解不等式知识点题型详解.docx
《解不等式知识点题型详解.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《解不等式知识点题型详解.docx（42页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
解不等式知识点题型详解
不等式的解法
1、一元一次不等式axb
方法：
通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为
axb的形式，若a0,则
x-；若a0,a
I*
则x-；若a0,则当b0时，xR；当b0时，x。
a
21
33
解：
此时，因为a的符号不知道，所以要分:
由原不等式得ax>1,①当a=0时，
1
x>—,③当a<0时，
a
【例1-11
（1）ax
②当a>0时,
a=0,a>0,a<0这三种情况来讨论.
0>1.所以，此时不等式无解.
1
x<—
a
【例
1-21已知不等式（3a2b）x6（a
b）
0与不等式3（a2
a1）x
a2
0同解，解不等式
3（a
2b）x2（b
3a）
0。
解:
R,a2
0•••3（a2
1）xa2
0的解为x
•••（3a
2b）x
6（a
b）中（3a2b）
6（ab）
3a2b
由题意
6（ab）
3a2b
代入所求：
2bx6b
当一元一次不等式中未知数的系数是字母时，要分未知数的系数等于
•-3a
要注意：
况来讨论
2、一元二次不等式的解集（联系图象）。
尤其当0和0时的解集你会正确表示吗?
基本步骤：
1把二次项系数a化为正
2求对应的一元二次方程的根（先考虑十字相乘法，不能因式分解的再考虑用求根公式）
4b0
、【/一、
0、大于
0、小于0这三种情
a0,X1,X2是
③利用二次函数的图像（下图，三个“二”的关系）求出对应的解集，用集合或区间表示设
Q
方程axbxc0的两实根，且x1x2，则其解集如下表:
二次函数、方程
2
axbxc0
2
axbxc0
2
axbxc0
2
axbxc0
0
A
{x|xX1或
xX2}
{x|xX1或
xX2}
{X|X1XX2}
{X|X1XX2}
0
K
Xi=Tr工
{x|x—]
2a
R
{x|xb}
2a
x2-2x+1
x2-2x+3
.只不过
（1）2x2-3x-5>0;
（4）x2-2x+1>0;
解析：
（1）
（2）代表判别式大于
式分解求两根，
（2）就不容易用十字相乘法因式分解，此时需要用一元二次方程的求根公式或者配成完全
平方的形式来求两根.（3）（4）代表判别式等于0的一元二次不等式的题目.（5）（6）代表判别式小于0
的一元二次不等式的题目.
（1）因为对此不等式对应的一元二次方程2x2-3x-5=0因式分解得
⑵3x2-4x-10；（3）
⑸x2-2x+3>0；（6）
0的一元二次不等式的题目
0；
0.
（1）对应的一元二次方程容易因
所以该方程的两根为：
X1=5,或x2=-1.
2
又因为此不等式对应的一元二次函数y=2x2-3x-5的抛物线开口向上，
所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，
可以直接写出不等式2x2-3x-5>0的范围：
x>-，或x<-1;
2
（2）与上题解法类似.•••3x2-4x-1=0的判别式=42-43（-1）=28>0,
277十277
x1=,或x2=
33
（2x-5）（x+1）=0.
•••一元二次方程3x2-4x-1=0有两个不同的实数根为
X2=
•••此不等式中x的取值范围是
3
（3）•••x2-2x+1=0的判别式=0.
•-x2-2x+1=0有两个相等的实数根，所以，根据“大于在两边，小于在中间”不等式x2-2x+10中x的取值范围是
（4）与（3）类似分析，可知
x1=x2=1.
的原理，
1x1,即x=1；
不等式x2-2x+1>0中x的取值范围是x>1,或x<1,即x丰1；
（5）因为方程x2-2x+3=0的判别式<0.所以方程x2-2x+3=0没有实数根.此时，就不能根据“大于在两边，小于在中间”的原理了，
这时，可以用配成完全平方式的方法.
•/x2-2x+3=x2-2x+1+2=（X1）2+2>0,•••不等式x2-2x+3>0中x的取值范围是x€R；
（6）与（5）类似分析，可知不等式x2-2
【例2-2】解下列关于
x+30中x的取值范围是空集.x的不等式：
（1）x2（a1）xa
0;
（2）x2（aa2）xa30;（3）ax2ax10.
解析：
这是与一元
根的形式和不易（能）因式分解求根的形式再用解一元一
（二）次不等式的基本方法来做
（1）方法一：
因为本题容易因式分解，所以,
（一）二次不等式有关的含有参数的不等式题型，常考的有两种形式：
易因式分解求
.解这类题的关键是：
把参数a以正确的情况来分类讨论，然后
易知原不等式
（x
a）（x1）
当a
1时，x
1.
当a
1时，x
a,或x
1.
当a
1时，x
1,或x
a;
即（a1）24a0.a1.
这样a只能取一个值1,此时1把数轴分为三部分：
a1;a1;a1.
所以，我们就可以分这三种情况讨论了以下讨论的情况同方法
X2的系数含有参数.这说明对应
综合上述分析，我们应以X2的系数
.求出的参数a把数轴分为几部分，相应
（2）与⑴类似，两者都易因式分解求出对应方程的两根，所以,只要根据两根的大小关系来讨论即可.
原不等式
（X
a）（X
a2）
0.
当a
a2时，
即a
0,
或a
1时，
原不等式的解为：
X0,或X
当a2
a时,
即a
1,
或a
0时,
原不等式的解为：
2
aXa.
当a2
a时,
即0
a
1时，
原不等式的解为：
2
aXa;
1.
（3）式对应的方程不易因式分解求出根，判别式的符号不能确定，并且方程根的情况不能确定，该不等式也不一定为一元二次不等式为0以及判别式为0时，得出的参数a值作为讨论的依据的就分几种情况来讨论.
a0,或a4.
令X2的系数为0,即a0.再令判别式0,即a24a0
所以，求岀的a值一共有两个，这两个值把数轴分为五部分：
a0；a0；0a4;a4;a4.
由上面的分析，我们就容易知道讨论的依据了
0时，
原不等式10.
原不等式4X2
0时,
对应的一元二次函
所以，此时不等式的解集为空集.
1
2
0.
2
4x10（2x1）
当a
对应的一元二次方程的两根为:
数的图像开口向下，判
别式
xi
aJa24a,或X2
2a
所以，当a0时，原不等式的解为:
aJa24a
2a
aJa24a卡
X,或X
2a
且此时
X2
Xi.
a7a24a
2a
0,即对应的一元二次方程无根.
当0a4时，对应的一元二次函数的图像开口向上，判别式
所以，原不等式的解集为空集.
当a4时，对应的一元二次函数的图像开口向上，判别式0.此时，对应的一元二次方程的根仍为上面所求的两根.只不过X2X1.
所以，当a4时，原不等式的解为：
a"4aX
2a
aJa24a
2a
总结：
对于这种类型中易因式分解求出两根的题型，我们先因式分解求出两根，然后再以两根的大小来进行分类讨论；当不易因式分解求出两根时，我们应以X2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数a值作为讨论的依据.求出的参数a把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论，在每一种情况里就变成了解基本的不等式的题型.
注意：
每一种情况的内部既不能取交集，所有情况的结果也不能取并集，最终结果只能分类回答！
要与前面所讲述的题型中“一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集”的原则进行区别和联系.
3、简单的一元高次不等式的解法：
数轴穿根法：
将不等式右边化为0,左边分解成若干个一次因式或二次不可分因式的积把每个因式的最高次项系数化为正数.
将每个一次因式的根从小到大依次标在数轴上.
基本步骤：
⑴
⑵
⑶
⑷从右上方依次通过每个点画出曲线，遇到奇次因式的根对应的点，曲线穿过数轴;遇到偶次因式的根对应的点，曲线不穿过数轴，仍在数轴同侧迂回
⑸根据曲线就可以知道函数值符号变化规律.
【例3-1】解下列关于x的不等式：
.即规律“奇穿偶不穿”
（1（x1）（x2）（x3）0;
⑶（X3（x21）（x22x30;
⑵（2x1）（3x1）（4x
（4（x1）2（x1）（x2）
1）0；
0.
解析：
这种类型的不等式如果用上述的方法所以，常用数轴表根法（又称零点分段法）来做这类题.所谓数轴标根法，就是用一条曲线代替列表讨论，这条曲线虽不能准确表达出函数的图象，但能体现出函数值的符号变化规律.即：
曲线与x轴的交点将x轴分成若干区域，曲线在使函数值大于0;曲线在x轴下方所对应区间内的使函数值等于0.按照上述的方法，易解出以上各题
1,分类讨论可以做出来,
x值,
参考答案：
（1）x1,或2x3；
（2）x
但是比较复杂，而且易出现错误.
x轴上方所对应区间内的x值，
使函数值小于0;曲线与x轴的交点所对应的x值,
（3）x1,且x3;
4.分式不等式的解法：
一般不能去分母,基本步骤：
-,或
2
x1,且x
1.
（4）2
但分母恒为正或恒为负时可去分母。
标准化：
移项、通分使右边为0,
空0（或3<0）;
g（x）g（x）
f（x）
g（x）
>0（或丄（■勺<0）的形式,
g（x）
转化为整式不等式（组）
f（x）g（x）
f（x）g（x）0谓
（3）
【例
分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。
4-1】解下列关于x的不等式：
2x62x.
0;（3）1.
3x52x1
元一次不等式组或一元二次不等式来解
X10.X
或
x40x
从而再利用一元一次不等式组的解法得到原不等式中的
方法2:
原不等式等价于（x+1）（x4）>0.
从而再利用一元二次不等式的解法得到原不等式中的比较这两种方法，可以看出方法2运算的较快一点，
（2）与
（1）类似两种方法都可以用.只不过，要注意分母不能为
0
（1）亠0;
x4
解析：
这种题型的基本做法是化为
（2）
（1）方法1:
原不等式等价于
0
0'
x的范围为1x的范围为1而且不容易出错.
0.
现在只用方法2来解：
原式等价于（2x
6）（3x5）
3x50
5
因此，原不等式中的x的范围为-x
3
2）式的形式，
（3）首先要移项、通分，变为（注意：
因为分母的正负不知道，
原式等价于10.
2x1
总结：
这种题型要注意两点：
3；
然后再用做
的方法来做.
所以不能两边同时乘以分母!
2x2x11c
0.
2x12x1
（1）要注意分母不能为0.
2x
1
x—.
102
（2）当不等号后面是不为
2x
于未知数x的式子），并且分母的正负不知道时，不能不等式两边同时乘以分母，而只能移项、基本的形式来做.
0的式子（常数或关
通分，变为
【例5-1】解下列关于
（1）|2x-1|<5;
（4）|2x-1I0;
解析：
在形如|ax+
0）,
（1）
（2）代表常数的题型.
x的不等式：
（2）|2x-1|>11;
（5）|2x-1|<-1;
（3）|2x-1|>0;
（6）|2x-1|-1.
b|>c（或》c）以及|ax+b|等于0的题型;
（其中a,b,c为常数，且a丰
（5）（6）代表常数c小于0
⑴原不等式5
（2）原不等式2x
2x15.
111,或2x
111.
（3）方法一：
原不等式
2x10,
或2x1
0.
2x6,
x6,或x
x!
或
2
2
5；
丄
2
3；
方法二：
任何式子的绝对值恒大
于或等于0,
原不等式
2x1
0.即x
1
■
2；
0的解集为
2
【例4-2】关于x的不等式axb0的解集为（1,），则关于x的不等式竺b
x
5.含绝对值不等式的解法
题型一：
形如|axb
c与Iaxb|c型的不等式的解法.【公式法】
（4）与上题类似，两种方法都可以用.易得答案:
1
x-;
2
（5）（6）当绝对值后的常数小于0时，上述的两种方法也都可以用，但是比较而言，方法二较好
易得答案：
（5）不等式的解集为空集；（6）xR.
总结：
解这类绝对值不等式常用教材上给出的公式：
（1）当|x|（）3时，（注意：
教材中限制a0）x（）a或x（）a.
（2）当|x|（）a时,（注意：
教材中限制a0）a（）x（）a.
但是，我们要知道，当a<0,或a=0时，这两个公式也可以用.
一般地，当绝对值后的常数大于0时，用公式；当绝对值后的常数小于或等于0时，直接用“任何式
子的绝对值不小于0”来解更好.
【公式法】
题型二：
形如|f（x）|g（x）或|f（x）|g（x）
【例5-2】解下列关于x的不等式:
（1）|5x2|x3;
（2）I2x4|3x7;（3）
2
|4x9|8x3;（4）|x
2x2|1.
解析：
因为这种形式还是含有绝对值的不等式，
变成一元二次不等式组来解
所以仍然可以用思路
“讨论去绝对值”来解.对于题（4），
我们还可以用公式法去绝对值,
（1）当x2时，原不等式
5
x2时，原不等式
5
5x2x
（5x2）
以上两种情况取并集得
不等式的解为:
4x1x丄,取交集得
4
5,取交集得
6
1
■
I
4
（2）原不等式|2x
当x2时，2x4
4|
3x
3x
7.下面与上题类似讨论.
x11.取交集得：
原不等式的解集为空集.
x2时，（2x
4）
3x
7x-.取交集得:
5
以上两种情况取并集得
不等式的解为：
x2
5
当x9时,4x98x
4
3x3.x
9
当x一时，原不等式
4
（4x9）8x3
以上两种情况取并集知
此不等式的解为:
（4）本题除了用上述讨论去来做.现在给岀公式法的解答过程,
原不等式
1x22x
绝对值的方法外，还可
另一种解法读者
2
x
2
x
以用公式法去绝对值，变成一元二次不等式组可以自己试着做一做..
2x
2x
"，
或1J2x3.
1x
x1运或x
总结：
对于含有绝对值符号的题目，讨论去绝对值是一个基本的、重要的思路！
要注意：
一种情况内部取
交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是不等式的解集.当只含有一个绝对值符号的式子内是关于x
的一次或者二次的式子时，如果不等号后面的式子是常数，还可以用公式法去绝对值来解.
题型三：
形如c<|axb|【“零点分区间法”分类讨论、公式法】
【例5-3】解下列关于x的不等式：
（1）1解析：
中的知识点
|x2|4;
（2）3|2x3|5;（3）0|x6|9;（4）112x7|0.
这种类型的不等式基本的解法是化为上述最基本的绝对值不等式（组）
0
讨论去绝对值来解，则会有意想不到的收获.
0
|x|
x,x
x,x
（4）
方法一:
方法二:
|x
|x
当x20，即x
1x2.
原不等式
2|12|4
2时，原不等式
1,或x3
6x2
两者取交集得：
当x20,即x2时，原不等式4x
6x3.两者取交集得：
所以，上述两种结果取并集得不等式的解集为：
原不等式
原不等式
原不等式
来解，但是，如果用初
3,或1x2;
|2x3|5.
|x6|0
|x6|9
1x4;
x6
3x15
|2x7|
|2x7|0
xR
7x
2
1x2x|2x|x|
4.
1
1.
6
6
3.
3,或
15,且x
6；
，在去掉绝对值后，这样就可以变为最基本的题型来做了.要注意：
一种情况内部取交集，所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集.这类题中常考的是题
（1）的形式，对于这种形式的题目，还可以进一步简化解题步骤.如题
（1）还可以直接得出：
总结：
解与绝对值有关的题目的一个非常重要的思路是“讨论去绝对值”
24,
或4x211x2，或6x3.这样的解法更快更好！
题型四：
形如型的解法总结
|ax
（其中
b|±|cx+d|<（或=）e或|axb|±|cx+d|>（或=）e形式的绝对值（不）等式题a，b，c，d，e为常数，且a0,c0）
【根据绝对值的几何意义，或数形结合思想方法】
【例5-4】解下列关于X的（不）等式：
5
（4|x2||x|2.
.这种题型的基本解
（1）|x1||x1|2;（2|X1||x1|2;（3|2x1||x3|㊁；解析：
这是含有两个绝对值符号的（不）等式，并且（不）等号后面为常数的题型法有两种：
讨论去绝对值和利用绝对值的几何意义来解.
（1）方法一，分类讨论去绝对值:
当X1时，原式当1X1时，原式当X1时，原式（X以上三种情况取并集得
（X1）（x
（X1）
1）（X1）
：
x|1X
1）2.
（X1）2.
2.
1;
X1,两者取交集得原式的解
22,XR两者取交集得：
X1,两者取交集得：
x|x1.
集为空集.
x|1X1.方法二，利
用绝对值的几何意义：
|Xm|表示数轴上一点
如：
|x1|表示数轴上一点X离1的距离；|x
2|表示数轴上一点X离2的距离.
令绝对值符号内的式子这两个值把数轴分为三根据绝对值的几何意义所以，原方程的解为：
为0即X10,X
部分：
X1,1
，我们知道只有当
1X1.
0得两个值X1,x1.
1,X1.
X1时，才能满足原式.
对于
（2）（3）（4）这三题，以上两种方法都可以用，读者可以自己试着做一做
1
参考答案：
（2）X1;（3）X3,或X-；（4）X2.
2
0时，所得到的X值把数轴
.要注意：
一种情况内部取交集，把所有情况的结果取
总结：
在解这种题型时，分类讨论去绝对值的原则是：
令绝对值内的式子为分为几部分，与此相对应我们就分几种情况来讨论并集，最后得到的才是（不）等式的解集.
利用绝对值的几何意义来解这类题时，一定要牢记:
|xm|表示数轴上一点X离m的距离.
后是关于X的式子，而不是常数了.所以，解这种类型的题目,此时不易用绝对值的几何意义来解这类题了.
2
（1）当X2时，原不等式
3
当2X
3
（4x1）（3x2）
5x
6.
丄时，原不等式
4
（4x1）（3x
2）
5x
6.
X丄时，
4
由上述三种情况的结果取并集得此不等式的解集为空集;
原不等式（4x1）（3x2）5x
6.
—,取交集得空集.
12
X-,取交集得空集.
2
7,取交集得空集.
2
，相对要好一点.
比较这两种方法，我们可知：
禾U用绝对值的几何意义来解这类题
题型五：
形如|axb|±|cX+d|＜（或=）exf或|axb|±|cx+d|＞（或=）exf类型的绝对值
不等式题型解法总结（其中a，b，c，d，e，f为常数，且a，c，e0）.
【例5-5】解下列关于X的不等式：
（1）|4x1||3x2|5x6;
（2）|x|12x7|9x4;（3）|5x3||2x|x4.
解析：
这类题与上一类题的共同点在于：
都含有两个绝对值符号.不同之处在于：
这类题的（不）等号
仍然可以用分类讨论去绝对值的方法.但是,
对于
（2）（3）两题，利用同样的方法易做出
参考答案：
（2）X—；（3）x7，或x1.
842
总结：
这种类型的绝对值不等式的主要解法是分类讨论去绝对值的方法.这种方法也是解所有与绝对
值有关的题目的基本方法.同样，要注意：
一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是（不）等式的解集.
题型六、形如IIf（x）||g（x）|方法：
两边平方
【例5-6】若不等式|3x2||2xa|对xR恒成立，则实数a的取值范围为
6、含指数不等式:
方法①利用函数的单调性（1a0
logaa,0
loga1）②利用函数的图像
【例6】解下列关于x的不等式:
（1）2x>4；
（2）「
32x
⑶52x1=1；（4）4“X16；（5）52x1<7.
解析：
这是与指数函数有关的（不）式.
等式的题型.解决这类题的基本思路是：
把常数化成同底的指数形
（1）原不等式
2x22x2；
（2）解析
这是一个指数不等式,
基本解法是化为同底的指数形式，然后利用指数函数的单调性转
化为整式不等式
2
.原不等式即3（x
8）
32x，也就是x2-2x-8<0,解得-2
-2（3）原不等式
_2x1
5
50
2x
abN
logaN
alogaN
N（用这个公式可以把任意
常数化成a的次方形式）
原不等式
42.
2C
xx2,
1x2.
原不等式
u2x1
5
5log57.
2x1logs7,
abNblogaNa
logaN
N（用这个公式可以把任意
常数化成a的次方形式）
总结：
解与指数函数有关的
升级会员 