文科数学专题不等式选学案高考二轮复习资料含答案.docx

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文科数学专题不等式选学案高考二轮复习资料含答案

专题19不等式选讲（教学案）

预测2017年对不等式选讲的考查仍以绝对值不等式的解法、性质为主，解含两个绝对值号的不等式是

解答题题型的主流，并配以不等式的证明和函数图象的考查

一、含有绝对值不等式的解法

1.|ax+b|wc,|ax+b|>c（c>0）型不等式的解法

（1）若c>0，则|ax+b|wc等价于—cc等价于ax+b>c或ax+bw—c,然后根据a,b的值解出即可.

（2）若c<0,则|ax+b|wc的解集为？

，|ax+b|>c的解集为R.

2.|x—a|+|x—b|>c（c>0）,|x—a|+|x—b|wc（c>0）型不等式的解法

可通过零点分区间法或利用绝对值的几何意义进行求解

（1）零点分区间法的一般步骤

1令每个绝对值符号的代数式为零，并求出相应的根；

2将这些根按从小到大排列，把实数集分为若干个区间；

3由所分区间去掉绝对值符号得若干个不等式，解这些不等式，求出解集；

4取各个不等式解集的并集就是原不等式的解集

（2）利用绝对值的几何意义

由于|x—a|+|x—b|与|x—a|—|x—b|分别表示数轴上与x对应的点到a,b对应的点的距离之和与距

离之差，因此对形如|x—a|+|x—b|0）或|x—a|—|x—b|>c（c>0）的不等式，利用绝对值的几何意义求解更直观.

3.|f（x）|>g（x）,|f（x）|0）型不等式的解法

（1）1f（x）|>g（x）?

f（x）>g（x）或f（x）<—g（x）.

（2）|f（x）|

—g（x）

二、不等式的证明

1.证明不等式的常用结论

（1）绝对值的三角不等式

定理1：

若a,b为实数，则|a+b|w|a|+|b|，当且仅当ab>0，等号成立.

定理2:

设a,b,c为实数，则|a—c|w|a—b|+|b—c|，当且仅当（a—b）（b—c）>0时，等号成立.

推论1：

||a|-1b||w|a+b|.

推论2:

||a|-1b||<|a-b|.

a+b+c3j—

（2）三个正数的算术一几何平均不等式：

如果a,b,c€那么—3—》.abc,当且仅当a=b=c

时等号成立•

（3）

基本不等式（基本不等式的推广）：

对于n个正数ai,a2,…，an,它们的算术平均值不小于它们的

（4）一般形式的柯西不等式

设ai,a2,a3,…,an,bi,b2,b3,…,b是实数，则（a2+a2+・・・+a?

）•（b+b2+…+b2）》（aib+a2b+…+anbn）2，并且仅当b=0（i=i,2，…，n）或存在一个数k，使得a—kb（i=i,2,…，n）时，等号成立.

2.证明不等式的常用方法

⑴比较法

一般步骤：

作差一变形一判断一结论•为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者

变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负

（2）综合法

利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这种方法叫综合法•即“由

因导果”的方法•

（3）分析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已经具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法叫作分析法•即“执果索因”的方法•

（4）反证法和放缩法

1先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行

正确的推理，得到和命题的条件（或已证明的定理、性质、明显成立的事实等）矛盾的结论，以说明假设不

正确，从而证明原命题成立，这种方法叫作反证法

2证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种方法叫作放缩法

考点一解绝对值不等式

例1.【2017课标3,文23】已知函数f（x）=|x+1I-|x-2|.

（1）求不等式f（x）Al的解集；

（2）若不等式f（x）aX2-x+m的解集非空，求实数m的取值范围.

5

【答案】

（1）[1,•二）；

（2）

4

【解析】

7,兀<-1

（1）/（x）={2x-l-l

3丸>2

当x<-L时，川刃王1无解'

当一1<3c<2B寸，由2x-l>l,BWl

当xa2日寸，由f{x}>1解得艾>2、

所以/（刃工1的解集为网注

（2）由/（jc）>jc2—x+jm|x+l|—|x—2|—x2+x,而

|x+1|-|x—2|—x^+x^.|x+1+x|—2+|jc^-1

3丫5^52丿44

15

且当无=_时>|x+l|—|x—2|—x2+x=—.

丄4

故朋的取值范围为（a,专■

【变式探究】【2016高考新课标1卷】（本小题满分10分）,选修4—5:

不等式选讲

已知函数f（x）=|x+1—2x-3.

（I）在答题卡第（24）题图中画出y二fx的图像;

（II）求不等式f（X$：

＞1的解集

【解析】⑴如團所示:

|/（X）|>13当JC^-lt|x-4|>l得工>5或JC<3Ai^-1

当-Kx<^3^-2|>1M得或耳召

JU—J

\-l

32

33

>1解得jcA予或j:

<3「・一WjcV3或jcaS

综±ax

（2015•重庆，16）若函数f（x）=|x+1|+2|x—a|的最小值为5，则实数a=.

【答案】4或—6

3【解析】由绝对值的性质知f（x）的最小值在x=—1或x=a时取得，若f（—1）=2|—1—a|=5,a=?

或a=—£经检验均不合适；若f（a）=5，则|x+1|=5,a=4或a=—6,经检验合题意，因此a=4或a

【变式探究】不等式|x—1|+|x+2|>5的解集为.

【答案】{x|xw—3或x>2}

【解析］原不等式等价于*

-（x-1）+〔兀+2〉>5

或"

-2

一（J-1）+（x+2）>5

解得也或x<-3.

故原不等式的解集为仗眶-3或x>2}.

考点二不等式的证明

（1）（a•b）（a•b5）_4；

【答案】

（1）证明略;

⑵证明略。

【解析】

解：

1ab

6■5.5.6

=a-ababb

2

-b3

2

=4■aba—b

_4.

■3aba■b

3q

（2）因为aba

丄2丄2丄3

■3ab3abb=2

【变式探究】

（H）证明：

当a,b三M时，|a•b|：

：

：

|1■ab|.

【答案】（I）M={x|_1：

：

：

x：

：

：

1}；（n）详见解析

L,--

2xrx>—.

2

当x<-|时，由/W<2得-2XV2*解得x>-l；

㊁时，/（x）<25

jL

^~2

当时，由/（x><2得2工

所的解集{工|-1

（n>由（I）知，当口上寸，一1<口<匕一1<台<1,

从而3+时—（1+曲尸=a2+沪—/沪—1=（a1-1X1-61）<0,

因此|

【变式探究】（2015新课标全国II,24〕设乐认叭川均为正数，且a+b^c+d,证明:

（1）®ab>cdf则込+质〉证+雷；

⑵^+切〉还+屣旧—力|<丄一创的充要条件.

证明

（1）因为（谄+边卩二卄血+2皈，（yfc+\ldfi—c+d+l^cd,

由题设a+b—c-^d,ab〉ad曙（區+'励>（'运+'厨一因此&+筋>込+血

⑵®若皿一劲<0-亦

则（a-£>y<（c-dpf

即（狂+方尸—4^<£+莎_4也

因为a+b—c+df所ab>cd.

由

（1）得,a+,b>c+,d.

②若寸a+、.jb>ijC+“Jd,则（a+b）2>（c+d）2,即a+b+2寸ab>c+d+2寸cd.

因为a+b=c+d,所以ab>cd,于是

2222

（a—b）=（a+b）—4abv（c+d）—4cd=（c-d）.

因此|a—b|v|c—d|.

综上，冒a+Jb>Jc+*'d是|a—b|v|c—d|的充要条件.

【变式探究】已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M{0,1,2,…，q—1}，集合A={x|x=xi+X2q+…+xnqn—1,Xi€M,i=1,2，…，n}.

（1）当q=2,n=3时，用列举法表示集合A

（2）设s,t€A,s=a1+a2q+…+anqn—1,t=b+bq+…+bnqn—1,其中ai,bi€Mi=1,2,…，n.证明：

若an

⑴解当孑二2,刃=弓时，血二{61},+疋€胚尸S2,3}.可得,（0,

b2f3,4,5,7}・

（2皿明由Sj疋厶s—oi+o2q+1,F拠+方璋+…+虬于一・，cn}创€触，1二1,2,n

及心守町可得』一（=（6-加）+（血一如…+（血1一乩1妙2+伽一鬧严啜9一1）+（?

-1沟+-..+（?

-功于T—于-丄=护1=-1<0

所1X!

-

1.【2017课标1，文23】已知函数f（x）--x「ax4,g（x）=|x1|-|x-1|.

（1）当a=1时，求不等式f（x）_g（x）的解集；

（2）若不等式f（x）_g（x）的解集包含[-1,1]，求a的取值范围.

_1“:

：

17

【答案】

（1）{x|-1:

:

:

x};

（2）[-1,1].

2

【解析】

（1）当a=1时，不等式f（x）Kg（x）等价于x2—x+|x+1+|x—1—4兰0.①

当x—1时，①式化为x2-3x-4_0,无解；

当一1乞x<1时，①式化为x2—X-2_0,从而T乞x乞1;

_1..：

■17

当x1时，①式化为x2•x-4乞0，从而1：

：

:

x冬.

所以fX_gX的解集为{XI_—：

X岂=}.

（2）当x•|-1,1]时，gx=2.

所以fx_gx的解集包含丨_1,1]，等价于当x.丨_1,1]时fx_2.

又fx在|_1,1的最小值必为f_1与f1之一，所以f_1_2且f