圆的面积公式探索.docx

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圆的面积公式探索

数学有形思想无痕

——圆的面积公式的探索

董文华

一、在折剪中悟“极限”

师：

在前几节课的学习中，我们知道了圆是最美丽的平面图形。

现在我们举行一个“小巧手”比赛，每小组都备有纸和剪刀，想办法剪一个圆，比一比谁剪的最漂亮？

（小组活动后交流）

小组1：

（举起两个纸片）我们小组先是随意剪，怎么也剪不圆。

对折一次再剪，剪了半圈，这次剪得好多了，但是仍不太圆。

小组2：

我们小组把纸对折了两次，剪了圆弧的四分之一，剪起来比较接近圆。

小组3：

（举着剪好的像花瓣一样的纸片）我们小组遇到了麻烦，把纸对折三次，剪了一刀展开后像一朵花一样。

师：

其他小组有没有这种情况？

小组4：

我们小组刚开始也出现了这些问题，试了几次后发现了窍门，纸片折好后应该尽量剪直线，这样才能避免剪出花瓣形状。

师：

这个发现很重要，大家可以再尝试着剪一剪。

（学生再次尝试，不断发出惊喜的声音。

每个小组纷纷把最得意的作品展示在黑板上。

）

.

师：

想一想，圆是个曲线图形，为什么要“直着剪”展

开后才会更圆？

学生1：

受刘徽的“割圆术”的启示，正多边形最接近圆，

“直着剪”其实就是剪了一个圆内的正多边形。

学生2：

剪的时候，要尽量的多对折，剪出的边越多越接

近圆。

师：

认真观察黑板上我们的作品，你有什么发现？

学生1：

我们刚才剪“圆”时，对折时留下了许多折痕，

其实就是圆的半径，和圆弧围成了许多近似的小三角形，折的次数越多的作品越接近三角形。

学生2：

圆其实可以看成是由一些近似的等腰三角形组成

的。

二、在探究中巧“转化”

师：

如何求圆的面积？

能不能像推导三角形、平行四边

形的面积公式那样推导出圆的面积计算公式？

（小组活动后交流）

小组1：

我们把圆对折三次平均分成

8个小三角形，三角

1

r，推出

形的底是圆周长的8，三角形的高也就是圆的半径

1

圆的面积公式：

8×2∏r×r÷2×8＝∏r2；

小组2：

折的次数越多分的份数就越多，我们可以这样想

像分成了x个小三角形，就可以推出圆的面积公式：

1

×2

X

.

∏r×r÷2×X＝∏r2；

小组3：

我们小组想到了三角形的面积公式推导过程，把

圆剪成8个小三角形一正一倒反插在一起，拼成了一个近似

平行四边形。

拼成的平行四边形的面积和原来的圆的面积是

相等的，平行四边形的底等于圆周长的一半，平行四边形的

高等于圆的半径，平行四边形的面积等于底乘高，圆面积公

1

式等于2×2∏r×r＝∏r2。

小组4：

如果分的份数越多比如16份、32份，拼成的图

形越接近于长方形，根据长方形的长、宽与圆的关系，也能

1

得出圆的面积公式2×2∏r×r＝∏r2。

师生共同完成板书：

S＝∏r2

【我的思考】圆的面积公式推导与以前学过的平面图形

的面积公式推导有质的区别，学生在已有的学习经验基础上

建构这一知识是有难度的，如何建立圆这个曲边图形和直线

图形之间的转化是教学的突破口。

本环节中借助“剪纸”这

一学生喜闻乐见的活动，在剪圆的过程中思考“如何剪得

更圆”、“为什么我剪出的圆象花瓣”、“为什么要直着剪”，

学生带着问题尝试和探索，联想到刘徽的“割圆术”，思维

步步逼近，逐步达成共识：

对折的次数越多，剪的越直，越

接近圆。

此时，在学生的头脑中圆已经化身为一个正多边形。

圆与直线型图形之间的转化、极限的思想是在学生看得见，

.

摸得着的学习过程中感悟出来的，分散了教学难点，面积公

式的推导也就顺理成章了。

特级教师钱阳辉说过：

如果知识后面没有方法，知识只

能成为一种负担，如果方法背后没有思想，方法只不过是一

种笨拙的工具。

在上面的教学过程中，比得到一个公式更为

重要的东西，那就是数学思想的熏陶，这才是数学的精髓，

花再多的时间也是值得的。

（作者单位：

鹤壁市山城区实验小学）

“接受”与“探究”同样精彩

三门峡市实验小学周国一

案例：

师：

圆的面积公式怎样推导？

是不是也可以像平行四边

形、三角形、梯形一样可以转化成其它已学过的平面图形

呢？

生：

可以把圆转化成长方形来推导面积公式。

师：

好，请同学们动手试一试。

（几分钟过去了，无人转化成功，学生很茫然）

生：

圆是曲线围成的，圆不可能转化成长方形。

（一语激起千层浪，大多数同学赞同这一说法，部分学

.

生否认）

师：

从表面上看，曲线的圆是无法转化成有线段围成的长方形的。

但是，我们古代的科学家经过不懈的努力，却转化成功了。

同学们想知道古人是怎样转化的吗？

生（迫不及待）：

想。

师：

请同学们认真观察多媒体课件演示，看看圆是如何转化成直线图形的。

（电脑直观演示：

先把圆等分成12份，然后剪开，接着拼接成近似的平行四边形）

生：

不是长方形，是不标准的平行四边形。

（电脑演示：

把圆等分成16份后拼接，接着是等分成

32份、64份、）

师：

如果一直这样无限地等分下去，结果将会怎样？

生：

圆平均分的份数越多，每一份就越小，拼成的图形

就越接近长方形。

师：

同学们，刚才电脑演示的圆的转化方式叫“割圆术”，公元3世纪，我国数学家刘徽采用“割圆术”推算出了圆周

率。

这种以直代曲，用有限逼近无限的数学思想为我国古代

数学家首创

（师生共同总结：

圆面积=转化后长方形面积=长×宽=

1

c×r=

1

×2πr×r＝πr2）

2

2

师：

同学们猜想一下，我们还能把圆转化成哪些平面图

.

形？

生：

转化成近似的等腰三角形。

生：

转化成近似的等腰梯形。

师：

请同学们4人一组合作探究，把圆转化成其中的任意一种图形，推导出圆面积的计算公式。

看谁能探究出与众不同的圆面积推导过程。

结果：

学生4人一组进行探究，探究结果如下：

小组1：

把圆16等分后拼接成近似的等腰三角形，得出

1

三角形的底相当于圆周长的4，高相当于圆半径的4倍，所

以圆面积=三角形面积=

1

1

1

2

×底×高=2

×4

×2πr×4r=π

r2

小组2：

把圆等分后，拼成近似的等腰梯形，得出梯形

上底与下底的和就是圆周长的一半，高等于圆半径的

2倍，

1

1

所以圆面积=梯形面积=2

×（上底+下底）×高=2

×πr×

2r=πr2。

小组3：

把圆平均分成

16份，得出一份即一个小三角形

1

所占的面积就是整个圆面积的16，小三角形的底相当于圆

的周长的

1

，高相当于圆的半径，所以圆面积

=一个小三

16

.

角形的面积×16=

1

1

1

2

（底×高）×16=2

×（2πr×

16

×r）

×16=πr2。

最后师生归纳总结：

S=πr2。

反思：

本片段教学中，我根据学生的年龄特征，组织了有意义的接受学习和探究活动。

我首先让学生动手操作，当学生积极探究后仍无法转化成功时，再运用多媒体课件边演示边讲授。

此时，学生的注意力高度集中，思维也极其活跃，这时的接受学习就显得非常必要和有效。

接着，在接受学习的基础上，学生通过猜想、小组合作探究，把圆转化成近似的梯形或三角形，进一步验证了圆的面积公式。

圆的面积公式是

刻板的，而公式推导的再创造过程却是鲜活、生动而有趣的。

在推导过程中，学生最大限度地投入到观察、思考、操作、探究活动中，亲历“做数学”的过程，体验到成功喜悦。

学习如同“探路”，在达到目标的过程中，数学上的规定性、陈述性、事实性知识等如同“路标”需要学生接受，数学上的实验、尝试、推测、思考、发现等如同“行走方式”需要学生探究，但有时也需要接受与探究交叉进行。

不管采用什么方法，只要能根据教学特点和实际需要合理运用，教学效果一样精彩！

2009年4月29日发表于《教育时报》

国内统一刊号：

CN41-0026

.

“曲直”转化显奇葩

——圆的面积公式探索

刘荣霞

一、开门见山提问题

师：

同学们，前几节课我们学习了圆的有关知识，这节课我们来探索圆的面积。

请大家思考一下，我们可以用哪些方法求解圆的面积呢？

（学生思考交流）

生1：

可以在圆的边外面画一个正方形。

先求出正方形的面积，然后再把多出来的部分减去就得到了圆形的面积。

生2：

有问题。

多出来的部分面积怎么算？

是不是可以把正方形画在里面呢?

（生挠挠头说：

“好像也不太行”。

）

师：

你们想通过正方形解决圆的面积，非常了不起。

你们可以再找找有没有比正方形更接近圆面积的图形。

生3：

在圆上画方格，数数有多少个方格，就可能会知道圆的面积有多大了。

师：

想法很独特，想到了求图形面积要用到面积单位。

一会可以尝试一下。

生4：

（手中拿着一个圆边折叠边讲解）把圆形多折叠几

次，变成一个一个的小三角形，先求出每个小三角形的面积，再乘三角形的个数，也可以得到圆形的面积。

师：

为什么要多折几次呢？

生4：

折的次数越多，折出来的形状越像三角形。

.

师：

这是数学上的逼近思想！

生5：

我们学过长方形、正方形、三角形、梯形和平行四边行面积的求解方法，要是把圆形变成这几种图形就好了。

师：

（鼓掌）大家大发言太精彩了，每个人的眼界顿时开阔了起来。

知道吗，在你们提出策略中，就有数学家用到的“转化”和“极限”的思想方法。

（板书）下面，请有共同想法的同学相互合作，探索圆的面积。

如有什么困难，可以和我交流，咱们共同解决。

二、动手操作探真知

师：

哪个小组愿意把你们探索结果与大家共享。

生1：

我们组用了数格子的方法。

只能得出圆的大概面积，不能得到准确的结果，因为圆上的格子不一定都是正方形的，有些地方没有办法知道准确的面积。

生2：

我们借鉴了转化的方法。

把圆平均分成8份，拼

成了一个近似的平行四边形。

平行四边形的底是圆周长的一半，平行四边形的高是圆的半

径，因此，S平=2∏r/2×r=∏r2（生板书）圆的面积公式：

2∏r/2×r=∏r2

生3：

把圆对折4次平均分成16份，每一份看成是一个三角形。

三角形的底是圆周长的1/16，就是2∏r/16，三角形的高也就是圆的半径r，一个三角形的面积是：

2∏r/16×

.

r÷2；三角形的总面积等于圆形的面积。

由此推出圆的面积公式：

2∏r/16×r÷2×16＝∏r2；

生4：

我们组把圆变化成了一个三角形。

（指着拼好的三

角形图）这个三角形的底是圆周长的1/4，高是4r，三角形

的面积：

2∏r/4×4r÷2那么圆形的面积=2∏r/4×4r÷2=

∏r2

生5：

圆形也可以剪拼成梯形