第五章 点线面的位置关系学考专用.docx
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第五章点线面的位置关系学考专用
※高二文科班数学课堂学习单7※
班级姓名小组
第五章点、线、面的位置关系
（一）
一，学习目标:
1、掌握点、线、面的位置关系；2，会进行平行的转化、垂直的转化。
二，自学导航：
问题一：
【例2】
（1）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线B1D1与平面BDC1的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直
C．相交但不垂直D．直线B1D1在平面BDC1内
（2）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，PA＝AD，则异面直线PD与BC所成角的大小是______．
问题二 【例4】（2013年湖南学业水平考试真题）如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC＝3，BD＝4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．
（1）求证：
EF∥平面BCD；
（2）求三棱锥ABCD的体积．
问题三 【例5】（2012年湖南学业水平考试真题）如图在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB＝1，D1D＝
.
（1）求直线D1B与平面ABCD所成角的大小；
（2）求证：
AC⊥平面BB1D1D.
问题四【例7】P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点．
（1）求证：
EO∥平面PCD；
（2）图中EO还与哪个平面平行？
我生成的问题：
三，我的收获：
本节课的知识结构、学到的方法、易错点
四，课堂检测：
1，（第16题．）如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD.
（1）求证：
MN∥平面BCD；
（2）求证：
平面BCD⊥平面ABC；
（3）若AB＝1，BC＝
，求直线AC与平面BCD所成角的大小。
2，（第17题．）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）求证：
PA∥平面EDB；
（2）求证：
PB⊥平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小．
五，作业
1，（第1题）已知下列命题：
①若直线l平行于α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；
④若直线a∥b，b⊂α，则直线a平行于α内的无数条直线．
其中正确的个数为（ ）A．1 B．2 C．3 D．4
2，（第4题．）垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A．平行B．相交C．异面D．以上都有可能
3，（第5题．）设P是△ABC所在平面α外一点，若PA，PB，PC两两垂直，则P在平面α内的射影是△ABC的（ ）
A．内心B．外心C．重心D．垂心
4，（第7题．）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则异面直线A1B与AD1所成角的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
5，（第8题．）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2
，CC1＝
，则二面角C1-BD-C的大小为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
6，（第9题．）如图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线AB，CD所成角的大小为____________．
7，（第11题．）已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是______．
8（第14题）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝
a，求证：
平面PAD⊥平面PAB.
9，（第15题．）如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.
（1）求证：
AC⊥平面B1D1DB；
（2）求证：
BD1⊥平面ACB1；
（3）求三棱锥BACB1体积．
10，（第18题．）如图所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，AB＝BB1＝BC，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．
（1）求证：
B1C∥平面A1BD；
（2）求证：
B1C1⊥平面ABB1A1；
（3）在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E＝45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？
若不存在，请说明理由．
※高二文科班数学课堂学习单7※
班级姓名小组
点、线、面的位置关系
一，学习目标:
2、
二，自学导航：
问题一：
【例2】
（1）如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，直线B1D1与平面BDC1的位置关系是（ ）
A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．直线B1D1在平面BDC1内
【答案】A
（2）如图，在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是平行四边形，PA＝AD，则异面直线PD与BC所成角的大小是______．
【答案】45°
问题二 【例4】（2013年湖南学业水平考试真题）如图，在三棱锥ABCD中，AB⊥平面BCD，BC⊥BD，BC＝3，BD＝4，直线AD与平面BCD所成的角为45°，点E，F分别是AC，AD的中点．
（1）求证：
EF∥平面BCD；
（2）求三棱锥ABCD的体积．
【解析】
（1）证明：
因为点E，F分别是AC，AD的中点，所以EF∥CD，
又因为CD⊂平面BCD,EF⊄平面BCD，
所以EF∥平面BCD.
（2）解：
因为AB⊥平面BCD，所以∠ADB是直线AD与平面BCD所成的角，
即∠ADB＝45°，在Rt△ABD中，AB＝BD＝4，
所以三棱锥ABCD的体积为VA－BCD＝
S△BCD·AB＝
×
×3×4×4＝8.
问题三 【例5】（2012年湖南学业水平考试真题）如图在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是正方形，且AB＝1，D1D＝
.
（1）求直线D1B与平面ABCD所成角的大小；
（2）求证：
AC⊥平面BB1D1D.
【解析】
（1）解：
∵D1D⊥平面ABCD,D为D1在平面ABCD的射影，
∴直线BD为直线D1B在平面ABCD上的射影，
∴∠D1BD是直线D1B与平面ABCD所成的角，
∵D1D⊥平面ABCD，
∴DD1⊥BD,即∠D1DB＝90°.
∵底面ABCD是正方形且AB＝1，∴BD＝
.
在Rt△D1BD中，tan∠D1BD＝
＝
＝1.
∴∠D1BD＝45°.
∴直线D1B与平面ABCD所成角的大小为45°.
（2）证明：
∵D1D⊥平面ABCD，∴DD1⊥AC.
∵底面ABCD是正方形，∴AC⊥BD.
又∵DD1⊂平面BB1D1D，BD⊂平面BB1D1D，且DD1∩BD＝D，
∴AC⊥平面BB1D1D.
问题四【例7】P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E为PB的中点，O为AC，BD的交点．
（1）求证：
EO∥平面PCD；
（2）图中EO还与哪个平面平行？
【解析】
（1）证明：
∵在平行四边形ABCD中，O为AC，BD的交点．
∴O为BD的中点．
又∵在△PBD中，E为PB的中点，
∴EO∥PD.
∵EO⊄平面PCD，PD⊂平面PCD，
∴EO∥平面PCD.
（2）解：
图中EO还与平面PAD平行．
我生成的问题：
三，我的收获：
本节课的知识结构、学到的方法、易错点
四，课堂检测：
1，（第16题．）如图所示，已知AB⊥平面BCD，M、N分别是AC、AD的中点，BC⊥CD.
（1）求证：
MN∥平面BCD；
（2）求证：
平面BCD⊥平面ABC；
（3）若AB＝1，BC＝
，求直线AC与平面BCD所成角的大小．
【解析】
（1）证明：
因为M，N分别是AC，AD的中点，所以MN∥CD.又MN⊄平面BCD且CD⊂平面BCD，
所以MN∥平面BCD.
（2）证明：
因为AB⊥平面BCD，AB⊂平面ABC，
所以平面BCD⊥平面ABC.
（3）解：
因为AB⊥平面BCD，
所以∠ACB是直线AC与平面BCD所成的角．
在直角△ABC中，AB＝1，BC＝
，
所以tan∠ACB＝
，即∠ACB＝30°.
故直线AC与平面BCD所成的角为30°.
2，（第17题．）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F.
（1）求证：
PA∥平面EDB；
（2）求证：
PB⊥平面EFD；（3）求二面角CPBD的大小．
【解析】
（1）证明：
连接AC，AC交BD于O，连接EO.如图所示．
∵底面ABCD是正方形，
∴点O是AC的中点．
在△PAC中，EO是中位线，∴PA∥EO.
而EO⊂平面EDB，且PA⊄平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
（2）证明：
∵PD⊥底面ABCD，且BC⊂底面ABCD，∴PD⊥BC.
∵四边形ABCD是正方形，即DC⊥BC,
∴BC⊥平面PDC.
又DE⊂平面PDC，∴BC⊥DE.
又∵PD＝DC，E是PC的中点，
∴DE⊥PC.
∴DE⊥平面PBC.
而PB⊂平面PBC，∴DE⊥PB.
又EF⊥PB，且DE∩EF＝E，
所以PB⊥平面EFD.
（3）解：
由
（2）可知PB⊥DF，
所以∠EFD是二面角CPBD的一个平面角．
又由
（2）可知DE⊥EF，PD⊥DB.
设正方形ABCD的边长为a，则
PD＝DC＝a，BD＝
a，
PB＝
＝
a，
PC＝
＝
a，
DE＝
PC＝
a.
在Rt△PDB中，
DF＝
＝
＝
a.
在Rt△EFD中，
sin∠EFD＝
＝
＝
，
∴∠EFD＝60°.
所以二面角CPBD的大小为60°.
五，作业
1，（第1题）已知下列命题：
①若直线l平行于α内的无数条直线，则l∥α；
②若直线a在平面α外，则a∥α；
③若直线a∥b，直线b⊂α，则a∥α；
④若直线a∥b，b⊂α，则直线a平行于α内的无数条直线．
其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
2，（第4题．）垂直于同一条直线的两条直线一定（ ）
A．平行B．相交
C．异面D．以上都有可能
【答案】D
3，（第5题．）设P是△ABC所在平面α外一点，若PA，PB，PC两两垂直，则P在平面α内的射影是△ABC的（ ）
A．内心B．外心
C．重心D．垂心
【答案】D
4，（第7题．）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则异面直线A1B与AD1所成角的大小为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
【答案】C
5，（第8题．）在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AD＝2
，CC1＝
，则二面角C1BDC的大小为（ ）
A．30°B．45°
C．60°D．90°
【答案】A
6，（第9题．）如图是无盖正方体纸盒的展开图，在原正方体中直线AB，CD所成角的大小为____________．
【答案】60°
7，（第11题．）已知直线a，b和平面α，且a⊥b，a⊥α，则b与α的位置关系是______．
【答案】平行或b在平面α内
8
（第14题）如图所示，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱PA＝a，PB＝PD＝
a，求证：
平面PAD⊥平面PAB.
【证明】∵AD＝PA＝a，PD＝
a，
∴PA2＋AD2＝PD2，∴AD⊥PA，
又四边形ABCD是正方形，∴AD⊥AB，
∴AD⊥平面PAB，
∴平面PAD⊥平面PAB.
9，（第15题．）如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1.
（1）求证：
AC⊥平面B1D1DB；
（2）求证：
BD1⊥平面ACB1；
（3）求三棱锥BACB1体积．
【解析】
（1）证明：
∵AC⊥BD，又BB1⊥平面ABCD，且AC⊂平面ABCD，
∴BB1⊥AC，BD∩BB1＝B，
∴AC⊥平面B1D1DB.
（2）证明：
由
（1）知AC⊥平面B1D1DB，
∵BD1⊂平面B1D1DB，∴AC⊥BD1.
∵A1D1⊥平面A1B1BA，AB1⊂平面A1B1BA，
∴A1D1⊥AB1.
又∵A1B⊥AB1，且A1B∩A1D1于A1，
∴AB1⊥平面A1D1B.
∵BD1⊂平面A1D1B，∴BD1⊥AB1，
又∴AC∩AB1＝A，
∴BD1⊥平面ACB1.
（3）解：
（方法1）VBACB1＝VABB1C＝
×1×
＝
.
（方法2）VBACB1＝
＝
.
10，（第18题．）如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BB1＝BC，AC1⊥平面A1BD，D为AC的中点．
（1）求证：
B1C∥平面A1BD；
（2）求证：
B1C1⊥平面ABB1A1；
（3）在CC1上是否存在一点E，使得∠BA1E＝45°，若存在，试确定E的位置，并判断平面A1BD与平面BDE是否垂直？
若不存在，请说明理由．
【分析】
（1）连接AB1，交A1B于M，则MD就是平面A1BD内与B1C平行的直线．
（2）需在平面ABB1A1中找两条相交直线都与B1C1垂直，由直三棱柱的概念，可知BB1⊥B1C1，另一条的寻找，从AC1⊥平面A1BD，以平行四边形ABB1A1为正方形入手，证明A1B⊥平面AB1C1，从而得出A1B⊥B1C1.（3）用余弦定理解△A1BE.
【解析】
（1）证明：
连接AB1与A1B相交于M，则M为AB1的中点．连接MD，又D为AC的中点，如图所示．
∴B1C∥MD，
又B1C⊄平面A1BD，MD⊂平面A1BD，
∴B1C∥平面A1BD.
（2）证明：
∵AB＝B1B，∴平行四边形ABB1A1为正方形，
∴A1B⊥AB1.
又∵AC1⊥平面A1BD，
∴AC1⊥A1B，
∴A1B⊥平面AB1C1，
∴A1B⊥B1C1.
又在直三棱柱ABCA1B1C1中，
BB1⊥B1C1，
∴B1C1⊥平面ABB1A1.
（3）解：
设AB＝a，CE＝x，
∵B1C1⊥A1B1，
∴在Rt△A1B1C1中，有A1C1＝
a.
同理可得A1B＝
a，
∴C1E＝a－x，
∴A1E＝
＝
，
BE＝
，
∴在△A1BE中，由余弦定理得
BE2＝A1B2＋A1E2－2A1B·A1E·cos45°，
即a2＋x2＝2a2＋x2＋3a2－2ax－2
a·
·
，
∴
＝2a－x，
∴x＝
a，即E是C1C的中点，
∵D、E分别为AC、C1C的中点，∴DE∥AC1.
∵AC1⊥平面A1BD，∴DE⊥平面A1BD.
又DE⊂平面BDE，
∴平面A1BD⊥平面BDE.
【评析】空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系为线线垂直——线面垂直——面面垂直．
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