矩形第章逻辑起点.docx

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矩形第章逻辑起点

圖一

（乙）積分.

設f為定義在[a,b]上的函數，積分的問題就是要算圖甲陰影的面積。

我們的辦法是對[a,b]作分割：

；其次對每一小段[xi-1,xi]取一個樣本點

；再求近似和

（見圖乙）；最後再取極限

（讓每一小段的長度都趨近於0）。

若這個極限值存在,我們就記為

的幾何意義就是圖甲陰影的面積。

（事實上，連續性也「差不多」是積分存在的必要條件。

）

圖甲

7.定积分的基本思想是化整为零、以不变代变，积零为整，再取极限四个部分。

的几何意义是由

，

，

，

围成的曲边梯形的面积（代数和）。

矩形方法就是用小矩形面积代替小曲边梯形的面积，然后求和以获得定积分的近似值（见图）。

试选择一个简单的定积分题目利用定积分近似计算的矩形公式计算之，观察后者随着节点的增多，计算值与准确值的误差变化。

图1定积分的几何意义

3.3.3应用实验

  本实验研究转售机器的最佳时间问题。

古时候的中国、埃及、巴比伦、印度的劳动人民，通过了以下的几何图形，认识了这个公式（a＋b）2=a2＋2ab＋b2。

它是公式（a＋b）n的特殊情形。

这公式在科学上很有用。

而在初中我们学到怎样算（a＋b）n，当n是较小的正整数。

如：

　　1）问题的提出——求曲边梯形的面积

　　可以用矩形面积近似取代曲边梯形面积.显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．

　　　　　　　　　　　　（图一）

　　　　图二中用四个小矩形逼近

　　　　　　　　　　　　（图二）

　　　　图三中用九个小矩形逼近

　　　　　　　　　　　　（图三）

　　　　曲边梯形面积的近似值为：

　　　　当等分间隔无穷多时：

　　　　　　　　　　　　　　　（图四）

什么叫做割补法和分割法？

　　割补法和分割法都是计算平面几何图形面积的推导方法，也是一种思考方法。

在面积和体积教学中，都有着广泛的应用。

　　割补法是指：

把一个图形的某一部分割下来，填补在图形的另一部分，在原来面积不变的情况下，使其转化为已经掌握的旧的图形，以利于计算公式的推导。

平行四边形通过割补可转化为长方形（或正方形），梯形通过割补可转化为平行四边形，圆通过割补可转化为近似长方形等。

（1）平行四边形割补后转化为长方形：

（2）梯形割补后转化为平行四边形：

　　分割法是指：

对一些不规则图形的面积，不能使用割补法，可以利用不规则图形的凹凸特点，将其分割成若干个可以计算的规则图形（如：

长方形、三角形、梯形、……），先将各个规则图形的面积计算出来，然后再把这些规则图形的面积加在一起，总面积就是不规则图形的面积。

这种计算不规则图形的方法，叫做分割法。

情感目标：

培养学生勇于探索、克服困难的精神；感受数学的美。

　　教学重、难点：

　　理解平行四边形面积公式的推导过程，掌握平行四边形面积的计算公式。

　　培养学生运用公式解决实际问题的能力。

　　教学准备：

　　多媒体课件，每个小组一个用4根纸条围成的框架，每人实验报告一份，每人一张平行四边形纸片、剪刀、透明方格图。

　　教学流程：

　　一、尝试发现

（一）环节目标

　　通过操作激发学生兴趣，将新旧知识紧密结合在一起，突出长方形与平行四边形之间的联系，引导学生发现问题，从而自然引入到面积的探究中。

（二）环节设计层次：

　　1.在每个小组的桌面上都摆着一些用4根纸条围成的图形，下面就先请同学们玩一玩，看看你能发现什么。

将你的发现与同组的同学说一说！

2.学生汇报发现。

　　（三）可能性预设

　　预设1：

学生发现拉动框架的对角，它的形状发生了改变，一会儿是长方形，一会儿是平行四边形，但是它的周长和面积没有改变。

　　预设2：

学生发现只有当框架4个角成直角时，才是长方形，这时围成的面积最大。

当拉成平行四边形时，它周长虽然没变，但面积越来越小。

　　预设3：

少数同学认为面积不变，多数同学认为面积变小。

　　（三）预设应对：

　　预设1的应对方案：

周长没变我们可以通过观察和测量验证，而面积是否变化怎样验证呢？

这节课我们就来学习平行四边形面积的计算。

（板书课题。

）

　　预设2的应对方案：

平行四边形面积的大小跟哪些条件有关？

怎样计算？

这节课我们就来学习平行四边形面积的计算。

（板书课题。

）

　　预设3的应对方案：

有的同学说长方形拉成平行四边形面积没变，有的同学说面积缩小了，到底谁说的对呢？

这节课我们就来学习平行四边形面积的计算。

（板书课题。

）

　　二、尝试探究

（一）环节目标

　　本环节让学生经历猜想、操作、验证、发现等环节，通过自主探究，合作学习的方式来验证自己的猜测，得出正确的结论。

通过剪、移、补的方法，经历转化成一个长方形或正方形的过程，不仅验证了公式，更重要的是让学生从中掌握了转化的数学思想。

（二）环节设计层次

　　1.学生猜测，思维开放。

（使学生的思维处于活跃发散的状态中。

）

（1）请同学们大胆地猜一猜，平行四边形面积的大小跟哪些条件有关。

　　可能性预设：

　　预设1：

平行四边形面积的大小是由它的底和高决定的。

　　预设2：

学生猜想不准确。

　　预设应对：

　　预设1的应对方案：

教师演示课件，证明同学们的猜想正确。

　　预设2的应对方案：

教师演示课件。

　　动画演示：

　　①平行四边形底不变，高扩大和缩小；

　　②平行四边形高不变，底扩大和缩小；

　　③平行四边形底和高同时扩大和缩小。

　　引导学生观察，通过师生合作交流得出正确结论。

（2）请同学们再猜一猜，平行四边形的面积跟底和高有什么关系？

　　可能性预设：

　　预设1：

底×高

　　预设2：

底×底

　　预设3：

高×高

　　预设应对：

　　出现预设1的可能性极大，因为学生已经学过长方形、正方形面积的计算，所以很自然地猜测底×高。

即使出现预设2、预设3或其他猜测，教师不急于作出评价，将学生的猜测板书，让学生在探究中自我反思、自我修正。

　　2.自主探究，经历知识的形成过程。

（1）下面请同学们拿出手中的平行四边形纸片，利用手中的工具，采用你喜欢的方式探究平行四边形面积的计算方法，验证自己的猜想，并填写实验报告单。

　　（学生操作，教师参与学生的活动，进行学法指导。

）

　　可能性预设：

　　学生之间存在差异，能力强的学生能够很快找到解决问题的方法，而能力相对较弱的学生可能会一时找不到研究的方向。

　　预设应对：

　　投影出示自学提示：

　　三、合作交流提升

　　1．小组内合作交流，看看有哪些不同的方法。

　　2．以小组形式汇报。

　　可能性预设：

　　预设1：

我们组是用数方格的方法来验证的。

我们将透明方格纸盖在平行四边形纸片上，然后数里面的格子数，不满一个的按半格计算，结果一共15个方格，所以这个平行四边形纸片的面积是15平方厘米。

接着，我们数出平行四边形纸片底边占5个格，底边长5厘米，它的高占3个格，高是3厘米，5×3=15（平方厘米）。

与数方格的结果是一致的，所以验证了平行四边形的面积=底×高。

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　　可能性预设：

　　预设1：

我们组是用数方格的方法来验证的。

我们将透明方格纸盖在平行四边形纸片上，然后数里面的格子数，不满一个的按半格计算，结果一共15个方格，所以这个平行四边形纸片的面积是15平方厘米。

接着，我们数出平行四边形纸片底边占5个格，底边长5厘米，它的高占3个格，高是3厘米，5×3=15（平方厘米）。

与数方格的结果是一致的，所以验证了平行四边形的面积=底×高。

预设2：

我们组是用剪、拼的方法验证猜想的。

……

　　学生在汇报中，往往思路正确而表达不清晰、不简练。

　　预设应对：

　　在教师的引导下，从以下3方面进行汇报：

①转化成什么图形？

②这个图形和原来的平行四边形之间有何联系？

③由这些关系，你能不能得出平行四边形面积的计算方法？

　　3.小结。

　　通过同学们的两次验证说明刚才多数同学的猜测是正确的。

剪、移、拼的方法实际上是一种转化的数学思想，这种思想在以后的学习中会经常用到。

　　4.字母公式。

　　如果用字母S表示平行四边形的面积，a表示平行四边形的底，h表示平行四边形的高，平行四边形的面积公式用字母该怎样表示？

　　可能性预设：

　　预设1：

S=a×h

　　预设2：

S=a·h

　　预设3：

S=ah

　　预设应对：

　　肯定学生的回答都是正确的，比较哪种表示方法更简便。

　　四、联想应用

（一）环节目标

　　实践是认识的来源，更是认识的目的和归宿。

本环节重在让学生明确并熟练掌握面积公式、底和高的对应关系，正确地解题。

练习题都来自生活实际，使学生感受到数学与现实生活的密切联系，在培养学生创造精神的同时，培养学生应用数学的意识和实践能力。

（二）环节设计层次

　　1．我们学会了平行四边形面积的计算方法，就要来进行实践应用。

请同学们看例题：

三铃汽车的标志（如下图），做这样一个标志至少需要多少平方厘米的钢板?

可能性预设：

　　预设1：

5×4×3=60（平方厘米）答：

至少需要60平方厘米钢板

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  学具准备

   学具l：

每人5cm和4cm长的小棒各两根；

   学具2：

每人长5cm、宽4~m的长方形纸片1张，邻边为5cm和4cm的平行四边形纸片1张。

   一、提出问题

   1．尝试围平行四边形。

   师：

为了方便研究，我为大家提供了一些小棒（学具1），每人都有一些小棒，你们能选出合适的小棒围成一个平行四边形吗?

试试看!

师：

围好后请同桌间相互欣赏一下，你们围成的平行四边形的形状一样吗?

使用的材料一样吗?

师：

老师也围了一些图形；请大家欣赏一下!

   课件呈现：

（学生的操作活动未必能全面展示各种情况，长方形这一重要的特殊平行四边形往往是学生认识上的漏洞。

）

2．明确问题。

师：

比一比，这里的四个平行四边形（长方形也是特殊的平行四边形），和你们一样也是使用5cm和4cm的小棒各两根，但是围成的形状都不相同。

那么它们围成的面积会不会相等呢?

（课件闪烁涂色部分）

   （预设A：

学生认为面积相等，因为用来围的材料是相同的。

预设B：

学生认为不等，因为形状不同。

）

师：

它们的面积到底等不等呢?

也许你们从下面的实验中会有新的看法（电脑演示将长方形框架逐渐变形的过程）。

师：

大家闭上眼睛想象一下，如果一直拉下去，长方形最后会变成一个什么图形?

通过观察和想象，有什么发现?

（平行四边形的面积逐渐变小，直至为0；原来的长方形图形的面积最大……）

   师：

用同样的小棒围成的图形形状发生变化，面积也发生着变化，当由组成原来长方形的四根小棒最后重合在一起的时候，我们可以说它的面积变得最小。

但是到这儿还只是我们的一种猜想。

有没有什么办法来证实一下它们的面积确实大小不同呢?

（通过平行四边形的变形演示，使学生清楚地看出随着形状的改变面积也随之发生着变化。

这一活动的安排，既是对学生原有的认知经验的纠正，使学生真切地感受到图形的变化会带来面积大小的变化，同时也为后面的动手实践活动奠定理性思维的．基础和动机，激发学生探究其中的深层原因。

）

二、探究问题

   1．从特殊人手。

师：

为方便我们研究，我们选取其中1号和4号两个图形：

一个长方形、一个平行四边形，并将它们重叠。

课件出示图形如下。

师：

从前面的变形中，我们感觉到长方形的面积应该比平行四边形面积大些，；但这样看能比出大小吗?

看来需要我们对上面的图形做些“手术”，你们觉得怎样剪剪拼拼，就能比出大小来?

请大家也拿出学具2，小组之间讨论讨论，再动手剪剪拼拼，看谁能想出办法，拿出让人信服的证据。

（学生小组之间讨论分析，动手实践，再组织汇报交流：

将平行四边形右边多出的部分剪下，拼接到左边，补咸一个长5cm而宽小于4cm的小长方形，从而证实平行四边形的面积确实比长方形小。

随即电脑演示如下：

）

   2．探究面积变小的原因。

   师：

为什么变形后面积变小了呢?

我们来研究刚才平行四边形的变形原因。

课件隐去原来的长方形图形，单独呈现平行四边形的割补过程。

 师：

请大家仔细观察并思考，原来的平行四边形割补成长方形后；：

它的邻边也就是宽，为什么变短了。

没有4cm长了？

（引导学生发现：

割补后的长方形的长虽然还是平行四边形的底5cm。

但宽却是平行四边形的高，搞要比4cm的邻边短）

3.类推

师：

通过刚才的研究，我们明白了平行四边形可以割补成一个长方形。

说一说下面的平行四边形会与长和宽分别是多少的长方形面积一样大。

4．图中有9个小正方形，每个小正方形的面积都是1平方厘米。

由5个小正方形可以组成周长为12厘米的图形，请你画出其中的几个？

4、参考答案：

说明：

  在上面的图形中，有一个是例外，就是第一行最左面的图形。

这是由于凹进去的部分上、下各增加了1厘米。

牛顿在《曲线求积术》中第一次引进了后来被普遍使用的流数记号：

“用字母x，y，x，v表示不定量，并用带点的同样字母

或变化率，可称之为相同量z，y，x，v的二次流数，并记作量

著名的记法曾于1693年首先公布在沃利斯的《代数学》（Dealgebratractatus）新版本中．

　　《原理》与微积分牛顿微积分方法的第一次公开表述，出现在1687年《自然哲学的数学原理》之中．

　　《原理》中并没有明显的分析形式的微积分运算．整部著作是以综合几何的语言写成．但牛顿在第一卷第一章开头部分通过一组引理（共11条）建立了“首末比方法”，这正是他后来在《曲线求积术》中作为流数运算基础而重新提出的方法，不过在《原理》中“首末比方法”本身亦强烈地诉诸几何直观．

　　第一卷引理Ⅰ“量以及量之比，若在一有限时间内连续趋于相等，并在该时间结束前相互接近且其差可小于任意给定量，则它们最终亦变为相等”，可以看作是初步的极限定义．在随后的引理中牛顿便借极限过程来定义曲边形的面积：

如图2，在曲线acE与直线Aa，AE围成的图形AacE中内接任意个数的矩形Ab，Bc，Cd，…，同时作矩形aKbl，bLcm，cMdn，…．牛顿首先设所有的底AB，BC，CD，DE，…皆相等，证明了“当这些矩形的宽无限缩小而它们的个数无限增加时，……内接形AKbLcMdD、外接形AalbmcndoE与曲线形AabcdE相互的最终比是等量比．”然后指出当矩形之宽互不相等（如图设最大宽度为AF）但都无限缩小时，上述最终比仍是等量之比．牛顿还

而最终相合时”，“弦、弧及切线间相互的最终比为等量比”，等等．

　　牛顿在第一卷第一章评注中说他“提出这些引理作为前提，以避免古代几何学家所使用的烦琐的归谬法”．另一方面牛顿又阐明了首末比法与不可分量法的区别：

虽然“此处所做的事情与用不可分量法所做的一样，但现在这些原理是经过证明的，我们可以更放心地使用它们．所以，如果我偶尔将量看作由许多微小元素组成，或是用微小的曲线来代替直线的话，我的意思不是指不可分量，而是指消逝的可分量；不是指确定部分的和与比，而是指和与比的极限”．

　　牛顿预见到首末比方法可能遭受的批评，并意识到争论的焦点将在于“最终比”概念．为了答复这类批评，他在前述引理的评注中对于什么是“最终比”作了进一步说明：

“消逝量的最终比实际上并非最终量之比，而是无限减小的量的比所趋向的极限．它们无限接近这个极限，其差可小于任意给定的数，但却永远不会超过它，并且在这些量无限减小之前也不会达到它．”

∙图形法

∙就是要证明直角三角形的三条边之间的关系满足：

一种证明方法的图示：

左右两正方形面积相等，各扣除四块蓝色三角形后面积仍相等

其实，只求右侧白色正方形面积即可，即：

c2=（a+b）2–4X（ab/2），化简得

c2=a2+b2

步骤

15

∙正方形法

∙

这样拼起来的三块正方形可以知道，a2+b2=c2