解不等式知识点题型详解.docx

1、解不等式知识点题型详解不等式的解法1、一元一次不等式 ax b方法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax b的形式，若a 0,则x -；若 a 0, aI*则x -；若a 0,则当b 0时，x R；当b 0时，x 。a2 13 3解：此时，因为a的符号不知道，所以要分: 由原不等式得a x 1,当a =0时，1x ,当a0时,a =0, a0, a 1.所以，此时不等式无解.1x0;(4) x2-2x+10 ;解析：(1)( 2)代表判别式大于式分解求两根，(2)就不容易用十字相乘法因式分解，此时需要用一元二次方程的求根公式或者配成完全平方的形式来求两根.(3)( 4)代表判别式

2、等于 0的一元二次不等式的题目.(5)( 6)代表判别式小于 0的一元二次不等式的题目.(1 )因为对此不等式对应的一元二次方程 2x2-3x-5=0因式分解得 3x2-4x-1 0； (3) x 2-2 x +30 ； (6)0的一元二次不等式的题目0；0.(1)对应的一元二次方程容易因所以该方程的两根为： X 1= 5 ,或x 2=-1.2又因为此不等式对应的一元二次函数 y=2x2-3x-5的抛物线开口向上，所以，根据“大于在两边，小于在中间”的原理，可以直接写出不等式 2x2-3 x-50的范围： x-，或x0,2 77 十 2 77x 1= ,或 x 2= 3 3(2 x -5)(

3、x+1)=0.一元二次方程 3x2-4 x-1=0有两个不同的实数根为X 2=此不等式中x的取值范围是3(3) x2-2 x+1=0 的判别式 =0.- x 2-2 x+1=0有两个相等的实数根， 所以，根据“大于在两边，小于在中间” 不等式x2-2 x+1 0中x的取值范围是(4 )与(3 )类似分析，可知x 1= x 2=1.的原理，1 x 1,即 x =1 ；不等式x 2-2 x +10中x的取值范围是x 1,或x 1,即x丰1 ；(5)因为方程x 2-2 x +3=0的判别式0, 不等式x 2-2 x +30中x的取值范围是 x R；(6 )与(5 )类似分析，可知 不等式x2-2【例

4、2-2】解下列关于x+3 0中x的取值范围是空集. x的不等式：(1) x2 (a 1)x a0; (2) x2 (a a2)x a3 0; (3) ax2 ax 1 0.解析：这是与一元根的形式和不易(能)因式分解求根的形式 再用解一元一(二)次不等式的基本方法来做(1)方法一：因为本题容易 因式分解，所以,(一)二次不等式有关的含有参数的不等式题型，常考的有两种形式：易因式分解求.解这类题的关键是：把参数 a以正确的情况来分类讨论，然后易知原不等式(xa)(x 1)当a1时，x1.当a1时，xa,或x1.当a1时，x1,或xa;即 (a 1)2 4a 0. a 1.这样a只能取一个值1,此

5、时1把数轴分为三部分： a 1; a 1; a 1.所以，我们就可以分这三种情况讨论了以下讨论的情况同方法X2的系数含有参数.这说明对应综合上述分析，我们应以X2的系数.求出的参数a把数轴分为几部分，相应(2)与类似，两者都易因式分 解求出对应方程的两根，所以, 只要根据两根的大小关系来讨论即可.原不等式(Xa)(Xa2)0.当aa2时，即a0,或a1时，原不等式的解为：X 0, 或 X当a2a时,即a1,或a0时,原不等式的解为：2a X a .当a2a时,即0a1时，原不等式的解为：2a X a;1.(3)式对应的方程不易因式分解求出根，判别式的符号不能确定，并且 方程根的情况不能确定，该

6、不等式也不一定为一元二次不等式 为0以及判别式为0时，得出的参数a值作为讨论的依据 的就分几种情况来讨论.a 0,或 a 4.令X2的系数为0,即a 0.再令判别式 0,即a2 4a 0所以，求岀的a值一共有两个，这两个 值把数轴分为五部分：a 0； a 0； 0 a 4; a 4; a 4.由上面的分析，我们就容易知道讨论的依据了0时，原不等式 1 0.原不等式 4X20时,对应的一元二次函所以，此时不等式的解集为空集.120.24x 1 0 (2x 1)当a对应的一元二次方程的两根为:数的图像开口向下，判别式xia Ja2 4a,或 X22a所以，当a 0时，原不等式的解为:a Ja2 4

7、a2aa J a2 4a 卡X ,或 X2a且此时X2Xi.a 7a2 4a2a0,即对应的一元二次方程 无根.当0 a 4时，对应的一元二次函 数的图像开口向上，判 别式所以，原不等式的解集 为空集.当a 4时，对应的一元二次函 数的图像开口向上，判 别式 0. 此时，对应的一元二次 方程的根仍为上面所求 的两根.只不过X2 X1.所以，当a 4时，原不等式的解为： a 4a X2aa Ja2 4a2a总结：对于这种类型中易因式分解求出两根的题型，我们先因式分解求出两根，然后再以两根的大小 来进行分类讨论；当不易因式分解求出两根时， 我们应以X2的系数为0以及判别式为0时，得出的参数a值 作

8、为讨论的依据.求出的参数a把数轴分为几部分，相应的就分几种情况来讨论，在每一种情况里就变成了 解基本的不等式的题型.注意：每一种情况的内部既不能取交集，所有情况的结果也不能取并集，最终结果只能分类回答！要 与前面所讲述的题型中“一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的才是(不)等式的 解集”的原则进行区别和联系 .3、简单的一元高次不等式的解法 ：数轴穿根法：将不等式右边化为0,左边分解成若干个一次因式或二次不可分因式的积 把每个因式的最高次项系数化为正数 .将每个一次因式的根从小到大依次标在数轴上 .基本步骤： 从右上方依次通过每个点画出曲线，遇到奇次因式的根对应的点，曲线穿过

9、数轴; 遇到偶次因式的根对应的点，曲线不穿过数轴，仍在数轴同侧迂回根据曲线就可以知道函数值符号变化规律 .【例3-1】解下列关于x的不等式：.即规律“奇穿偶不穿”(1(x 1)(x 2)(x 3) 0;(X 3(x2 1)(x2 2x 3 0;(2x 1)(3x 1)( 4x(4 (x 1)2(x 1)(x 2)1) 0；0.解析：这种类型的不等式如果用上述的方法 所以，常用数轴表根法(又称零点分段法)来做这类题. 所谓数轴标根法，就是用一条曲线代替列表讨论，这条曲线虽不能准确表达出函数的图象，但能体现出函 数值的符号变化规律.即：曲线与 x轴的交点将x轴分成若干区域，曲线在 使函数值大于0;

10、曲线在x轴下方所对应区间内的 使 函数值等于0.按照上述的方法，易解出以上各题1,分类讨论可以做出来,x值,参考答案：(1) x 1,或2 x 3；(2) x但是比较复杂，而且易出现错误.x轴上方所对应区间内的 x值，使函数值小于0 ;曲线与x轴的交点所对应的x值,(3) x 1,且x 3;4.分式不等式的解法：一般不能去分母, 基本步骤：-,或2x 1,且 x1.(4) 2但分母恒为正或恒为负时可去分母。标准化：移项、通分使右边为0,空0(或3 0(或丄(勺0.从而再利用一元二次不等式的解法得到原不等式中的 比较这两种方法，可以看出方法 2运算的较快一点，(2)与(1)类似两种方法都可以用.

11、只不过，要注意分母不能为0(1)亠 0;x 4解析：这种题型的基本做法是化为(2)(1)方法1:原不等式等价于00 x的范围为1 x 4 ；x的范围为1x 4;而且不容易出错 .0.现在只用方法2来解：原式等价于(2x6)(3x 5)3x 5 05因此，原不等式中的 x的范围为 -x32)式的形式，(3)首先要移项、通分，变为( 注意：因为分母的正负不知道，原式等价于 1 0.2x 1总结：这种题型要注意两点：3；然后再用做的方法来做.所以不能两边同时乘以分母!2x 2x 1 1 c 0.2x 1 2x 1(1)要注意分母不能为 0.2x1x .1 0 2(2)当不等号后面是不为2x于未知数x

12、的式子)，并且分母的正负不知道时，不能不等式两边同时乘以分母，而只能移项、 基本的形式来做.0的式子(常数或关通分，变为【例5-1】解下列关于(1) |2 x-1|11 ;(5) |2x-1 |0;(6) |2x-1 | -1.b|c(或c)以及|ax+b|c(或 c)类型的绝对值不等式中 c大于0的题型，(3) (4 )代表常数c等于0的题型;(其中a,b,c为常数，且a丰(5) (6)代表常数c小于0原不等式 5(2)原不等式 2x2x 1 5.1 11,或 2x1 11 .(3)方法一：原不等式2x 1 0,或2x 10.2x 6,x 6,或 xx !,或225；丄23；方法二：任何式子

13、的绝对值恒大于或等于0,原不等式2x 10.即x12；0的解集为2【例4-2】关于x的不等式ax b 0的解集为(1,)，则关于x的不等式竺 bx5.含绝对值不等式的解法题型一：形如|ax bc与I ax b | c型的不等式的解法.【公式法】(4)与上题类似，两种方法 都可以用.易得答案:1x -;2(5)(6)当绝对值后的常数小于 0时，上述的两种方法也 都可以用，但是比较而 言，方法二较好易得答案：(5)不等式的解集为空集 ；(6) x R.总结：解这类绝对值不等式常用教材上给出的公式：(1)当| x | ( )3时，(注意：教材中限制 a 0) x ( )a或x ( ) a.(2)当|

14、 x| ( ) a时,(注意：教材中限制a 0) a ( )x ( ) a.但是，我们要知道，当 a0,或a=0时，这两个公式也可以用.一般地，当绝对值后的常数大于 0时，用公式；当绝对值后的常数小于或等于 0时，直接用“任何式子的绝对值不小于 0”来解更好.【公式法】题型二：形如 |f(x)| g(x)或 |f(x)| g(x)【例5-2】解下列关于x的不等式:(1)|5x 2| x 3; (2) I 2x 4| 3x 7; (3)2|4x 9| 8x 3; (4) |x2x 2| 1.解析：因为这种形式还是含有绝对值的不等式，变成一元二次不等式组来解所以仍然可以用思路“讨论去绝对值”来解.

15、对于题(4)，我们还可以用公式法去绝对值,(1)当x 2时，原不等式5x 2时，原不等式55x 2 x(5x 2)以上两种情况取并集得不等式的解为:4x 1 x丄,取交集得45,取交集得61I4(2)原不等式 |2x当x 2时，2x 44|3x3x7.下面与上题类似讨论.x 11.取交集得：原不等式的 解集为空集.x 2时，(2x4)3x7 x -.取交集得:5以上两种情况取并集得不等式的解为：x 25当 x 9 时,4x 9 8x43 x 3. x9当x 一时，原不等式4(4x 9) 8x 3以上两种情况取并集知此不等式的解为:（4）本题除了用上述讨论去 来做.现在给岀公式法的解答 过程,原

16、不等式1 x2 2x绝对值的方法外，还可另一种解法读者2x2x以用公式法去绝对值，变成一元二次不等式组 可以自己试着做一做.2x2x，或 1 J2 x 3.1 xx 1 运或x总结：对于含有绝对值符号的题目，讨论去绝对值是一个基本的、重要的思路！要注意：一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集， 最后得到的才是不等式的解集 .当只含有一个绝对值符号的式子内是关于 x的一次或者二次的式子时，如果不等号后面的式子是常数，还可以用公式法去绝对值来解 .题型三：形如c| ax b|d或c | ax b| d类型的绝对值不等式题型 （其中a，b，c，d为常数，且a 0）【“零点分区间法”分类讨论、公式

17、法】【例5-3】解下列关于x的不等式：（1） 1 解析：中的知识点|x 2| 4; （2） 3 |2x 3| 5; （3） 0 |x 6| 9; （4） 1 12x 7| 0.这种类型的不等式基本的解法是化为上述最基本的绝对值不等式（组）0,讨论去绝对值来解，则会有意想不到的收获 .0|x|x, xx, x(4)方法一:方法二:|x|x当x 2 0，即x1 x 2.原不等式2| 1 2| 42时，原不等式1,或 x 36x2两者取交集得： 当x 2 0,即x 2时，原不等式 4 x6x3. 两者取交集得：所以，上述两种结果取并集得不等式的解集为： 原不等式原不等式原不等式来解，但是，如果用初3

18、,或 1 x 2;|2x 3| 5.|x 6| 0|x 6| 91 x 4;x 63 x 15|2x 7|2x 7| 0x R7 x21 x 2 x| 2 x| x|4.11.663.3,或15,且 x6；，在去掉绝对值后，这样就可 以变为最基本的题型来做了 .要注意：一种情况内部取交集，所有情况的结果取并集， 最后得到的才是（不） 等式的解集.这类题中常考的是题（1）的形式，对于这种形式的题目，还可以进一步简化解题步骤 .如题（1）还可以直接得出：总结：解与绝对值有关的题目的一个非常重要的思路是“讨论去绝对值”2 4,或 4x2 1 1 x 2，或 6 x 3.这样的解法更快更好 ！题型四：

19、形如 型的解法总结| ax(其中b| |c x+d| （ 或=）e形式的绝对值（不）等式题 a， b，c，d，e 为常数，且 a 0,c 0）【根据绝对值的几何意义， 或数形结合思想方法】【例5-4】 解下列关于X的（不）等式：5(4 |x 2| |x| 2.这种题型的基本解（1） |x 1| |x 1| 2;（2 |X 1| |x 1| 2; （3 |2x 1| |x 3| ； 解析：这是含有两个绝对值符号的（不）等式，并且（不）等号后面为常数的题型 法有两种：讨论去绝对值和利用绝对值的几何意义来解 .（1）方法一，分类讨论去绝 对值: 当X 1时，原式 当1 X 1时，原式 当X 1时，原

20、式 （X 以上三种情况取并集得(X 1) (x(X 1)1) (X 1)：x| 1 X1) 2.(X 1) 2.2.1;X 1,两者取交集得原式的解2 2, X R两者取交集得：X 1,两者取交集得：x|x 1 .集为空集.x| 1 X 1. 方法二，利用绝对值的几何意义：| X m |表示数轴上一点如：|x 1 |表示数轴上一点X离1的距离；|x2|表示数轴上一点X离 2的距离.令绝对值符号内的式子 这两个值把数轴分为三 根据绝对值的几何意义 所以，原方程的解为：为0即X 1 0, X部分：X 1, 1，我们知道只有当1 X 1.0得两个值X 1,x 1.1, X 1.X 1时，才能满足原式

21、.对于（2） （ 3） （4）这三题，以上两种方法都可以用，读者可以自己试着做一做1参考答案： （2） X 1; （3） X 3,或 X -； （4） X 2.20时，所得到的X值把数轴.要注意：一种情况内部取交集，把所有情况的结果取总结：在解这种题型时，分类讨论去绝对值的原则是：令绝对值内的式子为 分为几部分，与此相对应我们就分几种情况来讨论 并集，最后得到的才是（不）等式的解集 .利用绝对值的几何意义来解这类题时，一定要牢记:|x m|表示数轴上一点X离m的距离.后是关于X的式子，而不是常数了 .所以，解这种类型的题目, 此时不易用绝对值的几何意义来解这类题了 .2（1）当X 2时，原不等

22、式3当2 X3(4x 1) (3x 2)5x6.丄时，原不等式4(4x 1) (3x2)5x6.X丄时，4由上述三种情况的结果 取并集得此不等式的解 集为空集;原不等式 (4x 1) (3x 2) 5x6.,取交集得空集.12X -,取交集得空集.27,取交集得空集.2，相对要好一点.比较这两种方法，我们可知：禾U用绝对值的几何意义来解这类题题型五：形如| ax b | |c X +d| （ 或=）ex f或| ax b| |c x +d| （ 或=）ex f类型的绝对值不等式题型解法总结（其中 a，b，c，d，e，f为常数，且a，c，e 0）.【例5-5】解下列关于X的不等式：（1） |4x

23、 1| |3x 2| 5x 6; （2） |x| 12x 7| 9x 4; （3） |5x 3| |2x| x 4.解析：这类题与上一类题的共同点在于：都含有两个绝对值符号 .不同之处在于：这类题的（不）等号仍然可以用分类讨论去绝对值的方法.但是,对于（2） （ 3）两题，利用同样的方法易做出参考答案： （2） X ； （3） x 7，或 x 1.8 4 2总结：这种类型的绝对值不等式的主要解法是分类讨论去绝对值的方法 .这种方法也是解所有与绝对值有关的题目的基本方法.同样，要注意：一种情况内部取交集，把所有情况的结果取并集，最后得到的 才是（不）等式的解集.题型六、形如I I f（x）| |

24、g（x）|方法：两边平方【例5-6】若不等式|3x 2| |2x a|对x R恒成立，则实数a的取值范围为6、含指数不等式:方法利用函数的单调性（1 a0loga a,0loga1） 利用函数的图像【例6】 解下列关于x的不等式:(1)2x4； (2)3 2x 52x 1=1 ； (4) 4“ X 16 ； (5) 52x 1 7.解析：这是与指数函数有关的（不） 式.等式的题型 .解决这类题的基本思路是：把常数化成同底的指数形（1）原不等式2x 22 x 2；（2）解析这是一个指数不等式,基本解法是化为同底的指数形式，然后利用指数函数的单调性转化为整式不等式2.原不等式即3 （x8)3 2x，也就是 x2-2x-80 ,解得-2x4.故原不等式的解集为x|-2x4.（3）原不等式_2x 15502xab Nloga Na loga NN （用这个公式可以把任意常数化成a的次方形式）原不等式42.2 Cx x 2,1 x 2.原不等式u2x 155log57.2x 1 logs 7,ab N b log a N aloga NN （用这个公式可以把任意常数化成a的次方形式）总结：解与指数函数有关的