等于90度.

故答案为：

90.

【分析】根据直角三角形两锐角互余解答.

17、【答案】54.5°

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】Rt△ABC中，

∵∠C=90°，∠A=35°30′，

∴∠B=90°-∠A=90°-35°30′=54°30′=54.5°.

故答案为：

54.5°.

【分析】根据直角三角形两锐角互余，即可求出∠B的度数.

18、【答案】40

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】∵∠1=50°，

∴∠CEF=50°，

∵EF∥AB，

∴∠A=∠CEF=50°，

∵△ABC是直角三角形，

∴∠B=90°-∠A=90°-50°=40°.

故答案为：

40.

【分析】先根据∠1=50°得出∠CEF的度数，再由平行线的性质求出∠A的度数，根据直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠B的度数.

19、【答案】4

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】如图，

∵BD⊥AC，EF⊥AC，

∴BD∥EF，

∵BD平分∠ABC，

∴∠1=∠2，

∴与∠CEF相等的角有∠1、∠2、∠3、∠4共4个.

故答案为：

4.

【分析】根据两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义找出与∠CEF相等的角即可.​

20、【答案】2.4

【考点】解直角三角形

【解析】【解答】如图，

AC=3cm，BC=4cm，AB=5cm，CD为斜边AB上的高

∵S△ABC=

AC•BC=

CD•AB，

∴

×3×4=

×5•CD

∴CD=2.4cm.

【分析】根据两直线平行，同位角相等，两直线平行，内错角相等以及角平分线的定义找出与∠CEF相等的角即可.

三、综合题

21、【答案】证明：

∵∠ACB=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∵∠ACD=∠B，

∴∠A+∠ACD=90°，

∴∠ADC=90°，

∴CD⊥AB.

【考点】解直角三角形

【解析】根据∠ACB=90°，得出∠A+∠B=90°，根据∠ACD=∠B，得出∠A+∠ACD=90°，再根据两锐角互余的三角形是直角三角形即可得出答案.​

22、【答案】解答：

设设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，

那么根据三角形内角和定理：

三角形内角之和为180°，

所以x+4x+90°=180°，

x=18°，4x=72°，

答：

三角分别为18°，72°，90°.

【考点】解直角三角形

【解析】设一个锐角为x度，则另一个锐角为4x度，然后根据三角形的内角和定理列方程求解即可.

23、【答案】

（1）证明：

∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，

∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，

∴∠ACD=∠B；

（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°-∠CAF，

同理在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE.

又∵AF平分∠CAB，

∴∠CAF=∠DAE，

∴∠AED=∠CFE，

又∵∠CEF=∠AED，

∴∠CEF=∠CFE.​

【考点】解直角三角形

【解析】

（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得

（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°-∠CAF，∠AED=90°-∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE.​

24、【答案】解答：

∵AD是BC边上的高线，∠EPD=125°，

∴∠CBE=∠EPD-∠ADB=125°-90°=35°，

∵BE是一条角平分线，

∴∠ABD=2∠CBE=2×35°=70°，

在Rt△ABD中，∠BAD=90°-∠ABD=90°-70°=20°.

故答案为：

20°.​

【考点】解直角三角形

【解析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CBE的度数，再根据角平分线的定义求出∠ABC的度数，然后利用直角三角形的两锐角互余列式计算即可得解.​

25、【答案】

（1）解答：

∵∠B=30°，CD⊥AB于D，

∴∠DCB=90°-∠B=60°.

∵CE平分∠ACB，∠ACB=90°，

∴∠ECB=

∠ACB=45°，

∴∠DCE=∠DCB-∠ECB=60°-45°=15°；

（2）∵∠CEF=135°，∠ECB=

∠ACB=45°，

∴∠CEF+∠ECB=180°，

∴EF∥BC.

【考点】平行线的判定，解直角三角形

【解析】

（1）由图示知∠DCE=∠DCB-∠ECB，由∠B=30°，CD⊥AB于D，利用内角和定理，求出∠DCB的度数，又由角平分线定义得∠ECB=

∠ACB，则∠DCE的度数可求；

（2）根据∠CEF+∠ECB=180°，由同旁内角互补，两直线平行可以证明EF∥BC.