f''>0==>f'递增
于是x2f'（x1）>f'（x2）
即：
（f（x+h）-f（x））/h>（f（x）-f（x-h））/h
==>f（x+h）+f（x-h）>2f（x）
楼上的回答不是很严谨，特别是中间出现一阶导的那步是需要证明的，还是直接从定义出发分析比较好。
以下用x代表x0
由于f''（x）存在，所以f‘（x）存在且连续。
f''（x）:
=lim（t->0）[f'（x+t）-f'（x）]/t
f'（x+t）:
=lim（s->0）[f（x+t+s）-f（x+t）]/s
f'（x）:
=lim（s->0）[f（x+s）-f（x）]/s
所以：
f''（x）=lim（t->0）[f'（x+t）-f'（x）]/t
=lim（t->0）lim（s->0）[f（x+t+s）-f（x+t）-f（x+s）+f（x）]/（ts）
在上面的极限中我们特别地取t=-s=h将两个极限合并成一个，不改变原来的极限。
所以：
f''（x）=lim（h->0）[f（x）-f（x+h）-f（x-h）+f（x）]/（-h²）
=lim（h->0）[f（x+h）+f（x-h）-2f（x）]/h²
追问我还有一点不明白就是对于导数定义[f（x+h）-f（x）]/h和[f（x）-f（x-h）]/-h都等于f'（x）么?
还是可以等于f'（x+h）也可以等于f'（x）谢谢
[f（x-h）-f（x）]/-h为什么不等于f'（x-h）而等于f'（x）呢？
回答lim（h->0）[f（x）-f（x-h）]/-h不等于f'（x），而是-f'（x），分母应该是x-（x-h）=h才对。
另外，这里根部不存在f'（x+h）和f'（x-h）的问题，因为，f的导数只有在取h->0的极限之后才会出现。
h根本不是一个具体的量，所以在lim（h->0）下，f'（x+h）是没有意义的。
如果f'（x+h）有意义的话，必须按照我上面定义的，先把h固定，然后让另一个量->0定义这点x+h处的导数。
另外还要提醒你一句，lim（?
）是很重要的，不要忽略“？
”部分到底是什么，这才是极限的关键。
追问我现在就是关于f'（x+h）-f（x）和f'（x）-f（x+h）是不是相等不太理解还有就是这到底等于f''（x）还是f''（x+h）
回答lim（h->0）之后，就没有h这个量了，当然就没有f'（x+h）和f''（x+h）这些东西了，你要注意先后顺序，是先求极限之后才有的导数，既然得到了导数，极限过程h->0就消失了，h也消失了。
f'（x+h）-f（x）和f'（x）-f（x+h）当然不想等了，这里就是最朴素的相等关系，1不等于2是一个意思。
但是我怀疑你是不是想说前面有个lim（h->0），如果这样，当f和f'都是连续的前提下就有：
lim（h->0）f'（x+h）-f（x）=lim（h->0）f'（x）-f（x+h）
有没有取过极限，以及对哪个变量取极限是本质性的问题，不可以想当然。
楼上的朋友回答之中有不少错误，有些问题是小节可以忽略，但是有的错误是很严重的，比如：
“在h->0的时候f''（x）=f''（x+h）这是相等的~”
这里他假设了二阶导数f''（x）在x这点是连续的，而且他这句话就是f''连续的数学表达式。
题目只说f''（x）是存在的，没有涉及连续性，这里我们只可以知道一阶导数f'是连续的，f''的连续性是没有的。
追问打错了是f'（x+h）-f'（x）和f'（x）-f'（x+h）不好意思麻烦再回答一下给你追加分数谢谢了
回答打不打错都没有关系，如果你真理解了我上面写的内容，就不会再来问了。
那我反问你一句，任意给你一个函数g（x），g（x）和-g（x）什么关系，当然是相加等于零，或者固定x来看是互为相反数的关系。
那么你自己说f'（x+h）-f'（x）和f'（x）-f'（x+h）什么关系，不能学了点高数就开始怀疑初等数学的东西了。
这里面没有矛盾。
但是我上面也解释了，这个问题如果是考虑lim（h->0）的运算的情形下就可以有新的结论。
注意lim（h->0）是一个运算，加与不加完全是两回事！
又因为这里f'是连续的，注意连续性是核心条件，所以才有：
lim（h->0）f'（x+h）-f‘（x）=lim（h->0）f'（x）-f’（x+h）=0
我发觉你的问题跟很多初学高数的同学一样，第一章的极限没有学懂，或者自以为明白了，其实基本概念是一团糟的，这种情况非常普遍。
极限理论是整个微积分的基石，后面所有的理论都离不开它，这里学不透彻，后面的困难会越来越大。
建议你重新认真的把极限那一部分学一遍。
概念什么的搞透彻。
高数也好，数分也好，不下苦工是不行的。
看在你问问题很虚心的角度，多给你说这么几句话，希望对你有所帮助。
提问者评价谢谢我会好好复习极限的！
没分了只加了15分
楼上的回答不是很严谨，特别是中间出现一阶导的那步是需要证明的，还是直接从定义出发分析比较好。
以下用x代表x0
由于f''（x）存在，所以f‘（x）存在且连续。
f''（x）:
=lim（t->0）[f'（x+t）-f'（x）]/t
f'（x+t）:
=lim（s->0）[f（x+t+s）-f（x+t）]/s
f'（x）:
=lim（s->0）[f（x+s）-f（x）]/s
所以：
f''（x）=lim（t->0）[f'（x+t）-f'（x）]/t
=lim（t->0）lim（s->0）[f（x+t+s）-f（x+t）-f（x+s）+f（x）]/（ts）
在上面的极限中我们特别地取t=-s=h将两个极限合并成一个，不改变原来的极限。
所以：
f''（x）=lim（h->0）[f（x）-f（x+h）-f（x-h）+f（x）]/（-h²）
=lim（h->0）[f（x+h）+f（x-h）-2f（x）]/h²
追问我还有一点不明白就是对于导数定义[f（x+h）-f（x）]/h和[f（x）-f（x-h）]/-h都等于f'（x）么?
还是可以等于f'（x+h）也可以等于f'（x）谢谢
[f（x-h）-f（x）]/-h为什么不等于f'（x-h）而等于f'（x）呢？
回答lim（h->0）[f（x）-f（x-h）]/-h不等于f'（x），而是-f'（x），分母应该是x-（x-h）=h才对。
楼上的回答不是很严谨，特别是中间出现一阶导的那步是需要证明的，还是直接从定义出发分析比较好。
以下用x代表x0
由于f''（x）存在，所以f‘（x）存在且连续。
f''（x）:
=lim（t->0）[f'（x+t）-f'（x）]/t
f'（x+t）:
=lim（s->0）[f（x+t+s）-f（x+t）]/s
f'（x）:
=lim（s->0）[f（x+s）-f（x）]/s
所以：
f''（x）=lim（t->0）[f'（x+t）-f'（x）]/t
=lim（t->0）lim（s->0）[f（x+t+s）-f（x+t）-f（x+s）+f（x）]/（ts）
在上面的极限中我们特别地取t=-s=h将两个极限合并成一个，不改变原来的极限。
所以：
f''（x）=lim（h->0）[f（x）-f（x+h）-f（x-h）+f（x）]/（-h²）
=lim（h->0）[f（x+h）+f（x-h）-2f（x）]/h²
追问我还有一点不明白就是对于导数定义[f（x+h）-f（x）]/h和[f（x）-f（x-h）]/-h都等于f'（x）么?
还是可以等于f'（x+h）也可以等于f'（x）谢谢
[f（x-h）-f（x）]/-h为什么不等于f'（x-h）而等于f'（x）呢？
回答lim（h->0）[f（x）-f（x-h）]/-h不等于f'（x），而是-f'（x），分母应该是x-（x-h）=h才对。
另外，这里根部不存在f'（x+h）和f'（x-h）的问题，因为，f的导数只有在取h->0的极限之后才会出现。
h根本不是一个具体的量，所以在lim（h->0）下，f'（x+h）是没有意义的。
如果f'（x+h）有意义的话，必须按照我上面定义的，先把h固定，然后让另一个量->0定义这点x+h处的导数。
另外还要提醒你一句，lim（?
）是很重要的，不要忽略“？
”部分到底是什么，这才是极限的关键。
追问我现在就是关于f'（x+h）-f（x）和f'（x）-f（x+h）是不是相等不太理解还有就是这到底等于f''（x）还是f''（x+h）
回答lim（h->0）之后，就没有h这个量了，当然就没有f'（x+h）和f''（x+h）这些东西了，你要注意先后顺序，是先求极限之后才有的导数，既然得到了导数，极限过程h->0就消失了，h也消失了。
f'（x+h）-f（x）和f'（x）-f（x+h）当然不想等了，这里就是最朴素的相等关系，1不等于2是一个意思。
但是我怀疑你是不是想说前面有个lim（h->0），如果这样，当f和f'都是连续的前提下就有：
lim（h->0）f'（x+h）-f（x）=lim（h->0）f'（x）-f（x+h）
有没有取过极限，以及对哪个变量取极限是本质性的问题，不可以想当然。
楼上的朋友回答之中有不少错误，有些问题是小节可以忽略，但是有的错误是很严重的，比如：
“在h->0的时候f''（x）=f''（x+h）这是相等的~”
这里他假设了二阶导数f''（x）在x这点是连续的，而且他这句话就是f''连续的数学表达式。
题目只说f''（x）是存在的，没有涉及连续性，这里我们只可以知道一阶导数f'是连续的，f''的连续性是没有的。
追问打错了是f'（x+h）-f'（x）和f'（x）-f'（x+h）不好意思麻烦再回答一下给你追加分数谢谢了
回答打不打错都没有关系，如果你真理解了我上面写的内容，就不会再来问了。
那我反问你一句，任意给你一个函数g（x），g（x）和-g（x）什么关系，当然是相加等于零，或者固定x来看是互为相反数的关系。
那么你自己说f'（x+h）-f'（x）和f'（x）-f'（x+h）什么关系，不能学了点高数就开始怀疑初等数学的东西了。
这里面没有矛盾。
但是我上面也解释了，这个问题如果是考虑lim（h->0）的运算的情形下就可以有新的结论。
注意lim（h->0）是一个运算，加与不加完全是两回事！
又因为这里f'是连续的，注意连续性是核心条件，所以才有：
lim（h->0）f'（x+h）-f‘（x）=lim（h->0）f'（x）-f’（x+h）=0
我发觉你的问题跟很多初学高数的同学一样，第一章的极限没有学懂，或者自以为明白了，其实基本概念是一团糟的，这种情况非常普遍。
极限理论是整个微积分的基石，后面所有的理论都离不开它，这里学不透彻，后面的困难会越来越大。
建议你重新认真的把极限那一部分学一遍。
概念什么的搞透彻。
高数也好，数分也好，不下苦工是不行的。
看在你问问题很虚心的角度，多给你说这么几句话，希望对你有所帮助。
提问者评价谢谢我会好好复习极限的！
没分了只加了15分
另外，这里根部不存在f'（x+h）和f'（x-h）的问题，因为，f的导数只有在取h->0的极限之后才会出现。
h根本不是一个具体的量，所以在lim（h->0）下，f'（x+h）是没有意义的。
如果f'（x+h）有意义的话，必须按照我上面定义的，先把h固定，然后让另一个量->0定义这点x+h处的导数。
另外还要提醒你一句，lim（?
）是很重要的，不要忽略“？
”部分到底是什么，这才是极限的关键。
追问我现在就是关于f'（x+h）-f（x）和f'（x）-f（x+h）是不是相等不太理解还有就是这到底等于f''（x）还是f''（x+h）
回答lim（h->0）之后，就没有h这个量了，当然就没有f'（x+h）和f''（x+h）这些东西了，你要注意先后顺序，是先求极限之后才有的导数，既然得到了导数，极限过程h->0就消失了，h也消失了。
楼上的回答不是很严谨，特别是中间出现一阶导的那步是需要证明的，还是直接从定义出发分析比较好。
以下用x代表x0
由于f''（x）存在，所以f‘（x）存在且连续。
f''（x）:
=lim（t->0）[f'（x+t）-f'（x）]/t
f'（x+t）:
=lim（s->0）[f（x+t+s）-f（x+t）]/s
f'（x）:
=lim（s->0）[f（x+s）-f（x）]/s
所以：
f''（x）=lim（t->0）[f'（x+t）-f'（x）]/t
=lim（t->0）lim（s->0）[f（x+t+s）-f（x+t）-f（x+s）+f（x）]/（ts）
在上面的极限中我们特别地取t=-s=h将两个极限合并成一个，不改变原来的极限。
所以：
f''（x）=lim（h->0）[f（x）-f（x+h）-f（x-h）+f（x）]/（-h²）
=lim（h->0）[f（x+h）+f（x-h）-2f（x）]/h²
追问我还有一点不明白就是对于导数定义[f（x+h）-f（x）]/h和[f（x）-f（x-h）]/-h都等于f'（x）么?
还是可以等于f'（x+h）也可以等于f'（x）谢谢
[f（x-h）-f（x）]/-h为什么不等于f'（x-h）而等于f'（x）呢？
回答lim（h->0）[f（x）-f（x-h）]/-h不等于f'（x），而是-f'（x），分母应该是x-（x-h）=h才对。
另外，这里根部不存在f'（x+h）和f'（x-h）的问题，因为，f的导数只有在取h->0的极限之后才会出现。
h根本不是一个具体的量，所以在lim（h->0）下，f'（x+h）是没有意义的。
如果f'（x+h）有意义的话，必须按照我上面定义的，先把h固定，然后让另一个量->0定义这点x+h处的导数。
另外还要提醒你一句，lim（?
）是很重要的，不要忽略“？
”部分到底是什么，这才是极限的关键。
追问我现在就是关于f'（x+h）-f（x）和f'（x）-f（x+h）是不是相等不太理解还有就是这到底等于f''（x）还是f''（x+h）
回答lim（h->0）之后，就没有h这个量了，当然就没有f'（x+h）和f''（x+h）这些东西了，你要注意先后顺序，是先求极限之后才有的导数，既然得到了导数，极限过程h->0就消失了，h也消失了。
f'（x+h）-f（x）和f'（x）-f（x+h）当然不想等了，这里就是最朴素的相等关系，1不等于2是一个意思。
但是我怀疑你是不是想说前面有个lim（h->0），如果这样，当f和f'都是连续的前提下就有：
lim（h->0）f'（x+h）-f（x）=lim（h->0）f'（x）-f（x+h）
有没有取过极限，以及对哪个变量取极限是本质性的问题，不可以想当然。
楼上的朋友回答之中有不少错误，有些问题是小节可以忽略，但是有的错误是很严重的，比如：
“在h->0的时候f''（x）=f''（x+h）这是相等的~”
这里他假设了二阶导数f''（x）在x这点是连续的，而且他这句话就是f''连续的数学表达式。
题目只说f''（x）是存在的，没有涉及连续性，这里我们只可以知道一阶导数f'是连续的，f''的连续性是没有的。
追问打错了是f'（x+h）-f'（x）和f'（x）-f'（x+h）不好意思麻烦再回答一下给你追加分数谢谢了
回答打不打错都没有关系，如果你真理解了我上面写的内容，就不会再来问了。
那我反问你一句，任意给你一个函数g（x），g（x）和-g（x）什么关系，当然是相加等于零，或者固定x来看是互为相反数的关系。
那么你自己说f'（x+h）-f'（x）和f'（x）-f'（x+h）什么关系，不能学了点高数就开始怀疑初等数学的东西了。
这里面没有矛盾。
但是我上面也解释了，这个问题如果是考虑lim（h->0）的运算的情形下就可以有新的结论。
注意lim（h->0）是一个运算，加与不加完全是两回事！
又因为这里f'是连续的，注意连续性是核心条件，所以才有：
lim（h->0）f'（x+h）-f‘（x）=lim（h->0）f'（x）-f’（x+h）=0
我发觉你的问题跟很多初学高数的同学一样，第一章的极限没有学懂，或者自以为明白了，其实基本概念是一团糟的，这种情况非常普遍。
极限理论是整个微积分的基石，后面所有的理论都离不开它，这里学不透彻，后面的困难会越来越大。
建议你重新认真的把极限那一部分学一遍。
概念什么的搞透彻。
高数也好，数分也好，不下苦工是不行的。
看在你问问题很虚心的角度，多给你说这么几句话，希望对你有所帮助。
提问者评价谢谢我会好好复习极限的！
没分了只加了15分
f'（x+h）-f（x）和f'（x）-f（x+h）当然不想等了，这里就是最朴素的相等关系，1不等于2是一个意思。
但是我怀疑你是不是想说前面有个lim（h->0），如果这样，当f和f'都是连续的前提下就有：
lim（h->0）f'（x+h）-f（x）=lim（h->0）f'（x）-f（x+h）
有没有取过极限，以及对哪个变量取极限是本质性的问题，不可以想当然。
楼上的朋友回答之中有不少错误，有些问题是小节可以忽略，但是有的错误是很严重的，比如：
“在h->0的时候f''（x）=f''（x+h）这是相等的~”
这里他假设了二阶导数f''（x）在x这点是连续的，而且他这句话就是f''连续的数学表达式。
题目只说f''（x）是存在的，没有涉及连续性，这里我们只可以知道一阶导数f'是连续的，f''的连续性是没有的。
追问打错了是f'（x+h）-f'（x）和f'（x）-f'（x+h）不好意思麻烦再回答一下给你追加分数谢谢了
回答打不打错都没有关系，如果你真理解了我上面写的内容，就不会再来问了。
那我反问你一句，任意给你一个函数g（x），g（x）和-g（x）什么关系，当然是相加等于零，或者固定x来看是互为相反数的关系。
那么你自己说f'（x+h）-f'（x）和f'（x）-f'（x+h）什么关系，不能学了点高数就开始怀疑初等数学的东西了。
这里面没有矛盾。
但是我上面也解释了，这个问题如果是考虑lim（h->0）的运算的情形下就可以有新的结论。
注意lim（h->0）是一个运算，加与不加完全是两回事！
又因为这里f'是连续的，注意连续性是核心条件，所以才有：
lim（h->0）f'（x+h）-f‘（x）=lim（h->0）f'（x）-f’（x+h）=0
我发觉你的问题跟很多初学高数的同学一样，第一章的极限没有学懂，或者自以为明白了，其实基本概念是一团糟的，这种情况非常普遍。
极限理论是整个微积分的基石，后面所有的理论都离不开它，这里学不透彻，后面的困难会越来越大。
建议你重新认真的把极限那一部分学一遍。
概念什么的搞透彻。
高数也好，数分也好，不下苦工是不行的。
看在你问问题很虚心的角度，多给你说这么几句话，希望对你有所帮助。
提问者评价谢谢我会好好复习极限的！
没分了只加了15分
希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：
：
1、世事忙忙如水流，休将名利挂心头。
粗茶淡饭随缘过，富贵荣华莫强求。
2、“我欲”是贫穷的标志。
事能常足，心常惬，人到无求品自高。
3、人生至恶是善谈人过；人生至愚恶闻己过。
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