特殊的平行四边形 优课教案.docx

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特殊的平行四边形优课教案

特殊的平行四边形

【课时安排】

3课时

【第一课时】

【教学目标】

一、教学知识点：

（一）能用综合法来证明矩形的性质定理以及相关结论。

（二）能运用矩形的性质定理解决实际问题。

二、能力训练要求：

（一）经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力。

（二）能够用综合法证明矩形的性质定理以及相关结论。

（三）进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。

三、情感与价值观要求：

通过学习矩形的性质方法，让学生用类比方法体会矩形与平行四边形的区别与联系，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想，培养学生的辩证唯物主义观念。

【教学重点】

能够运用综合法证明矩形的性质定理及相关结论。

【教学难点】

运用矩形的性质定理解决实际问题。

【教学过程】

一、解决问题：

（一）你还记得四边形的不稳定性吗？

（二）如图，做一个平行四边形ABCD的框架，固定它的四条边的长度，如果改变其中一个内角（例如∠B）的大小，所得到的四边形还是平行四边形吗？

为什么？

（三）当∠B的大小变化时，其他三个内角的大小是否也发生变化？

如果发生变化，他们与∠B之间保持怎样的数量关系？

当∠B的大小变化时，仍然有AB=DC，AD=BC，所以ABCD仍然是平行四边形。

当∠B的大小变化时，仍然有∠A与∠B互补，∠D=∠B。

（四）当平行四边形的一个角（例如∠B）成为直角时，得到一个怎样的图形？

得到定义：

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

二、引入：

[师]大家想不想解决这些问题呢？

想的话，跟着我一起来吧。

很显然这节课的主题是矩形，那它和我们前两节探讨的平行四边形有什么联系与区别吗？

[生]矩形是特殊的平行四边形。

[师]平行四边形的定义是什么？

那么矩形呢？

[生]有一个角是直角的平行四边形是矩形。

[师]它既然是平行四边形，就具有平行四边形的性质。

又因为它是特殊的平行四边形，所以它又具有各自的独特性质。

今天我们先来研究矩形的特殊性质。

[师]前面我们已探讨过矩形的性质，还记得吗？

三、探究活动：

[生]矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。

[师]很好，那你能证明它们吗？

[生]能。

[师]好，大家先来独自证明，然后与同伴交流你的证明思路。

[生甲]已知四边形ABCD是矩形。

求证：

∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°。

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠A＝90°，四边形ABCD是平行四边形。

∴∠A=∠C，∠B＝∠D。

∠A+∠D＝180°。

∴∠B＝∠C：

∠D＝∠A＝90°。

[生乙]已知矩形ABCD，求证：

AC＝DB。

证明：

在矩形ABCD中，

∵∠ABC＝∠DCB＝90°，（矩形的四个角都是直角）

AB＝DC，（平行四边形的对边相等）

BC＝CB，

∴△ABC≌△DCB。

∴AC=DB。

[师]很好，我们证明矩形的第一个性质时，用到了矩形的定义及平行四边形的性质；证明第二个性质时，用到了矩形的第一个性质、平行四边形的性质及全等三角形。

我们通过逻辑推理证得了矩形的这两个性质，把它们称为定理。

即：

定理：

矩形的四个角都是直角。

∵矩形ABCD，

∴∠A=∠B＝∠C=∠D＝90°。

定理：

矩形的对角线相等。

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝DB。

[师]接下来，我们来想一想，议一议。

如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？

它与AC有什么大小关系？

为什么？

[生]因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD也是平行四边形。

因此，对角线AC与BD互相平分。

即AE＝EC，BE＝DE。

又因为四边形ABCD是矩形，所以AC＝BD，因此BE=

BD＝

AC。

故BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线，它与AC的大小关系为BE＝

AC。

[师]很好，那你能用一句话概括你所得到的结论吗？

[生]直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

[师]这个结论是由矩形的性质得到的，因此我们可以把它称之为推论。

那你能用推理的方法来证明它吗？

[生]能。

如图，已知BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线。

求证：

BE＝

AC。

分析：

要证明这个结论，可构造辅助图形——矩形，所以可以过点A作BC的平行线，也可以延长BE到D，使DE=BE，然后证明四边形ABCD是矩形。

再利用“矩形的对角线相等且互相平分”即可证明结论。

证明：

过点A作BC的平行线与BE的延长线交于点D，连接CD。

（如图）

则∠DAE＝∠BCE。

∵BE是Rt△ABC的斜边AC上的中线，

∴AE＝EC。

又∵∠AED＝∠CEB，

∴△AED≌△CEB。

∴AD＝BC。

∵AD//BC、∠ABC＝90°，

∴四边形ABCD是矩形。

∴AC=BD，BE＝ED＝

BD。

∴BE＝

AC。

[师]我们通过推理进一步得证了这个结论是正确的。

那么我们以后就可直接应用了。

∵BE是Rt△ABC的AC上的中线，

∴BE＝

AC。

那这个定理能反过来吗？

如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

大家能证明吗？

已知BE是△ABC的斜边AC上的中线。

且BE=

AC

求证：

△ABC是Rt△。

（学生证明）

下面我们来通过一个例题进一步熟悉掌握矩形的性质。

如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知∠AOD＝120°，AB＝2.5cm。

求矩形对角线的长。

分析：

欲求对角线的长，由于∠BAD＝90°或∠ABC=90°，AB=2.5cm，则只要再找出Rt△ABD中一条直角边或一个锐角的度数，再从已知条件∠AOD＝120°出发，应用矩形的性质可知：

∠ADB＝30°，这样即可求出对角线的长。

解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，且OA=OC=

AC，

OB＝OD=

BD，（矩形的对角线相等且互相平分）

∴OA＝OD

∵∠AOD＝120°

∴∠OAD＝∠ODA＝

＝30°

∵∠DAB＝90°。

（矩形的四个角都是直角）

∴BD＝2AB＝2×2.5＝5（cm），故这个矩形的对角线的长为5cm。

[师]同学们来想一想，还有没有其他的方法来解这个题呢？

[师]小明认为，这个题还可以这样想：

∠AOD＝120°→∠AOB=60°→OA＝OB＝AB→AC＝20A＝2×2.5＝5（cm）。

[师]你能帮小明写出完整的解题过程吗？

[生]解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝BD，且OA＝OC＝

AC

OB＝OD＝

BD（矩形的对角线相等且互相平分）

∴OA＝OB。

∵∠AOD＝120°

∴AOB＝60°

∴OA=OB＝AB

∴AC＝2OA＝2×2.5＝5（cm）。

[师]已知一个四边形是矩形，那么就会得到一些相应的性质，如果要判定一个四边形是矩形，那除了根据定义判定外，还有没有其他的方法呢？

四、课堂小结：

我们这节课主要研究了矩形的性质，现在来归纳：

对边平行且相等

1．矩形四个角都是直角

对角线互相平分且相等

2．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

【第二课时】

【教学目标】

（一）教学知识点：

1．能用综合法来证明矩形的判定定理以及相关结论。

2．能运用矩形的判定定理解决实际问题。

（二）能力训练要求：

1．经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力。

2．能够用综合法证明矩形的判定定理以及相关结论。

3．进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。

（三）情感与价值观要求：

通过学习矩形的判定方法，让学生用类比方法体会矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想，培养学生的辩证唯物主义观念。

【教学重点】

能够运用综合法证明矩形的判定定理及相关结论。

【教学难点】

运用矩形的判定定理解决实际问题。

【教学过程】

探究活动：

（一）矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形，如果不通过平行四边形，能根据四边形中直角的个数，直接由四边形来判定它是矩形吗？

由几个角是直角的四边形是矩形呢？

（二）小亮说的对吗？

能证明她的结论吗？

（三）小莹说：

“由于四边形的内角和是360º，因而四个内角只要有三个角是直角，第四个内角一定也是直角。

所以可以减少一个条件，有三个角是直角的四边形就是矩形。

”小莹的说法正确吗？

已知：

四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=90º。

求证：

四边形ABCD是矩形。

证明：

∵∠A＝∠B＝90°

∴∠A＋∠B＝180°

∴AD∥BC

同理：

AB∥CD

∴四边形ABCD是平行四边形

∵∠A＝90°

∴四边形ABCD是矩形

（四）比较上面

（二）（三）中小亮和小莹的两种说法，你认为哪种说法作为矩形的判定定理更为简洁？

于是，便得到矩形的判定定理1：

有三个角是直角的四边形是矩形。

（五）由矩形的性质定理2：

矩形的两条对角线相等。

反过来，两条对角线相等的四边形是矩形吗？

已知：

平行四边形ABCD的对角线AC=BD。

求证：

平行四边形ABCD是矩形。

（学生证明并投放。

）

于是，便得到：

矩形的判定定理2：

对角线相等的平行四边形是矩形。

证明之后，回到我们最初的问题上，如何验证四边形是矩形呢？

1．先量得两组对边是否相等，肯定是否为平行四边行，然后再量对角线长，看能否满足勾股定理。

2．先量得两组对边是否相等，肯定是否为平行四边行，再量得两条对角线是否相等。

3．对角线是否相等且相互平分。

课堂小结：

我们这节课主要研究了矩形的判定定理，现在来归纳：

1．一个角是直角的平行四边形。

2．有三个角是直角的四边形是矩形。

3．对角线相等的平行四边形。

【第三课时】

【教学目标】

1．历菱形的概念、性质、判定定理的发现过程。

2．握菱形的性质定理“菱形的四条边都相等”；“菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角”。

3．握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”；“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。

4．过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力。

并根据平行四边形、矩形、菱形的从属关系，向学生渗透集合思想。

【教学重难点】

重点：

菱形的性质定理和判定定理。

难点：

菱形性质和判定方法的综合应用。

【教学过程】

一、引入：

用多媒体显示下面的图形。

观察以下由火柴棒摆成的图形。

议一议：

（一）三个图形都是平行四边形吗？

（二）与图一相比，图二与图三有什么共同的特点？

目的是让学生经历菱形的概念，性质的发现过程，并让学生注意以下几点：

（1）要使学生明确图二、图三都为平行四边形.

（2）引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异。

二、新课：

把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案，让学生感受菱形具有工整，匀称，美观等许多优点。

菱形也是特殊的平行四边形，所以它具有一般平行四边形的性质外还具有一些特殊的性质。

菱形的性质定理1：

菱形的四条边都相等。

这个定理要求学生自己完成证明，可以根据菱形的定义推出，课堂上只需让学生说说理由就可以了，不必写证明过程。

菱形的性质定理2：

菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。

已知：

在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。

求证：

AC⊥BD，AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC。

分析：

由菱形的定义得△ABD是什么三角形？

BO与OD有什么关系？

根据什么？

由此可得AO与BD有何关系？

∠BAD有何关系？

根据什么？

证明：

∵四边形ABCD是菱形。

∴AB=AD（菱形的定义）

BO=OD（平行四边形的对角线互相平分）

∴AC⊥BD，AC平分∠BAD（等腰三角形三线合一的性质）

同理，AC平分∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC

∴对角线AC和BD分别平分一组对角

由定理2可以得出菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴。

另外，还可以从折叠来说明轴对称性。

同时指出以上两个性质只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质。

菱形还具有平行四边形的所有共性，比如：

菱形是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点。

观察与思考：

判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定？

定义，此外还有两种判定方法，今天我们就要学习菱形的判定。

（板书课题）

（一）有菱形的性质定理1：

菱形的四条边都相等。

反过来，四条边都相等的四边形是菱形吗？

证明你的结论？

菱形判定定理1：

四边都相等的四边形是菱形（板书）

（二）由菱形的性质定理2：

菱形的两条对角线互相垂直。

反过来，两条对角线互相垂直的四边形是菱形吗？

（三）怎样适合加强命题“两条对角线互相垂直的四边形是菱形”的条件，使它成为真命题？

与同学交流。

交流互动，探求新知：

1．已知：

如图，在

ABCD中，BD⊥AC，O为垂足。

求证：

ABCD是菱形。

启发：

在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要证明一组邻边相等。

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝CO（平行四边形的对角线互相平分）。

∵BD⊥AC，

∴AD＝CD

∴

ABCD是菱形（菱形的定义）。

菱形判定定理2：

对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

例2：

如图，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F，求证：

四边形AFCE是菱形。

启发：

已知对角线互相垂直，还需什么条件就能说明四边形是菱形？

——说明是平行四边形。

证明：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AE∥FC（矩形的定义）

∴∠1＝∠2

又∵∠AOE＝∠COF，AO＝CO

∴△AOE≌△COF

∴EO＝FO

∴四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。

又∵EF⊥AC

∴四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。

三、应用新知，巩固练习：

思考题：

如图，△ABC中，∠A=90°，∠B的平分线交AC于D，AH、DF都垂直于BC，H、F为垂足，求证：

四边形AEFD为菱形。

四、课堂小结：

1．本节的主要内容是：

菱形常用的判定方法归纳为（学生讨论归纳后，由教师板书）：

（1）一组邻边相等的平行四边形。

（2）四条边相等的四边形。

（3）对角线互相垂直的平行四边形。

（4）对角线互相垂直平分的四边形。

2．想一想：

说明平行四边形、矩形、菱形之间的区别与联系。

【第四课时】

【教学目标】

1．掌握正方形的概念。

2．经历探索正方形有关性质和判别条件的过程，了解正方形与矩形、菱形的关系。

3．掌握正方形的性质。

4．掌握正方形的判定。

5．进一步加深对特殊与一般的认识。

【教学重难点】

重点：

正方形的性质与判定。

难点：

正方形与矩形、菱形、平行四边形的概念之间的联系。

【教学过程】

一、情景引入。

教师出示一块方巾，它是什么几何图形？

（正方形）

中国人对正方形有特殊的感情，如“坦荡方正”，“天圆地方”等词语，还有许多实物都是正方形的形状（教师可以多媒体演示），今天我们就来研究正方形。

二、探索新知。

这块方巾是否也可以说是平行四边形？

矩形？

菱形？

与一般的平行四边形相比，它有何特殊性？

与一般的矩形相比，它有何特殊性？

与一般的菱形相比，它又有何特殊性？

三、梳理新知。

课本观察与思考。

师生共同归纳出以下几点：

有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。

正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故正方形具有矩形、菱形的性质。

正方形的性质：

四个角都是直角，四条边相等；

对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。

正方形的判定：

一组邻边相等的矩形是正方形；

有一个角是直角的菱形是正方形。

四、实践应用。

（一）给你一块矩形纸条，如何把它变成正方形纸条？

（二）请你用最快的速度画一个正方形，然后想一想，你所选择的画法是否经得起推敲？

比一比，你周围的同学是否有比你更好的方法？

教师等待学生互相交流后，请学生代表发言。

五、理论提升。

（一）已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是∠ACB的平分线，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别是E、F。

求证：

四边形CFDE是正方形

证明：

∵DE⊥BC，DF⊥AC

∴∠DEC=∠DFC=90°

∵∠ACB=90°

∴四边形CFDE是矩形（为什么？

）

∵CD是∠ACB的平分线

∴∠ACD=∠BCD

∴DE=DF

∴四边形CFDE是正方形（为什么？

）

（二）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PM⊥BC，PN⊥CD，垂足分别是点M，N。

求证：

AP=MN。

证明：

连接PC，

∵ABCD是正方形，

∴∠C=90°，

∵PN⊥CD，PM⊥BC，

∴PMCN是矩形，

∴MN=PC，

在△ADP和△CDP中：

AD=CD，∠ADP=∠CDP，DP=DP，

∴△ADP≌△CDP

∴AP=CP，

∵MN=CP，

∴AP=MN。

六、小结。

1．这节课我的收获是什么？

2．我最感兴趣的是什么？

3．我想进一步研究的问题是什么？