鸡兔同笼问题.docx

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鸡兔同笼问题

鸡兔同笼问题（假设法）（第一讲）

我国古代数学名著《孙子算经》中有这样的一道应用题：

今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各有几何意思是说:

鸡和兔同关在一个笼子里，已知鸡与兔共有35只，鸡脚与兔脚共有94只，问鸡、兔各有多少只

这就是著名的鸡兔同笼问题。

怎样解决这个问题呢我们通常把题中相当于“鸡”和“兔”的两种量，全部假设看作“鸡”或“兔”，然后找出与实际数量的差，由此求出“鸡”或“兔”，这种解决问题的方法就是假设法。

鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置出来。

解鸡兔同笼问题的基本关系式是：

　　解法1：

鸡的只数=（每只兔脚数×兔总数－实际脚数）÷（每只兔子脚数－每只鸡的脚数）兔的只数=总只数－鸡的只数

解法2：

兔的只数=（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）鸡的只数=总只数－兔的只数

例1、鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只

　　分析：

假设46只都是兔，一共应有4×46=184只脚，这和已知的128只脚相比多了184-128=56只脚。

如果用一只鸡来置换一只兔，就要减少4-2=2（只）脚。

那么，46只兔里应该换进几只鸡才能使56只脚的差数就没有了呢显然，56÷2=28，只要用28只鸡去置换28只兔就行了。

所以，鸡的只数就是28，兔的只数是46－28=18。

例2、小梅数她家的鸡与兔，数头有16个，数脚有44只。

问：

小梅家的鸡与兔各有多少只

分析：

假设16只都是鸡，那么就应该有2×16＝32（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况多了44-32＝12（只）脚，出现这种情况的原因是把兔当作鸡了。

因此只要算出12里面有几个2，就可以求出兔的只数。

解：

有兔（44-2×16）÷（4-2）=6（只），有鸡16-6＝10（只）。

答：

有6只兔，10只鸡。

我们也可以假设16只都是兔子，那么就应该有4×16＝64（只）脚，但实际上有44只脚，比假设的情况少了64－44＝20（只）脚，这是因为把鸡当作兔了。

因此只要算出20里面有几个2，就可以求出鸡的只数。

有鸡（4×16-44）÷（4-2）=10（只），有兔16—10＝6（只）。

　※、鸡、兔共有头100个，脚350只，鸡、兔各有多少只

※、鸡兔同笼,共有头100个,足316只,那么鸡有多少只兔有多少只

※、鸡兔同笼，共有30个头，88只脚。

笼子中鸡、兔各有多少只

※、鸡与兔共40只，鸡的脚数与兔的脚数共有90只。

问鸡、兔各多少只

※、在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只

※、动物园里有一群鸵鸟和长颈鹿，它们共有30只眼睛和44只脚，问鸵鸟和长颈鹿各有多少只

※、现在有大小油桶50个，每个大桶可装油4千克，每个小桶可装油2千克，大桶比小桶共多装油20千克，问大、小油桶各多少个

※、大油瓶一瓶装4千克,小油瓶2瓶装1千克。

现有100千克油装了共60个瓶子.问大、小油瓶各多少个

※、面值为5角和8角的邮票共30张，总价值18元，那么面值为5角的邮票有多少张。

※、30枚硬币,由2角和5角组成,共值9元9角,2角硬币有多少个5角有多少个

※、某人领得工资240元,有2元,5元,10元三种人民币共50张,其中2元和5元的张数一样多,那么10元的有多少张

※、买一些4分与8分的邮票共花6元8角,已知8分的邮票比4分的多40张,那么8分的邮票有多少张

※、小华买了2元和5元的纪念邮票一共34枚，用去98元钱。

小华买了2元和5元的纪念邮票各多少枚

※、四（6）班42个同学向2008年北京奥运会捐款。

其中12人每人捐2元，其余同学每人捐5元或10元，一共捐了229元。

求捐5元和10元的同学各有多少人

※、小强爱好集邮,他用1元钱买了4分和8分的两种邮票,共20张.那么他买了4分邮票多少张

鸡兔同笼问题（假设法）（第二讲）

例3、100个和尚140个馍，大和尚1人吃3个馍，小和尚1人吃1个馍。

问：

大、小和尚

各有多少人

分析：

本题由中国古算名题“百僧分馍问题”演变而得。

如果将大和尚、小和尚分别看作鸡和兔，馍看作腿，那么就成了鸡兔同笼问题，可以用假设法来解。

假设100人全是大和尚，那么共需馍300个，比实际多300－140＝160（个）。

现在以小和尚去换大和尚，每换一个总人数不变，而馍就要减少3－1＝2（个），因为160÷2＝80，故小和尚有80人，大和尚有100－80＝20（人）。

同样，也可以假设100人都是小和尚。

※、100个馒头100个和尚吃,大和尚每人吃3个,小和尚3人吃一个,则大和尚有多少个小和尚有多少个

例4、乐乐百货商店委托搬运站运送500只花瓶，双方商定每只运费元，但如果发生损坏，那么每打破一只不仅不给运费，而且还要赔偿元，结果搬运站共得运费元。

问：

搬运过程中共打破了几只花瓶

分析：

假设500只花瓶在搬运过程中一只也没有打破，那么应得运费×500=120（元）。

实际上只得到元，少得=（元）。

搬运站每打破一只花瓶要损失＋＝（元）。

因此共打破花瓶÷＝3（只）。

解：

（×500－）÷（＋）＝3（只）。

答：

共打破3只花瓶。

※、有一辆货车运输2000只玻璃瓶，运费按到达时完好的瓶子数目计算,每只2角，如有破损,破损瓶子不给运费，还要每只赔偿1元。

结果得到运费元,问这次搬运中玻璃瓶破损了几只

※、运输队为商店运送花瓶500箱，每箱6个花瓶，已知每10个花瓶的运费元，损坏一个花瓶要赔偿成本元（这个花瓶的运费当然也得不到了）。

结果这个运输队共得到运费元。

问共损坏了多少个花瓶

※、工人运青瓷花瓶250个,规定完整运一个到目的地给运费20元,损坏一个倒赔100元，运完这批花瓶后，工人共得4400元,则损坏了多少只

※、灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。

每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。

某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格

※、运输衬衫400箱，规定每箱运费30元，若损失一箱，不但不给运费，并要赔偿100元。

运后运费为8880元，损失了几箱

例题5、某学校举行数学竞赛，每做对一题得9分，做错一题倒扣3分。

共有12道题，王刚得了84分。

王刚做错了几题

思路导航：

假设全做对，应得9×12=108分，现在少了108－84=24分。

而做错一题，不但得不到9分，反而需要倒扣3分，相差了12分，所以错了24÷12=2题。

※、某次数学竞赛共20道题，评分标准是：

每做对一题得5分，每做错或不做一题扣1分。

小华参加了这次竞赛，得了64分。

问：

小华做对几道题

※、某次数学测验共20题,做对一题得5分,做错一题倒扣1分，不做得0分。

小华得了76分，问他做对几题

※、《希望月报》编辑部组织了一次“迎奥运，爱我中华”知识抢答竞赛，比赛规定：

每位参赛选手起点都为100分，之后每答对一题加10分，每答错一题倒扣8分。

小音抢答了12道题，最后得分148分，请问小音答对了多少题

※、一次数学竞赛共20道题，每答对一道题得6分，每答错一道题倒扣4分。

小明答完了全部的题目却得了零分，那么他一共答错了多少道题

※、振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道试题。

做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。

小建得了60分，那么他做对了几道题

※、小毛参加数学竞赛,共做20道题,得64分,已知做对一道得5分,不做得0分,错一题扣2分,又知道他做错的题和没做的一样多。

问小毛做对几道题

※、开心辞典智力竞赛中，开心队抢答了10道题，如果以100分开始算分，答对一题加10分，答错一题减10分，最后开心队得了140分，开心队答错了几题

※、一张数学试卷，共有25道选择题，做对一题得4分，做错一题扣1分。

如不做，不得分也不扣分。

若某同学得了78分，那么，他做对了多少题做错多少题不做多少题

※、某次数学考试考五道题，全班52人参加，共做对181道题，已知每人至少做对1道题，做对1道的有7人，5道全对的有6人，做对2道和3道的人数一样多，那么做对4道的人数有多少人

※、有两次自然测验，第一次24道题，答对1题得5分，答错（包含不答）1题倒扣1分；第二次15道题，答对1题8分，答错或不答1题倒扣2分，小明两次测验共答对30道题，但第一次测验得分比第二次测验得分多10分，问小明两次测验各得多少分

鸡兔同笼问题（假设法）（第三讲）

例6、刘老师带了41名同学去北海公园划船，共租了10条船，每条大船坐6人，每条小船坐4人，问大船、小船各租几条

　　分析：

假设租的10条船都是大船，那么船上应该坐6×10=60（人）。

假设后的总人数比实际人数多了60－（41+1）=18（人），多的原因是把小船坐的4人都假设成坐6人。

③一条小船当成大船多出2人，多出的18人是把18÷2=9（条）小船当成大船。

※、三年级老师和同学223人去春游，共乘8辆车，其中每辆大巴坐35人，中巴坐16人。

问大巴、中巴各多少辆

※、全班46人去划船，共乘12条船。

其中大船每船坐5人，小船每船坐3人。

问大、小船各有几条

※、某校现有12间宿舍，住着80个学生（正好住满）。

宿舍的大小有三种：

大号房间住8个学生，中号房间住7个学生，小号房间住5个学生。

其中中号房间的宿舍最多，问中号房间的宿舍有几间

例7、彩色文化用品每套19元，普通文化用品每套11元，这两种文化用品共买了16套，用钱280元。

问：

两种文化用品各买了多少套

分析：

假设买了16套彩色文化用品，则共需19×16＝304（元），比实际多304－280＝24（元），现在用普通文化用品去换彩色文化用品，每换一套少用19－11＝8（元），所以买普通文化用品24÷8=3（套），买彩色文化用品16－3＝13（套）。

※、小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。

贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。

问：

贺年卡、明信片各买了几张

※、红铅笔每支元，蓝铅笔每支元，两种铅笔共买了16支，花了元。

问红、蓝铅笔各买几支

※、学校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120个学生进行活动。

问：

象棋与跳棋各有多少副

※、某玩具店新购进飞机和汽车模型30个，其中飞机模型每个有3个轮子，汽车模型每个有4个轮子，这些玩具模型车共有110个轮子，那么新购进的飞机模型有多少辆

※、在一个停车场上，停放的车辆（汽车和三轮摩托车）总数恰好是24。

其中每辆汽车有4个轮子，每辆摩托车有3个轮子。

这些车共有86个轮子。

那么，三轮摩托车有多少辆

※、100名学生参加社会实践，高年级学生2人一组，低年级学生3人一组，共有41组。

高、低年级学生各有多少人

※、老师和学生一共44人参加义务植树活动。

老师每人植5棵，学生每人植2棵，正好一共植了100棵。

参加植树的老师和学生各有多少人

※、滨湖小学的教师和学生共100人去植树。

教师每人栽3棵树，学生平均每3个人栽一棵树，一共栽100棵，问教师和学生各有多少人

※、有钢笔和铅笔共27盒,共计300支。

钢笔每盒10支,铅笔每盒12支,则钢笔有多少盒,铅笔有多少盒

※、松鼠妈妈采松球，晴天每天可以采20个，雨天每天只能采12个，它一连几天才了112个松球，平均每天14个。

问这些天当中有几天是雨天

※、松鼠妈妈采松子，晴天每天可采16个，雨天每天可采11个，一连采了若干天，有晴天，也有雨天，其中雨天比晴天多3天，但采的个数却比晴天采的个数少27个，问一共采了多少天

※、学校购买每支价格为4角和8角两种铅笔。

共花了68元。

已知8角一支的铅笔比4角一支的铅笔多40支，那么，两种铅笔各买了多少支

※、学生买回4个篮球5个排球一共用185元,一个篮球比一个排球贵8元,篮球的单价是多少元

※、班主任张老师带五年级

（2）班50名同学栽树,张老师一人栽5棵,男生一人栽3棵,女生一人栽2棵,总共栽树120棵,问几名男生，几名女生

鸡兔同笼问题（假设法）（第四讲）

例8、有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对（蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀），求蜻蜓有多少只

　　分析：

这是在鸡兔同笼基础上发展变化的问题.观察数字特点，蜻蜓、蝉都是6条腿，只有蜘蛛8条腿。

因此，可先从腿数入手，求出蜘蛛的只数.我们假设三种动物都是6条腿，则总腿数为6×18=108（条），所差118－108=10（条），必然是由于少算了蜘蛛的腿数而造成的.所以，应有（118-108）÷（8-6）=5（只）蜘蛛。

这样剩下的18－5=13（只）便是蜻蜓和蝉的只数，再从翅膀数入手，假设13只都是蝉，则总翅膀数1×13=13（对），比实际数少20-13＝7（对），这是由于蜻蜓有两对翅膀，而我们只按一对翅膀计算所差，这样蜻蜓只数可求7÷（2-1）=7（只）.

※、蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀。

现有三种小虫共36只，有236条腿和40对翅膀。

问：

每种小虫各有几只

※、大院里养了三种动物，每只小山羊戴着3个铃铛，每只狮子狗戴着一个铃铛，大白鹅不戴铃铛。

小明数了数，一共9个脑袋、28条腿、11个铃铛，三种动物各有多少只

※、王老师用了117元买了18本书，其中科技书和故事书共17本，字典一本（一本字典17元）。

已知科技书每本8元，故事书每本4元。

问科技书、故事书各买了多少本

※、某工厂共有27位师傅带40名徒弟。

每位师傅可以带一名徒弟、两名徒弟或三名徒弟。

如果带一名徒弟的师傅人数是其他师傅（即带两名和三名徒弟的师傅）人数的两倍，请问带两名徒弟的师傅有多少人

※、甲乙两人射击,若命中,甲得4分,乙得5分;若不中,甲失2分,乙失3分,每人各射10发,共命中14发,结算分数时,甲比乙多10分,问甲、乙各中几发

例9、一批钢材，用小卡车装载要45辆，用大卡车装载只要36辆。

已知每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，那么这批钢材有多少吨

分析：

要算出这批钢材有多少吨，需要知道每辆大卡车或小卡车能装多少吨。

利用假设法，假设只用36辆小卡车来装载这批钢材，因为每辆大卡车比每辆小卡车多装4吨，所以要剩下4×36=144（吨）。

根据条件，要装完这144吨钢材还需要45-36=9（辆）小卡车。

这样每辆小卡车能装144÷9＝16（吨）。

由此可求出这批钢材有多少吨。

解：

4×36÷（45-36）×45＝720（吨）。

答：

这批钢材有720吨。

※、有一批水果，用大筐80只可装运完，用小筐120只也可装运完。

已知每只大筐比每只小筐多装运20千克，那么这批水果有多少千克

※、某校有100名学生参加数学竞赛,平均分是63分，其中男生平均分是60分，女生平均分是70分,男同学比女同学多多少人

※、自行车越野赛全程220千米，全程被分为20个路段，其中一部分路段长14千米，其余的长9千米．问：

长9千米的路段有多少个

例10、小乐与小喜一起跳绳，小喜先跳了2分钟，然后两人各跳了3分钟，一共跳了780下。

已知小喜比小乐每分钟多跳12下，那么小喜比小乐共多跳了多少下

分析与解：

利用假设法，假设小喜的跳绳速度减少到与小乐一样，那么两人跳的总数减少了12×（2＋3）＝60（下）。

可求出小乐每分钟跳（780－60）÷（2＋3＋3）＝90（下），小乐一共跳了90×3=270（下），因此小喜比小乐共多跳780－270×2＝240（下）。

※、甲乙两个工程队共同修筑一段长4200米的公路，乙工程队每天比甲工程队多修100米。

现由甲工程队先修3天，余下的路段由甲、乙两队合修，正好花6天时间修完。

问：

甲、乙两个工程队每天各修路多少米

※、古诗中，五言绝句是四句诗,每句都是五个字；七言绝句是四句诗，每句都是七个字。

有一诗选集,其中五言绝句比七言绝句多13首，总字数却反而少了20个字.问两种诗各多少首

※、小宇去游山，他从东坡上山，每小时行2千米，到山顶上玩1个小时，又从西坡下山，每小时行3千米，全程共行19千米，共用9小时，求上山、下山的路各几千米

鸡兔同笼问题（假设法）（第五讲）

例11、鸡、兔共100只，鸡脚比兔脚多20只。

问：

鸡、兔各多少只

分析：

假设100只都是鸡，没有兔，那么就有鸡脚200只，而兔的脚数为零。

这样鸡脚比兔脚多200只，而实际上只多20只，这说明假设的鸡脚比兔脚多的数比实际上多200－20=180（只）。

现在以兔换鸡，每换一只，鸡脚减少2只，兔脚增加4只，即鸡脚比兔脚多的脚数中就会减少4＋2＝6（只），而180÷6＝30，因此有兔子30只，鸡100－30＝70（只）。

解：

有兔（2×100－20）÷（2＋4）＝30（只），有鸡100－30=70（只）。

※、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只

※、龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。

问：

龟、鹤各几只

※、鸡与兔共有100只，鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只

例12、鸡兔共200只,鸡的脚比兔的脚少56只,则鸡有几只,兔有几只

分析：

如果200只都是兔，兔脚：

200×4=800只，鸡脚：

0只，鸡脚比兔脚少：

800只，把1只兔换成鸡，兔脚减少4只，鸡脚增加2只，鸡脚与兔脚的差,减少：

4+2=6只，一共需要减少：

800-56=744只，鸡：

744÷6=124只，兔：

200-124=76只。

※、鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28。

问鸡与兔各几只

※、在一棵松树上有百灵鸟和松鼠共15只，松鼠比百灵鸟少24条腿，百灵鸟和松鼠各有多少只

例13、鸡、兔共笼，鸡比兔多30只，一共有脚168只，鸡、兔各多少只

思路：

因为鸡比兔多30只，则可以把30只鸡的脚从总数中去掉，剩下的鸡兔就同样多了。

每一对鸡和兔共4＋2=6只脚，用6去除剩下的鸡兔总脚数，就可求出兔的只数。

兔的只数：

（168－2×30）÷（4＋2）=18只；鸡的只数：

18＋30=48只。

※、鸡兔共笼，鸡比兔多25只，一共有脚170只。

鸡、兔各几只

※、鸡、兔同笼，鸡比兔多26只，足数共274只，问鸡、兔各几只

※、鸡兔同笼,共有足248只,兔比鸡少52只,那么兔有多少只,鸡有多少只

例14、水果糖的块数是巧克力糖的3倍，如果小红每天吃2块水果糖，1块巧克力糖，若干天后，水果糖还剩下7块，巧克力糖正好吃完。

原来水果糖有几块

思路：

水果糖的块数是巧克力糖的3倍，如果小红每天吃1块巧克力糖，3块水果糖，几天后，两种糖同时吃完。

现在小红每天吃2块水果糖，少吃3－2=1块，若干天后水果糖还剩下7块。

所以共吃了7÷（3－2）=7天，水果糖有2×7＋7=21块。

※、某商店有些红气球和黄气球，红气球的只数是黄气球的4倍。

每天卖出2只红气球和1只黄气球，若干天后，红气球剩下12只，黄气球刚好卖完。

红气球原来有多少只

例15、鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚92只。

问：

鸡、兔各几只

思路：

一只鸡换成一只兔子,增加两只脚,一只兔子换成一只鸡,减少两只脚，中间有抵消,最后少了100-92=8只脚,证明兔子比鸡多8÷2=4只，去掉这4只兔子,也就是92-4×2=84只脚.剩下的兔子和鸡一样多,有84只脚，所以鸡有84÷（4+2）=14只,兔子有14+4=18只。

或：

鸡兔一共有：

（100+92）÷（4+2）=32只，如果这32只都是兔,有脚：

32×4=128只，多了：

128-100=28只,每只鸡比兔的脚少:

4-2=2只,鸡有：

28÷2=14只,兔有：

32-14=18只。

※、鸡兔共有110只脚，若鸡数和兔数互换，则有脚100只，鸡和兔各有多少只

※、鸡、兔共有脚100只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚86只．问：

鸡、兔各有几只

※、鸡和兔共有脚190只，若将鸡的数量和兔的数量互换，则共有脚140只。

问：

原来鸡和兔各有多少只

※、鸡兔共有脚92只，若将鸡换成兔，兔换成鸡，则共有脚100只，则鸡、兔各有多少只

例16、学校买来8张办公桌和6把椅子，共花去1650元。

每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍，每张办公桌和每把椅子各多少元

思路：

假设学校买的全部是办公桌，根据“每张办公桌的价钱是每把椅子的2倍”，则买6把椅子的价钱只能买6÷2=3张办公桌，那么1650元就相当于8＋3=11张办公桌的价钱。

所以，每张办公桌：

1650÷11=150元，每把椅子：

150÷2=75元。

※、一件工程，甲单独做12天完成，乙单独做18天完成，现在甲做了若干天后，再由乙接着单独做完余下的部分，这样前后共用了16天。

甲先做了多少天

※、一份稿件，甲单独打字需6小时完成，乙单独打字需10小时完成，现在甲单独打若干小时后，因有事由乙接着打完，共用了7小时。

甲打字用了多少小时