届上海市闵行区高三下学期质量调研考试二模文科.docx
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届上海市闵行区高三下学期质量调研考试二模文科
闵行区2017学年第二学期高三年级质量调研考试
数学试卷(文科)
(满分150分,时间120分钟)
考生注意:
1.答卷前,考生务必在答题纸上将学校、班级、准考证号、姓名等填写清楚.
2.请按照题号在答题纸各题答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.本试卷共有23道试题.
一.填空题(本大题满分56分)本大题共有14小题,考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律得0分.
1.用列举法将方程
的解集表示为.
2.若复数
满足
(其中
为虚数单位),则
.
3.双曲线
的两条渐近线的夹角的弧度数为.
4.若
,且
,则
.
5.二项式
的展开式中,
项的系数为.
6.已知等比数列
满足
,则
.
7.如果实数
满足线性约束条件
,则
的最小值等于.
8.空间一线段AB,若其主视图、左视图、俯视图的长度均为
,则线段AB的长度为.
9.给出条件:
①
,②
,③
,④
.函数
,对任意
,能使
成立的条件的序号是.
10.已知数列
满足
,则使
成立的正整数
的一个值为.
11.斜率为
的直线与焦点在
轴上的椭圆
交于不同的两点
、
.若点
、
在
轴上的投影恰好为椭圆的两焦点,则该椭圆的焦距为.
12.函数
在区间
内无零点,则实数
的范围是.
13.已知点
是半径为
的
上的动点,线段
是
的直径.则
的取值范围为.
14.已知函数
,
,若对任意的
,均有
,则实数
的取值范围是 .
二.选择题(本大题满分20分)本大题共有4小题,每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格用铅笔涂黑,选对得5分,否则一律得0分.
15.如果
,那么下列不等式成立的是()
(A)
.(B)
.(C)
.(D)
.
16.从4个不同的独唱节目和2个不同的合唱节目中选出4个节目编排一个节目单,要求最后一个节目必须是合唱,则这个节目单的编排方法共有()
(A)14种.(B)48种.(C)72种.(D)120种.
17.函数
的定义域为
,值域为
,则
的最大值是()
(A)
.(B)
.(C)
.(D)
.
18.如图,已知直线
平面
,垂足为
,在
中,
,点
是边
的中点.该三
角形在空间按以下条件作自由移动:
(1)
,
(2)
.
则
的最大值为( )
(A)
.(B)
.(C)
.(D)
.
三.解答题(本大题满分74分)本大题共有5题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.
19.(本题满分12分)
如图,已知圆锥的底面半径为
,点Q为半圆弧
的中点,点
为母线
的中点.若直线
与
所成的角为
,求此圆锥的表面积.
20.(本题满分14分)本题共有2个小题,第
(1)小题满分4分,第
(2)小题满分10分.
设三角形
的内角
所对的边长分别是
,且
.
若
不是钝角三角形,求:
(1)角
的范围;
(2)
的取值范围.
21.(本题满分14分)本题共有2个小题,第
(1)小题满分6分,第
(2)小题满分8分.
某油库的设计容量为30万吨,年初储量为10万吨,从年初起计划每月购进石油
万吨,以满足区域内和区域外的需求,若区域内每月用石油1万吨,区域外前
个月的需求量
(万吨)与
的函数关系为
,并且前4个月,区域外的需求量为20万吨.
(1)试写出第
个月石油调出后,油库内储油量
(万吨)与
的函数关系式;
(2)要使16个月内每月按计划购进石油之后,油库总能满足区域内和区域外的需求,且每月石油调出后,油库的石油剩余量不超过油库的容量,试确定
的取值范围.
22.(本题满分16分)本题共有3个小题,第
(1)小题满分4分,第
(2)小题满分6分,第(3)小题满分6分。
已知两动圆
和
(
),把它们的公共点的轨迹记为曲线
,若曲线
与
轴的正半轴的交点为
,且曲线
上的相异两点
满足:
.
(1)求曲线
的方程;
(2)若
的坐标为
,求直线
和
轴的交点
的坐标;
(3)证明直线
恒经过一定点,并求此定点的坐标.
23.(本题满分18分)本题共有3个小题,第
(1)小题满分4分,第
(2)小题满分7分,第(3)小题满分7分.
各项均为正数的数列
的前
项和为
,且对任意正整数
,都有
.
(1)求数列
的通项公式;
(2)如果等比数列
共有
项,其首项与公比均为
,在数列
的每相邻两项
与
之间插入
个
后,得到一个新的数列
.求数列
中所有项的和;
(3)如果存在
,使不等式
成立,求实数
的范围.
闵行区2017学年第二学期高三年级质量调研考试
数学试卷参考答案与评分标准(文理)
一.填空题1.
;2.
;3.
;4.
;5.(理)
,(文)
;
6.(理)
,(文)
;7.(理)4,(文)
;8.(理)
,(文)
;9.④;
10.(理)
,(文)
等;11.
;12.(文理)
;
13.(理)
,(文)
;14.(文理)
.
二.选择题15.B;16.D;17.B;18.C.
三.解答题
19.[解]取OA的中点M,连接PM,又点P为母线
的中点
所以
,故
为
与
所成的角.………………………2分
在
中,
,
,………………………4分
由点Q为半圆弧
的中点知
,
在
中,
故
,所以
,
.………………………8分
所以
,
………………10分
.…………………………………12分
20.[解]
(1)因为
,
…………………………………2分
由
得:
…………………………………4分
(2)
…………………………………6分
(
)……………10分
当
时,
当
时,
…………………………………12分
所以
.…………………………………14分
21.[解]
(1)由条件得
,所以
2分
,(
).…………………………………6分
(2)因为
,
所以
恒成立………………………8分
恒成立………………………10分
设
,则:
恒成立,
由
恒成立得
(
时取等号)………………………12分
恒成立得
(
时取等号)
所以
.………………………14分
22.[解]
(1)(文理)设两动圆的公共点为Q,则有:
.由椭圆的定义可知
的轨迹为椭圆,
.所以曲线
的方程是:
.…4分
(2)(理)证法一:
由题意可知:
,设
,
当
的斜率不存在时,易知满足条件
的直线
为:
过定点
………………………6分
当
的斜率存在时,设直线
:
,联立方程组:
,把②代入①有:
……………8分
③,
④,
因为
,所以有
,
,把③④代入整理:
,(有公因式m-1)继续化简得:
,
或
(舍),
综合斜率不存在的情况,直线
恒过定点
.………………………10分
证法二:
(先猜后证)由题意可知:
,设
,
如果直线
恒经过一定点,由椭圆的对称性可猜测此定点在
轴上,设为
;
取特殊直线
,则直线
的方程为
,
解方程组
得点
,同理得点
,
此时直线
恒经过
轴上的点
(只要猜出定点的坐标给2分)……2分
下边证明点
满足条件
当
的斜率不存在时,直线
方程为:
,
点
的坐标为
,满足条件
;………………………8分
当
的斜率存在时,设直线
:
,联立方程组:
,把②代入①得:
③,
④,
所以
………………………10分
(文)由条件
,知道
,
=
得直线
:
………………………6分
解方程组
可得
……………………………8分
直线
:
所以交点
.……………………………10分
(3)(理)
面积
=
=
由第
(2)小题的③④代入,整理得:
……………………………12分
因
在椭圆内部,所以
可设
,
……………………………14分
,
(
时取到最大值).
所以
面积
的最大值为
.…………………………………………16分
(注:
文科第(3)小题的评分标准参照理科第
(2)小题)
23.[解]
(1)(文理)当
时,由
得
…………1分
当
时,由
,
得
因数列
的各项均为正数,所以
………………………………3分
所以数列
是首相与公差均为
等差数列
所以数列
的通项公式为
.………………………………4分
(2)(理)数列
的通项公式为
……………………5分
当
时,数列
共有
项,其所有项的和为
………………………………8分
当
时,数列
共有
项,其所有项的和为
……………………………11分
(文)数列
的通项公式为
…………………………5分
数列
中一共有
项,其所有项的和为
……8分
……………………………11分
(3)(理)由
得
……………………………13分
记
由
递减(或
)………………………15分
得
,
所以实数
的范围为
即
.……………………………18分
(文)由
得
……………………………13分
记
因为
,当
取等号,所以
取不到
当
时,
的最小值为
(
)递减,
的最大值为
…………15分
所以如果存在
,使不等式
成立
实数
应满足
,即实数
的范围应为
.………………………18分