特殊的平行四边形 优课教案.docx

1、特殊的平行四边形 优课教案特殊的平行四边形【课时安排】3课时【第一课时】【教学目标】一、教学知识点：（一）能用综合法来证明矩形的性质定理以及相关结论。（二）能运用矩形的性质定理解决实际问题。二、能力训练要求：（一）经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力。（二）能够用综合法证明矩形的性质定理以及相关结论。（三）进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。三、情感与价值观要求：通过学习矩形的性质方法，让学生用类比方法体会矩形与平行四边形的区别与联系，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想，培养学生的辩证唯物主义观念。【教学重点】能够运用综合法证明矩形的性质定理及相关结论。【教

2、学难点】运用矩形的性质定理解决实际问题。【教学过程】一、解决问题：（一）你还记得四边形的不稳定性吗？（二）如图，做一个平行四边形ABCD的框架，固定它的四条边的长度，如果改变其中一个内角（例如B）的大小，所得到的四边形还是平行四边形吗？为什么？（三）当B的大小变化时，其他三个内角的大小是否也发生变化？如果发生变化，他们与B之间保持怎样的数量关系？当B的大小变化时，仍然有AB=DC，AD=BC，所以ABCD仍然是平行四边形。当B的大小变化时，仍然有A与B互补，D=B。（四）当平行四边形的一个角（例如B）成为直角时，得到一个怎样的图形？得到定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。二、引入：师大家

3、想不想解决这些问题呢？想的话，跟着我一起来吧。很显然这节课的主题是矩形，那它和我们前两节探讨的平行四边形有什么联系与区别吗？生矩形是特殊的平行四边形。师平行四边形的定义是什么？那么矩形呢？生有一个角是直角的平行四边形是矩形。师它既然是平行四边形，就具有平行四边形的性质。又因为它是特殊的平行四边形，所以它又具有各自的独特性质。今天我们先来研究矩形的特殊性质。师前面我们已探讨过矩形的性质，还记得吗？三、探究活动：生矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等。师很好，那你能证明它们吗？生能。师好，大家先来独自证明，然后与同伴交流你的证明思路。生甲已知四边形ABCD是矩形。求证：ABCD90。证明：四边形

4、ABCD是矩形，A90，四边形ABCD是平行四边形。A=C，BD。A+D180。BC：DA90。生乙已知矩形ABCD，求证：ACDB。证明：在矩形ABCD中，ABCDCB90，（矩形的四个角都是直角）ABDC，（平行四边形的对边相等）BCCB，ABCDCB。AC=DB。师很好，我们证明矩形的第一个性质时，用到了矩形的定义及平行四边形的性质；证明第二个性质时，用到了矩形的第一个性质、平行四边形的性质及全等三角形。我们通过逻辑推理证得了矩形的这两个性质，把它们称为定理。即：定理：矩形的四个角都是直角。矩形ABCD，A=BC=D90。定理：矩形的对角线相等。四边形ABCD是矩形，ACDB。师接下来，

5、我们来想一想，议一议。如图，设矩形的对角线AC与BD的交点为E，那么BE是RtABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？为什么？生因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD也是平行四边形。因此，对角线AC与BD互相平分。即AEEC，BEDE。又因为四边形ABCD是矩形，所以ACBD，因此BE=BDAC。故BE是RtABC的斜边AC上的中线，它与AC的大小关系为BEAC。师很好，那你能用一句话概括你所得到的结论吗？生直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。师这个结论是由矩形的性质得到的，因此我们可以把它称之为推论。那你能用推理的方法来证明它吗？生能。如图，已知BE是RtABC的斜边AC

6、上的中线。求证：BEAC。分析：要证明这个结论，可构造辅助图形矩形，所以可以过点A作BC的平行线，也可以延长BE到D，使DE=BE，然后证明四边形ABCD是矩形。再利用“矩形的对角线相等且互相平分”即可证明结论。证明：过点A作BC的平行线与BE的延长线交于点D，连接CD。（如图）则DAEBCE。BE是RtABC的斜边AC上的中线，AEEC。又AEDCEB，AEDCEB。ADBC。AD/BC、ABC90，四边形ABCD是矩形。AC=BD，BEEDBD。BEAC。师我们通过推理进一步得证了这个结论是正确的。那么我们以后就可直接应用了。BE是RtABC的AC上的中线，BEAC。那这个定理能反过来吗？

7、如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。大家能证明吗？已知BE是ABC的斜边AC上的中线。且BE=AC求证：ABC是Rt。（学生证明）下面我们来通过一个例题进一步熟悉掌握矩形的性质。如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，已知AOD120，AB2.5cm。求矩形对角线的长。分析：欲求对角线的长，由于BAD90或ABC=90，AB=2.5cm，则只要再找出RtABD中一条直角边或一个锐角的度数，再从已知条件AOD120出发，应用矩形的性质可知：ADB30，这样即可求出对角线的长。解：四边形ABCD是矩形，ACBD，且OA=OC=AC，OBOD=BD，（矩形的对角线

8、相等且互相平分）OAODAOD120OADODA30DAB90。（矩形的四个角都是直角）BD2AB22.55（cm），故这个矩形的对角线的长为5cm。师同学们来想一想，还有没有其他的方法来解这个题呢？师小明认为，这个题还可以这样想：AOD120AOB=60OAOBABAC20A22.55（cm）。师你能帮小明写出完整的解题过程吗？生解：四边形ABCD是矩形，ACBD，且OAOCACOBODBD（矩形的对角线相等且互相平分）OAOB。AOD120AOB60OA=OBABAC2OA22.55（cm）。师已知一个四边形是矩形，那么就会得到一些相应的性质，如果要判定一个四边形是矩形，那除了根据定义判定

9、外，还有没有其他的方法呢？四、课堂小结：我们这节课主要研究了矩形的性质，现在来归纳：对边平行且相等1矩形 四个角都是直角对角线互相平分且相等2直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。【第二课时】【教学目标】（一）教学知识点：1能用综合法来证明矩形的判定定理以及相关结论。2能运用矩形的判定定理解决实际问题。（二）能力训练要求：1经历探索、猜想、证明的过程，进一步发展推理论证能力。2能够用综合法证明矩形的判定定理以及相关结论。3进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用。（三）情感与价值观要求：通过学习矩形的判定方法，让学生用类比方法体会矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关

10、系，渗透集合的思想，培养学生的辩证唯物主义观念。【教学重点】能够运用综合法证明矩形的判定定理及相关结论。【教学难点】运用矩形的判定定理解决实际问题。【教学过程】探究活动：（一）矩形的定义，有一个角是直角的平行四边形是矩形，如果不通过平行四边形，能根据四边形中直角的个数，直接由四边形来判定它是矩形吗？由几个角是直角的四边形是矩形呢？（二）小亮说的对吗？能证明她的结论吗？（三）小莹说：“由于四边形的内角和是360，因而四个内角只要有三个角是直角，第四个内角一定也是直角。所以可以减少一个条件，有三个角是直角的四边形就是矩形。”小莹的说法正确吗？已知：四边形ABCD中，A=B=C=90。求证：四边形A

11、BCD是矩形。证明：AB90AB180ADBC同理：ABCD四边形ABCD是平行四边形A90四边形ABCD是矩形（四）比较上面（二）（三）中小亮和小莹的两种说法，你认为哪种说法作为矩形的判定定理更为简洁？于是，便得到矩形的判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。（五）由矩形的性质定理2：矩形的两条对角线相等。反过来，两条对角线相等的四边形是矩形吗？已知：平行四边形ABCD的对角线AC=BD。求证：平行四边形ABCD是矩形。（学生证明并投放。）于是，便得到：矩形的判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。证明之后，回到我们最初的问题上，如何验证四边形是矩形呢？1先量得两组对边是否相等，肯定是否

12、为平行四边行，然后再量对角线长，看能否满足勾股定理。2先量得两组对边是否相等，肯定是否为平行四边行，再量得两条对角线是否相等。3对角线是否相等且相互平分。课堂小结：我们这节课主要研究了矩形的判定定理，现在来归纳：1一个角是直角的平行四边形。2有三个角是直角的四边形是矩形。3对角线相等的平行四边形。【第三课时】【教学目标】1历菱形的概念、性质、判定定理的发现过程。2握菱形的性质定理“菱形的四条边都相等”；“菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角”。3握菱形的判定定理“四条边相等的四边形是菱形”；“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”。4过运用菱形知识解决具体问题，提高分析能力和观察能力。

13、并根据平行四边形、矩形、菱形的从属关系，向学生渗透集合思想。【教学重难点】重点：菱形的性质定理和判定定理。难点：菱形性质和判定方法的综合应用。【教学过程】一、引入：用多媒体显示下面的图形。观察以下由火柴棒摆成的图形。议一议：（一）三个图形都是平行四边形吗？（二）与图一相比，图二与图三有什么共同的特点？目的是让学生经历菱形的概念，性质的发现过程，并让学生注意以下几点：（1）要使学生明确图二、图三都为平行四边形.（2）引导学生找出图二、图三与图一在边方面的差异。二、新课：把一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。再用多媒体教科书中有关菱形的美丽图案，让学生感受菱形具有工整，匀称，美观等许多优点。菱形也是

14、特殊的平行四边形，所以它具有一般平行四边形的性质外还具有一些特殊的性质。菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等。这个定理要求学生自己完成证明，可以根据菱形的定义推出，课堂上只需让学生说说理由就可以了，不必写证明过程。菱形的性质定理2：菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。已知：在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O。求证：ACBD，AC平分BAD和BCD，BD平分ABC和ADC。分析：由菱形的定义得ABD是什么三角形？BO与OD有什么关系？根据什么？由此可得AO与BD有何关系？BAD有何关系？根据什么？证明：四边形ABCD是菱形。AB=AD（菱形的定义）BO=OD（平行四边形的

15、对角线互相平分）ACBD，AC平分BAD（等腰三角形三线合一的性质）同理，AC平分BCD，BD平分ABC和ADC对角线AC和BD分别平分一组对角由定理2可以得出菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在的直线都是它的对称轴。另外，还可以从折叠来说明轴对称性。同时指出以上两个性质只是菱形不同于一般平行四边形的特殊性质。菱形还具有平行四边形的所有共性，比如：菱形是中心对称图形，对称中心为两条对角线的交点。观察与思考：判定一个四边形是不是菱形可根据什么来判定？定义，此外还有两种判定方法，今天我们就要学习菱形的判定。（板书课题）（一）有菱形的性质定理1：菱形的四条边都相等。反过来，四条边都相等的四边形是菱形

16、吗？证明你的结论？菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形（板书）（二）由菱形的性质定理2：菱形的两条对角线互相垂直。反过来，两条对角线互相垂直的四边形是菱形吗？（三）怎样适合加强命题“两条对角线互相垂直的四边形是菱形”的条件，使它成为真命题？与同学交流。交流互动，探求新知：1已知：如图，在ABCD中，BDAC，O为垂足。求证： ABCD是菱形。启发：在已知是平行四边形的情况下，要证明是菱形，只要证明一组邻边相等。证明：四边形ABCD是平行四边形，AOCO（平行四边形的对角线互相平分）。BDAC，ADCDABCD是菱形（菱形的定义）。菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。例2：如图

17、，在矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线与AD，BC分别交于点E，F，求证：四边形AFCE是菱形。启发：已知对角线互相垂直，还需什么条件就能说明四边形是菱形？说明是平行四边形。证明：四边形ABCD是矩形，AEFC（矩形的定义）12又AOECOF，AOCOAOECOFEOFO四边形AFCE是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。又EFAC四边形AFCE是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）。三、应用新知，巩固练习：思考题：如图，ABC中，A=90，B的平分线交AC于D，AH、DF都垂直于BC，H、F为垂足，求证：四边形AEFD为菱形。四、课堂小结：1本节的主要内容是：菱形常用的

18、判定方法归纳为（学生讨论归纳后，由教师板书）：（1）一组邻边相等的平行四边形。（2）四条边相等的四边形。（3）对角线互相垂直的平行四边形。（4）对角线互相垂直平分的四边形。2想一想：说明平行四边形、矩形、菱形之间的区别与联系。【第四课时】【教学目标】1掌握正方形的概念。2经历探索正方形有关性质和判别条件的过程，了解正方形与矩形、菱形的关系。3掌握正方形的性质。4掌握正方形的判定。5进一步加深对特殊与一般的认识。【教学重难点】重点：正方形的性质与判定。难点：正方形与矩形、菱形、平行四边形的概念之间的联系。【教学过程】一、情景引入。教师出示一块方巾，它是什么几何图形？（正方形）中国人对正方形有特殊

19、的感情，如“坦荡方正”，“天圆地方”等词语，还有许多实物都是正方形的形状（教师可以多媒体演示），今天我们就来研究正方形。二、探索新知。这块方巾是否也可以说是平行四边形？矩形？菱形？与一般的平行四边形相比，它有何特殊性？与一般的矩形相比，它有何特殊性？与一般的菱形相比，它又有何特殊性？三、梳理新知。课本观察与思考。师生共同归纳出以下几点：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，故正方形具有矩形、菱形的性质。正方形的性质：四个角都是直角，四条边相等；对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。正方形的判定：一组邻边相等的矩形是正方形

20、；有一个角是直角的菱形是正方形。四、实践应用。（一）给你一块矩形纸条，如何把它变成正方形纸条？（二）请你用最快的速度画一个正方形，然后想一想，你所选择的画法是否经得起推敲？比一比，你周围的同学是否有比你更好的方法？教师等待学生互相交流后，请学生代表发言。五、理论提升。（一）已知，如图，在RtABC中，ACB=90，CD是ACB的平分线，DEBC，DFAC，垂足分别是E、F。求证：四边形CFDE是正方形证明：DEBC，DFACDEC=DFC=90ACB=90四边形CFDE是矩形（为什么？）CD是ACB的平分线ACD=BCDDE=DF四边形CFDE是正方形（为什么？）（二）如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上的一点，PMBC，PNCD，垂足分别是点M，N。求证：AP=MN。证明：连接PC，ABCD是正方形，C=90，PNCD，PMBC，PMCN是矩形，MN=PC，在ADP和CDP中：AD=CD，ADP=CDP，DP=DP，ADPCDPAP=CP，MN=CP，AP=MN。六、小结。1这节课我的收获是什么？2我最感兴趣的是什么？3我想进一步研究的问题是什么？