上海市七年级数学第一学期第1讲整式的基本概念教师版.docx
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上海市七年级数学第一学期第1讲整式的基本概念教师版
上海市七年级数学第一学期
整式的基本概念
代数式是七年级数学上学期第一节内容,主要根据题意,会用规范的格式用字母表示数,掌握代数式的值的概念,能用具体数值代替代数式中的字母,求出代数式的值,理解单项式.多项式和整式的定义.重点是理解代数式的值的意义并能准确求出代数式的值,正确理解单项式.多项式及整式的概念,会把一个多项式按某个字母降幂排列或升幂排列.难点是会准确迅速地确定一个单项式的系数和次数,能够正确区分单项式和多项式,通过这节课的学习为我们后期学习整式计算提供依据.
1.字母表示数
字母可以表示运算律;字母可以表示公式;字母可以表示数量关系或方程里的求知量;字母可以表示探究得出规律的数.
2.字母表示数的规范要求
(1)数字与字母及字母与字母间的乘号省略,且数字要写在字母之前;
(2)当数字是带分数时,要写成假分数;
(3)除法运算中的除号要用分数线来表示.
【例1】下列用字母表示数的式子中,符合书写要求的有().
①1⋅x2y
②ab÷c2
③2⨯(a+b)
④ab⋅2
27a
1xy
34
A.1个B.2个C.3个D.4个
【难度】★
【答案】A.
【解析】①、③、④数字应该写在字母前面,乘号省略;②要书写成分数的形式;⑤中带分数要化成假分数.
【总结】本题考查了用字母表示数的规范要求.
【例2】某种商品降价x%后,售价为a元,则原售价是().
A.ax元B.a⎛1+
x⎫元C.100a元D.a元
100ç100⎪xx
⎝⎭
【难度】★
【答案】D.
【解析】现价=原价×(1-x%).
1-
100
【总结】本题考查了用字母表示数的规范要求,同时考查了成本问题.
【例3】某次数学测试,班级中男生20名平均得a分,女生25名平均得b分,此次测验全班的平均分是多少?
【难度】★★
【答案】4a+5b.
9
【解析】解:
班级的总分:
(20a+25b)分
全班的平均分为:
(20a+25b)÷45=4a+5b
9
【总结】书写代数式时,要注意运算中的除号要用分数线表示,另外注意要进行约分.
【例4】一个两位数为x,三位数为y,将x放在y的左边得到一个五位数,用含x.y代数式表示这个五位数.
【难度】★★
【答案】1000x+y.
【解析】解:
x移向y的左边,因为y是三位数,所以x扩大了1000倍,所以是1000x,而
y没有改变还是原来的三位数,所以这个五位数是:
1000x+y.
【总结】本题考查代数式的表示.
【例5】画一个正方形,使它的边长为2厘米,它的面积是平方厘米.
再取各边中点,再连成第2个正方形,它的面积是平方厘米.
再取第2个正方形的各边中点,连成第3个正方形,它的面积是平方厘米.
如果依此方法画出第4个.第5个正方形······那么第20个正方形的面积是平方厘米,第n个正方形的面积是平方厘米.
【难度】★★★
【答案】4;2;1;
1
217
;1.
2n-3
【解析】第一个正方形面积:
2×2=4平方厘米;第二个正方形面积:
4×1
2
=2平方厘米;
第三个正方形面积:
4×1×1=1平方厘米;第20个正方形面积:
4×1=1平方厘米
22
第n个正方形面积:
4×1=1
平方厘米.
219
217
2n-12n-3
【总结】本题不仅考查了代数式的表示,还要注意正方形的性质,求出前几个正方形的面积再寻找它们之间的关系.
b2b5
【例6】
(1)一组按规律排列的式子:
-,
aa2
b8
,-,
a3
b11a4
,…(ab≠0),其中第7个
式子是,第n个式子是(n为正整数).
(2)搭建如图①的单顶帐篷需要17根钢管,这样的帐篷按图②.图③的方式串起来搭建,则串7顶这样的帐篷需要根钢管.
【难度】★★★
b20
①②③
nb3n-1
【答案】-
a7
;(-1)⋅
an
;83.
b20
nb3n-1
【解析】
(1)由给出的规律可得:
第7个式子是-
a7
,第n个式子是(-1)⋅;
an
(2)第一个帐篷需要17根钢管,第二个帐篷需要:
17+11=28根,
第三个帐篷需要:
17+11+11=39根:
所以第7帐篷需要:
17+11×6=83根.
【总结】本题属于找规律的题型,要注意式子之间的规律,推算出后面的式子.
1.代数式
(1)用运算符号和括号把数或字母连结而成的式子叫做代数式.(这里的运算符号一般指加、减、乘、除,以及以后要学的乘方,开方)
(2)单独一个数字或者一个字母也是代数式.
(3)因为等号和不等号不是运算符号,所以等式和不等式不是代数式.
【例7】下列各式中,是代数式的有().
①3xy2
②2πR
③S=πr2
④b⑤5+1>2
⑥ab
2
A.3个B.4个C.5个D.6个
【难度】★
【答案】B.
【解析】③是等式,⑤是不等式,都不是代数式.
【总结】本题查考了代数式的概念.
【例8】下列代数式中,书写规范的是().
A.51⨯7ab
3
【难度】★
【答案】D.
B.2a2⨯b-6
C.6ab÷9
D.1a2b
3
【解析】A正确的写法是112ab;B正确的写法是2a2b-6;C正确的写法是2ab.
33
【总结】本题考查了代数式的书写要求.
【例9】下列代数式的值一定是正数的是().
A.2
x+y2
B.x-y
C.2x2+3
D.(x+y)2
【难度】★★
【答案】C.
【解析】B、D是非负数,可以为0.A可以为负.
【总结】本题考查了非负数的表示方法,初中常见的非负数的表示方法有①某数或某式子的偶次方;②绝对值;③根式.
【例10】某项工程,甲队完成需要a小时,乙队完成需要b小时,则甲.乙两队合作1小时可完成该工程的().
A.1+1
ab
【难度】★★
【答案】A.
B.1
a+b
C.1
ab
D.1÷⎛1+1⎫
⎝⎭
【解析】解:
甲的工作效率:
1÷a=1,乙的工作效率:
1÷b=1,
ab
甲、乙合作1个小时完成的工作量:
1×(1+1)=1+1.
abab
【总结】工程问题中的等量关系:
工作总量=工作时间×工作效率;
工作时间=工作总量÷工作效率;工作效率=工作总量÷工作时间.
【例11】用语言描述3a-15的数量关系,其中错误的是().
A.a的3倍与15的差B.3a与15的相反数的和
C.a与5的差的3倍D.a与15的差的3倍
【难度】★★
【答案】D.
【解析】D答案的表示是:
3(a-15).
【总结】本题主要考查的是代数式的意义,属于基础题型.
【例12】下列语句中,不正确的是().
A.代数式x2-y2的意义是x与y的平方差.
B.代数式1(x-y)的意义是x与y的差的一半.
2
C.x的7倍与y的和的一半,用代数式表示是7x+y.
2
D.x的1
6
与y的1
8
差,用代数式表示是
1x-1y.
68
【难度】★★
【答案】C.
【解析】C答案代数式的表示为:
1(7x+y).
2
【总结】要注意语句中的关键字,注意平方差和差的平方的区别.
【例13】用文字语言表示下列式子:
(1)2a+1;
(2)3(a-2);(3)a-5.
【难度】★★
【答案】
(1)a的2倍与1的和;
(2)a与2的差的3倍;(3)a与5的差的绝对值.
【解析】
(1)中是一个求和的式子;
(2)中是乘积,3倍的关系;(3)中是绝对值.
【总结】本题主要考查的是代数式的意义,属于基础题型.
【例14】汽车每小时耗油10升,油箱中已装油a升.
(1)当a=80时,汽车行驶多少小时后,油箱中剩余油为20升?
(2)用代数式表示汽车行驶x小时后,油箱中剩余的油量y.
【难度】★★
【答案】
(1)6;
(2)y=a-10x.
【解析】解:
(1)(80-20)÷10=6(小时)
(2)y=a-10x.
【总结】应用题中,要找到等量关系,抓住关键字,再列式计算.
【例15】正方形的边长为acm,边长增加2cm后,面积增加().
A.4cm2
B.(a2+4)cm2
C.(a+2)2cm2
D.⎡(a+2)2-a2⎤cm2
⎣⎦
【难度】★★
【答案】D.
【解析】解:
原来正方形的面积是:
a⨯a=a2cm2,
⎣⎦
边长增加2cm后面积为:
(a+2)⨯(a+2)=(a+2)2cm2,增加的面积为:
⎡(a+2)2-a2⎤cm2.
【总结】注意正方形的面积公式,边长增加2cm后的图形还是正方形.注意代数式的书写要求,规范表示.
【例16】船在静水中的速度为x千米/时,水流速度为2千米/时(x>2),若A、B两地相距
s千米,则在A、B间往返一次共需小时.
【难度】★★★
【答案】⎛s+s⎫.
çx+2x-2⎪
⎝⎭
【解析】解:
当船顺水而行时:
s÷(x+2)=
当船逆水而行时:
s÷(x-2)=
s
x+2
s
x-2
(小时);
(小时)
往返一次的时间为:
⎛s+s⎫(小时).
çx+2x-2⎪
⎝⎭
【总结】行船问题公式:
顺水速度=船速+水速,逆水速度=船速-水速,时间=航行路程÷航行速度.
【例17】浓度为80%的酒精a克,加水10克后的浓度是多少?
【难度】★★★
【答案】4a.
5a+50
【解析】浓度为80%的酒精a克中纯酒精为80%a克,加水后的浓度是80%⋅a=4a克.
a+105a+50
【总结】浓度问题:
溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量;
溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度;
溶液的重量×浓度=溶质的重量.
1.代数式的值
用数值代替代数式里的字母,按照代数式中的运算关系计算得出的结果叫做代数式的值.
2、求代数式的值的方法
直接代入法;整体代入法.
【例18】当x2+y2=1,3x-2y2=-2时,4x-y2的值是().
A.-2
【难度】★
【答案】B.
B.-1
C.3D.6
【解析】
x+y2=1,3x-2y2=-2,∴(x+y2)+(3x-2y2)=1-2=-1,即4x-y2=-1.
【总结】本题考查了整体代入法求值,属于基础题型.
【例19】求代数式
x-y
2x+3y
的值,其中
(1)x=-2,y=-5;
(2)x=2,y=5.
【难度】★
【答案】
(1)-3;
(2)-3.
1919
【解析】
(1)
x-y
=-2+5
=-3;
(2)
x-y
=2-5
=-3
2x+3y
-4-1519
2x+3y
4+1519
【总结】本题主要考查了代数式的值,在代值过程中要注意符号的问题.
1b
【例20】若a=3,b=0.3,则3=.
2a
【难度】★★
【答案】1.
60
1b
1⨯0.3
1⨯3
【解析】解:
3=3=310=1.
2a6660
【总结】本题主要考查了代数式的值,如果既有分数又有小数的时候,可以把分数小数进行互化.
【例21】如果x-3+(y-2)2=0,则yx=.
【难度】★★
【答案】8.
【解析】解:
由x-3+(y-2)2=0,可得:
x-3=0,y-2=0,解得:
x=3,y=2,所以yx=23=8.
【总结】本题一方面考查了绝对值的性质,另一方面考查了代数式的求值.
【例22】如果a2+ab=5,b2+3ab=9,则a2-2ab-b2=.
【难度】★★
【答案】-4.
【解析】解:
(a2+ab)-(b2+3ab)=a2+ab-b2-3ab=a2-2ab-b2,
∴a2-2ab-b2=5-9=-4.
【总结】本题主要考查了整体代入思想的运用.
【例23】若代数式2a2+3a+1的值是5,求代数式6a2+9a-8的值.
【难度】★★
【答案】4.
【解析】解:
2a2+3a+1=5,2a2+3a=4,∴3(2a2+3a)=6a2+9a=3⨯4=12,
∴6a2+9a-8=
1-2
=8.
【总结】本题一方面考查了代数式的求值,另一方面考查了整体代入思想的灵活运用.
【例24】已知a-4与a+2b互为相反数,求代数式10(a-b)3-8(a-b)2+9(b-a)3+
7(b-a)2的值.
【难度】★★
【答案】180.
【解析】由题意可得:
a-4+a+2b=0,∴a-4=0,a+2b=0,解得:
a=4,b=-2.
⎣⎦
原式=10(a-b)3-9(a-b)3-⎡8(a-b)2-7(a-b)2⎤
=(a-b)3-(a-b)2
=(4+2)3-(4+2)2
=180
【总结】本题中互为相反数的两个数之和为0,还要注意奇负偶正的灵活运用.
【例25】
(1)当a=1,b=1及a=3,b=1时,分别计算a2-2ab+b2及(a-b)2的值,
342
并观察所得代数式的值,有什么发现?
可猜想出什么规?
(2)应用你发现的规律,计算:
101.232-2⨯101.23⨯1.23+1.232.
【难度】★★
【答案】
(1)4;4;1;1
;a2-2ab+b2=(a-b)2;
(2)10000.
996060
【解析】
(1)当a=1,b=
;(a-b)2=ç1-⎪=;
319311
⎛31⎫21
当a=,b=时,a2-2ab+b2=-+=;(a-b)2=ç-⎪=;
42164416⎝42⎭16
发现a2-2ab+b2=(a-b)2.
(2)由
(1)中的规律可得:
101.232-2⨯101.23⨯1.23+1.232
=(101.23-1.23)2
=1002
=10000.
【总结】本题考查了代数式的求值问题,同时也考查了找规律.
【例26】已知a+19=b+9=c+8,求(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2.
【难度】★★★
【答案】222.
【解析】解:
a+19=b+9,a+19=c+8,b+9=c+8,
∴a-b=9-19=-10,c-a=19-8=11,b-c=8-9=-1,
所以原式=(-10)2+(-1)2+(11)2=100+121+1=222.
【总结】本题考查了代数式的求值,要学会从已知中提取需要的知识点.
0123456
【例27】已知:
(2x2-x-1)3=ax6+ax5+ax4+ax3+ax2+ax+a.求:
(1)a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6的值;
(2)a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6的值;
(3)a0+a2+a4+a6的值.
【难度】★★★
【答案】
(1)0;
(2)8;(3)4.
【解析】解:
(1)由已知可得,当x=1时,(2-1-1)3=a
+a+a
+a+a
+a+a
=0;
0123456
(2)由已知可得,当x=-1时,(2+1-1)3=a-a+a-a+a-a+a
=8;
0123456
(3)由
(1)和
(2)可知,
(a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6)+(a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6)=0+8=8
即2(a0+a2+a4+a6)=8,所以a0+a2+a4+a6=4.
【总结】本题主要考查了代数式的求值,注意观察系数的特征.
1、单项式
由数与字母的积或字母与字母的积所组成的代数式叫做单项式.单独一个数或字母也是单项式.
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数,一个单项式中,所有字母的指数和叫做这个单项式的次数.
2、多项式
由几个单项式的和组成的代数式叫做多项式.
在多项式中的每个单项式叫做多项式的项,不含字母的项叫做常数项,次数最高项的次数就是这个多项式的次数.
3、多项式的升幂或降幂排列
(1)把一个多项式按其一个字母的指数从高到低的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母降幂排列.
(2)把一个多项式按某一个字母的指数从低到高的顺序排列起来,叫做把多项式按这个字母升幂排列.
4、整式
单项式.多项式统称为整式.
【例28】下列说法正确的是().
A.1不是单项式B.b是单项式
2a
C.x的系数是0D.3x-2y是整式
2
【难度】★
【答案】D.
【解析】A是单项式;B答案不是整式,而是分式;C的系数是1不是0.
【总结】本题考查了整式最基本的概念.
【例29】32005x2y2是次单项式.
【难度】★
【答案】4.
【解析】单项式的次数是所有字母的指数和,2+2=4,所以是4次单项式.
【总结】本题主要考查了单项式的次数的计算方法,属于基础题.
【例30】把多项式a3-3ab+5b3-6a2b按a的降幂排列为.
【难度】★
【答案】a3-6a2b-3ab+5b3.
【解析】只看字母a的指数的大小,降幂排列是指数从大到小,所以是a3-6a2b-3ab+5b3.
【总结】本题主要考查了多项式的排列,要注意升幂和降幂的排列顺序.
【例31】已知-2ab3-7an-1b2与-32π2x3y5的次数相等,则(-1)n+1=.
【难度】★★
【答案】1.
【解析】解:
单项式-32π2x3y5的指数是3+5=8,而多项式中-2ab3的指数为4,所以-7an-1b2
的指数n-1+2=8,∴n=7,∴(-1)n+1=(-1)7+1=1.
【总结】本题主要考查了单项式和多项式的次数的表示.
【例32】多项式
3a2b-2a5-4b+ab
6
的一次项是,三次项系数是,常
数项是.
【难度】★★
【答案】-2b;1;0.
3
【解析】解:
2
3a2b-2a5-4b+ab
=1a2b-
1a5
-2b+1
ab,所以一次项为-
2b,三次项系
623363
数为1,常数项为0.
2
【总结】本题考查了多项式的相关知识点,属于基础题,要注意分母6要整理到系数中去.
【例33】多项式3xn-2+2xn-4xn+3-3xn-1(n是大于3的整数),按x的升幂排列为
.
【难度】★★
【答案】3xn-2-3xn-1+2xn-4xn+3.
【解析】解:
按x的升幂排列:
按x的指数从低到高的顺序排列,所以是
3xn-2-3xn-1+2xn-4xn+.
【总结】本题主要考查多项式的排序问题,属于基础题目.
【例34】m、n都是正整数,多项式xm+yn+3m+n的次数是()
A.2m+2n
B.
m或n
C.
m+n
D.
m、n中的较大数
【难度】★★
【答案】D.
【解析】本题只告诉了m、n都是正整数,不知道其大小,多项式的次数是看次数最高项次数,所以是m、n中较大数.
【总结】本题考查了多项式的次数的定义,属于基础题.
【例35】一个n次多项式,它的任何一项次数都.
【难度】★★
【答案】小于或等于n.
【解析】多项式的次数是看次数最高项的次数,所以其他项的次数小于或等于n.
【总结】本题考查了多项式的次数的定义,属于基础题.
【例36】若多项式x4-ax3+x3-5x2-bx-3x-1不含x的奇次项,求a+b的值.
【难度】★★★
【答案】-2.
【解析】解:
原式=x4+(1-a)x3-5x2-(b+3)x-1,不含x的奇次项,则1-a