关于高数求导的问题精品文档11页.docx

1、关于高数求导的问题精品文档11页key1：洛必达法则lim(h0）f(x0+h)+f(x-h)-2f(x)/h2lim(h0）f(x+h)-f(x-h)/2hlim(h0）f(x+h)f(x-h)/2f(x)f(x)/2f(x)为什么2f(x)可以消去，为什么减号能变成加号呢？注意哦：上下都对h求导。不能上面对x，下面对h，这叫啥嘛、key2：拉格朗日定理：f(x+h)-f(x)=hf(x+th),0t1（1）f(x)-f(x-h)=hf(x+sh),0s1（2）。自己想或者：泰勒中值定理：f(x+h)=f(x)+f(x)h+(f(x)h2/2)+o(h2)（1）f(x-h)=f(x)-f(x

2、)h+(f(x)h2/2)+o(h2)（2）（1）+（2），f(x+h)-2f(x)+f(x-h)/h2=f(x)h2+o(h2)/h2f(x)(h0)key3：定义。要很清楚导数的定义。向左转|向右转对于函数f(x),若limf(x+h)-f(x-h)/h存在时候（h趋近于0，h为增量）,是否f(x)必存在 错 如y=|x|在0处譬如说一条直线中间少一点，直线趋于这点的斜率是存在的。但是不连续必不可导limf(x+h)+f(x-h)-2f(x)/h2=lim(f(x+h)-f(x)-(f(x)-f(x-h)/h2=lim(f(x+h)-f(x)/h-(f(x)-f(x-h)/h/h=limf

3、(x)-f(x-h)/h=f(x-h)=f(x)1)你漏掉了分母的h2;2)当h趋近于0时， limf(x)-f(x-h)并不等于f(x),而是等于0；追问h2是我省略了的 imf(x)-f(x-h)/x-(x-h) 我没打出来而已 凑成了定义的形式 计算肯定没问题 就是不知道哪里的错误回答我看错你的问题了，我的错；limf(x+h)+f(x-h)-2f(x)/h2=limf(x+h)-f(x-h)+2f(x-h)-2f(x)/h2=2*limf(x+h)-f(x-h)/(2h) - f(x-h)-f(x)/(-h)/h到这里就出现问题了，前后两半部分在(x-h)出的微分增量不一致，这样是会有

4、问题的，比如我取2dx和dx，在增量趋近于0时，看似一样，但是相差了2倍，如果积分，一个是2x，一个是x，所以不行的，一个积分或者微分式中，微分增量应该是一致的。证明：因为f(x)具有连续的二阶导数，由拉格朗日定理f(x+h)-f(x)=hf(x+t1h)f(x)-f(x-h)=hf(x-t2h)(0t1,t21)-得f(x+h)+f(x-h)+2f(x)=f(x+t1h)-f(x-t2h)h对y=f(x)在(x-t2h,x+t1h)上使用拉格朗日定理f(x+t1h)-f(x-t2h)h=f(k)(t1+t2)h2,(x-t2hk0,h0,证明f(x+h)+f(x-h)2f(x)只能到这了。存

5、在xx1x+h, 使得 (f(x+h)-f(x)/h = f(x1)存在x-hx20 = f 递增于是 x2x f(x1) f(x2)即： (f(x+h)-f(x)/h (f(x)-f(x-h)/h= f(x+h)+f(x-h)2f(x)楼上的回答不是很严谨，特别是中间出现一阶导的那步是需要证明的，还是直接从定义出发分析比较好。以下用x代表x0由于f(x)存在，所以f(x)存在且连续。f(x):=lim(t-0)f(x+t)-f(x)/tf(x+t):=lim(s-0)f(x+t+s)-f(x+t)/sf(x):=lim(s-0)f(x+s)-f(x)/s所以：f(x)=lim(t-0)f(x

6、+t)-f(x)/t =lim(t-0)lim(s-0)f(x+t+s)-f(x+t)-f(x+s)+f(x)/(ts)在上面的极限中我们特别地取 t = -s = h 将两个极限合并成一个，不改变原来的极限。所以：f(x)=lim(h-0)f(x)-f(x+h)-f(x-h)+f(x)/(-h) =lim(h-0)f(x+h)+f(x-h)-2f(x)/h追问 我还有一点不明白 就是对于导数定义 f（x+h）-f(x)/h 和 f（x）-f（x-h）/-h 都等于f(x)么? 还是可以等于f(x+h) 也可以等于f(x) 谢谢 f（x-h）-f(x)/-h 为什么不等于 f(x-h) 而等于

7、f(x)呢？回答 lim（h-0）f（x）-f（x-h）/-h 不等于f(x)，而是-f(x)，分母应该是x-(x-h)=h才对。另外，这里根部不存在f(x+h)和f(x-h)的问题，因为，f的导数只有在取h-0的极限之后才会出现。h根本不是一个具体的量，所以在lim(h-0)下，f(x+h)是没有意义的。如果f(x+h)有意义的话，必须按照我上面定义的，先把h固定，然后让另一个量-0定义这点x+h处的导数。另外还要提醒你一句，lim(?)是很重要的，不要忽略“？”部分到底是什么，这才是极限的关键。追问 我现在就是关于 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）是不是相等不太理解 还有

8、就是 这到底等于 f(x)还是f(x+h)回答 lim(h-0)之后，就没有h这个量了，当然就没有f(x+h)和f(x+h)这些东西了，你要注意先后顺序，是先求极限之后才有的导数，既然得到了导数，极限过程h-0就消失了，h也消失了。 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）当然不想等了，这里就是最朴素的相等关系，1不等于2是一个意思。但是我怀疑你是不是想说前面有个lim(h-0)，如果这样，当f和f都是连续的前提下就有：lim(h-0)f(x+h)-f(x)=lim(h-0)f(x)-f（x+h）有没有取过极限，以及对哪个变量取极限是本质性的问题，不可以想当然。楼上的朋友回答之中有不

9、少错误，有些问题是小节可以忽略，但是有的错误是很严重的，比如：“在h-0的时候 f(x)=f(x+h) 这是相等的”这里他假设了二阶导数f(x)在x这点是连续的，而且他这句话就是f连续的数学表达式。题目只说f(x)是存在的，没有涉及连续性，这里我们只可以知道一阶导数f是连续的，f的连续性是没有的。追问 打错了 是 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）不好意思 麻烦再回答一下 给你追加分数 谢谢了回答 打不打错都没有关系，如果你真理解了我上面写的内容，就不会再来问了。那我反问你一句，任意给你一个函数g(x)，g(x)和-g(x)什么关系，当然是相加等于零，或者固定x来看是互为相反数

10、的关系。那么你自己说 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）什么关系，不能学了点高数就开始怀疑初等数学的东西了。这里面没有矛盾。但是我上面也解释了，这个问题如果是考虑lim(h-0)的运算的情形下就可以有新的结论。注意lim(h-0)是一个运算，加与不加完全是两回事！又因为这里f是连续的，注意连续性是核心条件，所以才有：lim(h-0)f(x+h)-f(x)=lim(h-0)f(x)-f(x+h)=0我发觉你的问题跟很多初学高数的同学一样，第一章的极限没有学懂，或者自以为明白了，其实基本概念是一团糟的，这种情况非常普遍。极限理论是整个微积分的基石，后面所有的理论都离不开它，这里学不

11、透彻，后面的困难会越来越大。建议你重新认真的把极限那一部分学一遍。概念什么的搞透彻。高数也好，数分也好，不下苦工是不行的。看在你问问题很虚心的角度，多给你说这么几句话，希望对你有所帮助。提问者评价 谢谢 我会好好复习极限的 ！没分了 只加了15分楼上的回答不是很严谨，特别是中间出现一阶导的那步是需要证明的，还是直接从定义出发分析比较好。以下用x代表x0由于f(x)存在，所以f(x)存在且连续。f(x):=lim(t-0)f(x+t)-f(x)/tf(x+t):=lim(s-0)f(x+t+s)-f(x+t)/sf(x):=lim(s-0)f(x+s)-f(x)/s所以：f(x)=lim(t-0

12、)f(x+t)-f(x)/t =lim(t-0)lim(s-0)f(x+t+s)-f(x+t)-f(x+s)+f(x)/(ts)在上面的极限中我们特别地取 t = -s = h 将两个极限合并成一个，不改变原来的极限。所以：f(x)=lim(h-0)f(x)-f(x+h)-f(x-h)+f(x)/(-h) =lim(h-0)f(x+h)+f(x-h)-2f(x)/h追问 我还有一点不明白 就是对于导数定义 f（x+h）-f(x)/h 和 f（x）-f（x-h）/-h 都等于f(x)么? 还是可以等于f(x+h) 也可以等于f(x) 谢谢 f（x-h）-f(x)/-h 为什么不等于 f(x-h)

13、 而等于f(x)呢？回答 lim（h-0）f（x）-f（x-h）/-h 不等于f(x)，而是-f(x)，分母应该是x-(x-h)=h才对。楼上的回答不是很严谨，特别是中间出现一阶导的那步是需要证明的，还是直接从定义出发分析比较好。以下用x代表x0由于f(x)存在，所以f(x)存在且连续。f(x):=lim(t-0)f(x+t)-f(x)/tf(x+t):=lim(s-0)f(x+t+s)-f(x+t)/sf(x):=lim(s-0)f(x+s)-f(x)/s所以：f(x)=lim(t-0)f(x+t)-f(x)/t =lim(t-0)lim(s-0)f(x+t+s)-f(x+t)-f(x+s)

14、+f(x)/(ts)在上面的极限中我们特别地取 t = -s = h 将两个极限合并成一个，不改变原来的极限。所以：f(x)=lim(h-0)f(x)-f(x+h)-f(x-h)+f(x)/(-h) =lim(h-0)f(x+h)+f(x-h)-2f(x)/h追问 我还有一点不明白 就是对于导数定义 f（x+h）-f(x)/h 和 f（x）-f（x-h）/-h 都等于f(x)么? 还是可以等于f(x+h) 也可以等于f(x) 谢谢 f（x-h）-f(x)/-h 为什么不等于 f(x-h) 而等于f(x)呢？回答 lim（h-0）f（x）-f（x-h）/-h 不等于f(x)，而是-f(x)，分母

15、应该是x-(x-h)=h才对。另外，这里根部不存在f(x+h)和f(x-h)的问题，因为，f的导数只有在取h-0的极限之后才会出现。h根本不是一个具体的量，所以在lim(h-0)下，f(x+h)是没有意义的。如果f(x+h)有意义的话，必须按照我上面定义的，先把h固定，然后让另一个量-0定义这点x+h处的导数。另外还要提醒你一句，lim(?)是很重要的，不要忽略“？”部分到底是什么，这才是极限的关键。追问 我现在就是关于 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）是不是相等不太理解 还有就是 这到底等于 f(x)还是f(x+h)回答 lim(h-0)之后，就没有h这个量了，当然就没有f

16、(x+h)和f(x+h)这些东西了，你要注意先后顺序，是先求极限之后才有的导数，既然得到了导数，极限过程h-0就消失了，h也消失了。 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）当然不想等了，这里就是最朴素的相等关系，1不等于2是一个意思。但是我怀疑你是不是想说前面有个lim(h-0)，如果这样，当f和f都是连续的前提下就有：lim(h-0)f(x+h)-f(x)=lim(h-0)f(x)-f（x+h）有没有取过极限，以及对哪个变量取极限是本质性的问题，不可以想当然。楼上的朋友回答之中有不少错误，有些问题是小节可以忽略，但是有的错误是很严重的，比如：“在h-0的时候 f(x)=f(x+h

17、) 这是相等的”这里他假设了二阶导数f(x)在x这点是连续的，而且他这句话就是f连续的数学表达式。题目只说f(x)是存在的，没有涉及连续性，这里我们只可以知道一阶导数f是连续的，f的连续性是没有的。追问 打错了 是 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）不好意思 麻烦再回答一下 给你追加分数 谢谢了回答 打不打错都没有关系，如果你真理解了我上面写的内容，就不会再来问了。那我反问你一句，任意给你一个函数g(x)，g(x)和-g(x)什么关系，当然是相加等于零，或者固定x来看是互为相反数的关系。那么你自己说 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）什么关系，不能学了点高数就开

18、始怀疑初等数学的东西了。这里面没有矛盾。但是我上面也解释了，这个问题如果是考虑lim(h-0)的运算的情形下就可以有新的结论。注意lim(h-0)是一个运算，加与不加完全是两回事！又因为这里f是连续的，注意连续性是核心条件，所以才有：lim(h-0)f(x+h)-f(x)=lim(h-0)f(x)-f(x+h)=0我发觉你的问题跟很多初学高数的同学一样，第一章的极限没有学懂，或者自以为明白了，其实基本概念是一团糟的，这种情况非常普遍。极限理论是整个微积分的基石，后面所有的理论都离不开它，这里学不透彻，后面的困难会越来越大。建议你重新认真的把极限那一部分学一遍。概念什么的搞透彻。高数也好，数分也

19、好，不下苦工是不行的。看在你问问题很虚心的角度，多给你说这么几句话，希望对你有所帮助。提问者评价 谢谢 我会好好复习极限的 ！没分了 只加了15分另外，这里根部不存在f(x+h)和f(x-h)的问题，因为，f的导数只有在取h-0的极限之后才会出现。h根本不是一个具体的量，所以在lim(h-0)下，f(x+h)是没有意义的。如果f(x+h)有意义的话，必须按照我上面定义的，先把h固定，然后让另一个量-0定义这点x+h处的导数。另外还要提醒你一句，lim(?)是很重要的，不要忽略“？”部分到底是什么，这才是极限的关键。追问 我现在就是关于 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）是不是相

20、等不太理解 还有就是 这到底等于 f(x)还是f(x+h)回答 lim(h-0)之后，就没有h这个量了，当然就没有f(x+h)和f(x+h)这些东西了，你要注意先后顺序，是先求极限之后才有的导数，既然得到了导数，极限过程h-0就消失了，h也消失了。楼上的回答不是很严谨，特别是中间出现一阶导的那步是需要证明的，还是直接从定义出发分析比较好。以下用x代表x0由于f(x)存在，所以f(x)存在且连续。f(x):=lim(t-0)f(x+t)-f(x)/tf(x+t):=lim(s-0)f(x+t+s)-f(x+t)/sf(x):=lim(s-0)f(x+s)-f(x)/s所以：f(x)=lim(t-

21、0)f(x+t)-f(x)/t =lim(t-0)lim(s-0)f(x+t+s)-f(x+t)-f(x+s)+f(x)/(ts)在上面的极限中我们特别地取 t = -s = h 将两个极限合并成一个，不改变原来的极限。所以：f(x)=lim(h-0)f(x)-f(x+h)-f(x-h)+f(x)/(-h) =lim(h-0)f(x+h)+f(x-h)-2f(x)/h追问 我还有一点不明白 就是对于导数定义 f（x+h）-f(x)/h 和 f（x）-f（x-h）/-h 都等于f(x)么? 还是可以等于f(x+h) 也可以等于f(x) 谢谢 f（x-h）-f(x)/-h 为什么不等于 f(x-h

22、) 而等于f(x)呢？回答 lim（h-0）f（x）-f（x-h）/-h 不等于f(x)，而是-f(x)，分母应该是x-(x-h)=h才对。另外，这里根部不存在f(x+h)和f(x-h)的问题，因为，f的导数只有在取h-0的极限之后才会出现。h根本不是一个具体的量，所以在lim(h-0)下，f(x+h)是没有意义的。如果f(x+h)有意义的话，必须按照我上面定义的，先把h固定，然后让另一个量-0定义这点x+h处的导数。另外还要提醒你一句，lim(?)是很重要的，不要忽略“？”部分到底是什么，这才是极限的关键。追问 我现在就是关于 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）是不是相等不太

23、理解 还有就是 这到底等于 f(x)还是f(x+h)回答 lim(h-0)之后，就没有h这个量了，当然就没有f(x+h)和f(x+h)这些东西了，你要注意先后顺序，是先求极限之后才有的导数，既然得到了导数，极限过程h-0就消失了，h也消失了。 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）当然不想等了，这里就是最朴素的相等关系，1不等于2是一个意思。但是我怀疑你是不是想说前面有个lim(h-0)，如果这样，当f和f都是连续的前提下就有：lim(h-0)f(x+h)-f(x)=lim(h-0)f(x)-f（x+h）有没有取过极限，以及对哪个变量取极限是本质性的问题，不可以想当然。楼上的朋友回

24、答之中有不少错误，有些问题是小节可以忽略，但是有的错误是很严重的，比如：“在h-0的时候 f(x)=f(x+h) 这是相等的”这里他假设了二阶导数f(x)在x这点是连续的，而且他这句话就是f连续的数学表达式。题目只说f(x)是存在的，没有涉及连续性，这里我们只可以知道一阶导数f是连续的，f的连续性是没有的。追问 打错了 是 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）不好意思 麻烦再回答一下 给你追加分数 谢谢了回答 打不打错都没有关系，如果你真理解了我上面写的内容，就不会再来问了。那我反问你一句，任意给你一个函数g(x)，g(x)和-g(x)什么关系，当然是相加等于零，或者固定x来看是

25、互为相反数的关系。那么你自己说 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）什么关系，不能学了点高数就开始怀疑初等数学的东西了。这里面没有矛盾。但是我上面也解释了，这个问题如果是考虑lim(h-0)的运算的情形下就可以有新的结论。注意lim(h-0)是一个运算，加与不加完全是两回事！又因为这里f是连续的，注意连续性是核心条件，所以才有：lim(h-0)f(x+h)-f(x)=lim(h-0)f(x)-f(x+h)=0我发觉你的问题跟很多初学高数的同学一样，第一章的极限没有学懂，或者自以为明白了，其实基本概念是一团糟的，这种情况非常普遍。极限理论是整个微积分的基石，后面所有的理论都离不开它

26、，这里学不透彻，后面的困难会越来越大。建议你重新认真的把极限那一部分学一遍。概念什么的搞透彻。高数也好，数分也好，不下苦工是不行的。看在你问问题很虚心的角度，多给你说这么几句话，希望对你有所帮助。提问者评价 谢谢 我会好好复习极限的 ！没分了 只加了15分 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）当然不想等了，这里就是最朴素的相等关系，1不等于2是一个意思。但是我怀疑你是不是想说前面有个lim(h-0)，如果这样，当f和f都是连续的前提下就有：lim(h-0)f(x+h)-f(x)=lim(h-0)f(x)-f（x+h）有没有取过极限，以及对哪个变量取极限是本质性的问题，不可以想当然

27、。楼上的朋友回答之中有不少错误，有些问题是小节可以忽略，但是有的错误是很严重的，比如：“在h-0的时候 f(x)=f(x+h) 这是相等的”这里他假设了二阶导数f(x)在x这点是连续的，而且他这句话就是f连续的数学表达式。题目只说f(x)是存在的，没有涉及连续性，这里我们只可以知道一阶导数f是连续的，f的连续性是没有的。追问 打错了 是 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）不好意思 麻烦再回答一下 给你追加分数 谢谢了回答 打不打错都没有关系，如果你真理解了我上面写的内容，就不会再来问了。那我反问你一句，任意给你一个函数g(x)，g(x)和-g(x)什么关系，当然是相加等于零，或

28、者固定x来看是互为相反数的关系。那么你自己说 f(x+h)-f(x) 和 f(x)-f（x+h）什么关系，不能学了点高数就开始怀疑初等数学的东西了。这里面没有矛盾。但是我上面也解释了，这个问题如果是考虑lim(h-0)的运算的情形下就可以有新的结论。注意lim(h-0)是一个运算，加与不加完全是两回事！又因为这里f是连续的，注意连续性是核心条件，所以才有：lim(h-0)f(x+h)-f(x)=lim(h-0)f(x)-f(x+h)=0我发觉你的问题跟很多初学高数的同学一样，第一章的极限没有学懂，或者自以为明白了，其实基本概念是一团糟的，这种情况非常普遍。极限理论是整个微积分的基石，后面所有的理论都离不开它，这里学不透彻，后面的困难会越来越大。建议你重新认真的把极限那一部分学一遍。概念什么的搞透彻。高数也好，数分也好，不下苦工是不行的。看在你问问题很虚心的角度，多给你说这么几句话，希望对你有所帮助。提问者评价 谢谢 我会好好复习极限的 ！没分了 只加了15分希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、世事忙忙如水流，休将名利挂心头。粗茶淡饭随缘过，富贵荣华莫强求。2、“我欲”是贫穷的标志。事能常足，心常惬，人到无求品自高。3、人生至恶是善谈人过；人生至愚恶闻己过。